Subgroups — #10720458

Order 768.

2058 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 320 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₃×#123	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₄×#217	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#72131	C₂	1	2	yes	maximal
4	#71564	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#71548	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#71545	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#14167	—	3	1	no	maximal, Sylow
8	C₂³×C₃×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂⁴×C₃×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₃×#123	—	2	8	no	—
11	C₂×C₃×#123	C₄	1	8	yes	complemented
12	C₂²×C₃×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×C₃×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₃×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#217	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂²×#217	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂²×C₄×Dic₃	C₂²	1	4	yes	—
18	C₄×#217	—	2	8	no	—
19	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	8	yes	—
21	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂²×#123	D₃	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	—	3	2	no	—
24	#1440	—	3	2	no	—
25	#1438	—	3	2	no	—
26	#1437	—	3	4	no	—
27	#1436	—	3	4	no	—
28	C₂⁵×C₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
29	C₂⁵×C₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×C₃×D₄	—	2	4	no	—
31	C₂²×C₃×D₄	—	4	4	no	—
32	C₂²×C₃×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
33	C₂³×C₃×C₄	—	4	4	no	—
34	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
35	C₂³×C₃×C₄	D₄	1	8	yes	—
36	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂³×Dic₃	C₂³	1	8	yes	—
40	C₃×#123	—	2	32	no	—
41	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
42	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
43	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
44	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
45	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
46	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
47	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
48	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
49	C₂×#217	—	2	8	no	—
50	C₂×#217	—	2	16	no	—
51	C₂×#217	—	2	16	no	—
52	C₂×#217	—	4	4	no	—
53	C₂×C₄×Dic₃	—	2	8	no	—
54	C₂×C₄×Dic₃	—	4	8	no	—
55	C₃⋊#95	—	2	8	no	—
56	C₃⋊#95	—	2	16	no	—
57	C₃⋊#95	—	4	4	no	—
58	C₂³×D₄	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
59	C₂⁴×C₄	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
60	C₂×#123	—	2	8	no	—
61	C₂×#123	Dic₃	1	8	yes	complemented
62	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₃	1	2	yes	—
63	C₂²×C₂²⋊C₄	—	3	4	no	—
64	C₂²×C₂²⋊C₄	—	3	4	no	—
65	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×D₃	1	2	yes	—
66	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₄²	—	3	4	no	—
68	C₄×C₂²⋊C₄	—	6	8	no	—
69	C₂×#95	—	3	8	no	—
70	C₂×#95	—	3	4	no	—
71	C₂×#95	—	3	4	no	—
72	C₂⁴×C₃	—	2	8	no	—
73	C₂⁴×C₃	—	2	4	no	—
74	C₂⁴×C₃	—	2	2	no	—
75	C₂⁴×C₃	—	2	8	no	—
76	C₂⁴×C₃	—	2	4	no	—
77	C₂⁴×C₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
78	C₂⁴×C₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
79	C₂⁴×C₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
80	C₂⁴×C₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₃×D₄	—	2	8	no	—
82	C₂×C₃×D₄	—	4	8	no	—
83	C₂×C₃×D₄	—	4	16	no	—
84	C₂²×C₃×C₄	—	2	8	no	—
85	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
86	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
87	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
88	C₂²×C₃×C₄	—	2	8	no	—
89	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
90	C₂²×C₃×C₄	—	4	8	no	—
91	C₂²×C₃×C₄	—	4	16	no	—
92	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
93	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
94	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
95	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
96	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
97	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
98	C₂²×Dic₃	—	2	8	no	—
99	C₂²×Dic₃	—	2	8	no	—
100	C₂²×Dic₃	—	2	8	no	—
101	C₂²×Dic₃	—	2	8	no	—
102	C₂²×Dic₃	—	2	8	no	—
103	C₂²×Dic₃	—	2	8	no	—
104	C₂²×Dic₃	#41	1	16	yes	—
105	C₃×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
106	C₃×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
107	C₃×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
108	#217	—	2	32	no	—
109	#217	—	4	16	no	—
110	C₄×Dic₃	—	4	16	no	—
111	C₂⁵	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
112	C₂⁵	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
114	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
115	C₂²×D₄	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
116	C₂³×C₄	—	3	8	no	—
117	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
118	C₂³×C₄	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
119	C₂³×C₄	#67	1	8	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	2	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
122	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	2	yes	—
123	#123	—	2	32	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₃	1	8	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	—	6	16	no	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	—	6	8	no	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	—	6	16	no	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	—	12	4	no	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₃	1	8	yes	—
136	C₂×C₄²	—	6	8	no	—
137	C₂×C₄²	—	12	8	no	—
138	#95	—	6	16	no	—
139	#95	—	6	8	no	—
140	#95	—	12	4	no	—
141	C₂³×C₃	—	2	8	no	—
142	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
143	C₂³×C₃	—	2	8	no	—
144	C₂³×C₃	—	2	8	no	—
145	C₂³×C₃	—	2	8	no	—
146	C₂³×C₃	—	2	2	no	—
147	C₂³×C₃	—	2	8	no	—
148	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
149	C₂³×C₃	—	4	4	no	—
150	C₂³×C₃	—	4	8	no	—
151	C₂³×C₃	—	4	4	no	—
152	C₂³×C₃	—	4	4	no	—
153	C₂³×C₃	—	4	4	no	—
154	C₂³×C₃	—	4	4	no	—
155	C₂³×C₃	—	4	4	no	—
156	C₂³×C₃	—	4	8	no	—
157	C₂³×C₃	—	4	4	no	—
158	C₂³×C₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
159	C₂³×C₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
161	C₂³×C₃	C₂×#41	1	8	yes	—
162	C₂³×C₃	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
163	C₃×D₄	—	4	16	no	—
164	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
165	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
166	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
167	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
170	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
171	C₂×C₃×C₄	—	4	16	no	—
172	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
173	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
174	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
175	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
176	C₂×Dic₃	—	2	16	no	—
177	C₂×Dic₃	—	2	16	no	—
178	C₂×Dic₃	—	2	16	no	—
179	C₂×Dic₃	—	4	8	no	—
180	C₂×Dic₃	—	4	8	no	—
181	C₂×Dic₃	—	4	8	no	—
182	C₂×Dic₃	—	4	8	no	—
183	C₂⁴	—	2	4	no	—
184	C₂⁴	—	2	8	no	—
185	C₂⁴	—	2	4	no	—
186	C₂⁴	—	2	8	no	—
187	C₂⁴	—	2	2	no	—
188	C₂⁴	C₂²×Dic₃	1	2	yes	—
189	C₂⁴	C₂²×Dic₃	1	2	yes	—
190	C₂⁴	C₂×#67	1	4	yes	—
191	C₂⁴	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
192	C₂×D₄	—	2	8	no	—
193	C₂×D₄	—	4	8	no	—
194	C₂×D₄	—	4	16	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	3	16	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
204	C₂²×C₄	—	6	8	no	—
205	C₂²×C₄	—	6	8	no	—
206	C₂²×C₄	—	6	8	no	—
207	C₂²×C₄	—	6	8	no	—
208	C₂²×C₄	—	6	8	no	—
209	C₂²×C₄	—	6	8	no	—
210	C₂²×C₄	#217	1	16	yes	complemented
211	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂×#67	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂×#67	1	4	yes	—
216	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
217	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
218	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
219	C₂²⋊C₄	—	6	32	no	—
220	C₂²⋊C₄	—	12	16	no	—
221	C₄²	—	12	16	no	—
222	C₂²×C₃	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₃	—	2	8	no	—
224	C₂²×C₃	—	4	16	no	—
225	C₂²×C₃	—	4	8	no	—
226	C₂²×C₃	—	4	2	no	—
227	C₂²×C₃	—	4	8	no	—
228	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
229	C₂²×C₃	—	8	8	no	—
230	C₂²×C₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₃	C₄×#41	1	4	yes	—
232	C₂²×C₃	#518	1	2	yes	—
233	C₂²×C₃	#525	1	4	yes	—
234	C₂²×C₃	#532	1	4	yes	—
235	C₂²×C₃	#534	1	4	yes	—
236	C₂²×C₃	#551	1	4	yes	—
237	C₂²×C₃	#553	1	8	yes	—
238	C₂²×C₃	#559	1	4	yes	—
239	C₃×C₄	—	2	8	no	—
240	C₃×C₄	—	4	2	no	—
241	C₃×C₄	—	4	4	no	—
242	Dic₃	—	4	16	no	—
243	C₂³	—	2	4	no	—
244	C₂³	—	2	8	no	—
245	C₂³	—	2	8	no	—
246	C₂³	—	2	8	no	—
247	C₂³	—	2	8	no	—
248	C₂³	—	2	4	no	—
249	C₂³	—	2	8	no	—
250	C₂³	—	2	2	no	—
251	C₂³	—	4	4	no	—
252	C₂³	—	4	8	no	—
253	C₂³	—	4	4	no	—
254	C₂³	—	4	4	no	—
255	C₂³	—	4	8	no	—
256	C₂³	—	4	4	no	—
257	C₂³	—	4	4	no	—
258	C₂³	—	4	4	no	—
259	C₂³	—	4	4	no	—
260	C₂³	C₂×#217	1	4	yes	—
261	C₂³	#1004	1	4	yes	—
262	C₂³	D₃×#41	1	8	yes	—
263	C₂³	C₂³×Dic₃	1	1	yes	characteristic
264	C₂³	C₂²×#67	1	2	yes	—
265	D₄	—	4	16	no	—
266	C₂×C₄	—	2	8	no	—
267	C₂×C₄	—	2	8	no	—
268	C₂×C₄	—	2	8	no	—
269	C₂×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	8	no	—
271	C₂×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	4	16	no	—
274	C₂×C₄	—	4	4	no	—
275	C₂×C₄	—	4	4	no	—
276	C₂×C₄	—	4	4	no	—
277	C₂×C₄	—	6	16	no	—
278	C₂×C₄	—	6	16	no	—
279	C₂×C₄	—	6	16	no	—
280	C₂×C₄	—	12	8	no	—
281	C₂×C₄	—	12	8	no	—
282	C₂×C₄	—	12	8	no	—
283	C₂×C₄	—	12	8	no	—
284	C₂×C₄	C₂×#217	1	8	yes	—
285	C₂×C₃	—	4	4	no	—
286	C₂×C₃	—	8	2	no	—
287	C₂×C₃	#2297	1	2	yes	—
288	C₂×C₃	#2308	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₃	#2374	1	4	yes	—
290	C₂×C₃	#2602	1	8	yes	—
291	C₂²	—	2	4	no	—
292	C₂²	—	2	8	no	—
293	C₂²	—	4	8	no	—
294	C₂²	—	4	16	no	—
295	C₂²	—	4	2	no	—
296	C₂²	—	4	4	no	—
297	C₂²	—	4	8	no	—
298	C₂²	—	8	8	no	—
299	C₂²	#5659	1	4	yes	—
300	C₂²	#5661	1	8	yes	—
301	C₂²	#5664	1	4	yes	—
302	C₂²	#5798	1	2	yes	—
303	C₂²	#5804	1	4	yes	—
304	C₂²	Dic₃×#41	1	4	yes	—
305	C₂²	#5828	1	4	yes	—
306	C₂²	#5832	1	4	yes	—
307	C₂²	C₂²×#217	1	1	yes	characteristic
308	C₄	—	2	8	no	—
309	C₄	—	4	2	no	—
310	C₄	—	4	4	no	—
311	C₄	—	12	16	no	—
312	C₃	#14167	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
313	C₂	—	4	4	no	—
314	C₂	—	8	2	no	—
315	C₂	#82839	1	4	yes	—
316	C₂	#82902	1	8	yes	—
317	C₂	#84043	1	1	yes	characteristic
318	C₂	#84086	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂⁴	C₂³×D₃
commutator	C₂³×C₃	C₂³×C₄
Fitting	C₂²×C₃×#123	C₂
socle, cosocle	C₂⁴×C₃	C₂⁴
prime radical	C₂³×C₃×D₄	C₂²
hypercenter	C₂²×#123	D₃
hypocenter	C₃	#14167
LCS	G ▷ C₂³×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂²×#123

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×C₄×#217	C₂	semidirect
4. #71564	C₂	semidirect
5. #71548	C₂	semidirect
6. #71545	C₂	semidirect
11. C₂×C₃×#123	C₄	semidirect
61. C₂×#123	Dic₃	semidirect
92. C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	semidirect
210. C₂²×C₄	#217	semidirect
312. C₃	#14167	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₃×#123	2
C₂×C₄×#217	2
#72131	2
#71564	2
#71548	2
#71545	2
#14167	3