Subgroups — #10721925

Order 768.

1262 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 390 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₃×C₄×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#4937	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#4936	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#71568	C₂	1	2	yes	maximal
5	#71567	C₂	1	2	yes	maximal
6	#71536	C₂	1	4	yes	maximal
7	#69420	C₂	1	2	yes	maximal
8	#69415	C₂	1	2	yes	maximal
9	#14298	—	3	1	no	maximal, Sylow
10	C₂²×C₃×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₃×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×C₃×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×C₃×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₄⋊Dic₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×C₄⋊Dic₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×Dic₃⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
17	C₃×C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
18	C₂×C₃×#95	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
27	#4937	C₄	1	8	yes	complemented
28	#4936	—	2	4	no	—
29	C₂×#383	—	3	1	no	—
30	C₂×#382	—	3	1	no	—
31	C₂×C₄×C₄⋊C₄	D₃	1	1	yes	characteristic
32	#1444	—	3	2	no	—
33	#1444	—	3	2	no	—
34	#1442	—	3	2	no	—
35	#1442	—	3	2	no	—
36	#1436	—	3	4	no	—
37	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×Dic₃	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂³×Dic₃	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂³×Dic₃	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
46	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
47	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
48	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
49	C₂×C₃×C₄²	—	2	4	no	—
50	C₂×C₃×C₄²	—	4	4	no	—
51	C₂×C₃×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	4	yes	—
53	C₂×C₃×C₄²	Q₈	1	4	yes	—
54	C₂×C₄⋊Dic₃	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄⋊Dic₃	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄⋊Dic₃	—	4	2	no	—
57	C₂×C₄⋊Dic₃	—	4	2	no	—
58	C₂×Dic₃⋊C₄	—	2	8	no	—
59	C₂×Dic₃⋊C₄	—	4	4	no	—
60	C₂×Dic₃⋊C₄	—	4	4	no	—
61	C₃×#95	—	2	4	no	—
62	C₃⋊#95	—	2	4	no	—
63	C₃⋊#95	—	2	4	no	—
64	C₃⋊#95	—	2	8	no	—
65	C₃⋊#95	—	4	4	no	—
66	C₃⋊#95	—	4	4	no	—
67	C₃⋊#95	C₂×C₄	1	8	yes	—
68	C₃⋊#95	C₂×C₄	1	8	yes	—
69	C₃⋊#95	C₂×C₄	1	8	yes	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	—	3	4	no	—
71	C₂²×C₄⋊C₄	—	3	1	no	—
72	C₂²×C₄⋊C₄	—	3	1	no	—
73	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₄²	C₂×D₃	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄²	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
77	#383	—	3	8	no	—
78	#382	—	6	4	no	—
79	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
80	C₂×#95	—	3	2	no	—
81	C₂×#95	—	3	2	no	—
82	C₂×#95	—	3	2	no	—
83	C₂×#95	—	3	2	no	—
84	C₂×#95	—	3	4	no	—
85	C₂×#95	—	3	2	no	—
86	C₂×#95	—	3	4	no	—
87	C₂×#95	—	3	4	no	—
88	C₂×#95	C₂×D₃	1	2	yes	—
89	C₂⁴×C₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
91	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
92	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
93	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
94	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
95	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
96	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
97	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
98	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
99	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
100	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
101	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
102	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
103	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
104	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
105	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
106	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
109	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	C₂²×C₃×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
111	C₂²×C₃×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
112	C₂²×C₃×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
113	C₂²×C₃×C₄	#41	1	4	yes	—
114	C₂²×C₃×C₄	#41	1	4	yes	—
115	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
116	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
117	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
118	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
119	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
120	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
121	C₂²×Dic₃	—	2	2	no	—
122	C₂²×Dic₃	—	2	2	no	—
123	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
124	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
125	C₂²×Dic₃	—	2	2	no	—
126	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
127	C₂²×Dic₃	—	2	2	no	—
128	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
129	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
130	C₂²×Dic₃	C₂²×C₄	1	8	yes	—
131	C₃×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
132	C₃×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
133	C₃×C₄²	—	4	8	no	—
134	C₃×C₄²	C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
135	C₄⋊Dic₃	—	4	4	no	—
136	C₄⋊Dic₃	—	4	4	no	—
137	Dic₃⋊C₄	—	4	16	no	—
138	C₂³×C₄	—	3	4	no	—
139	C₂³×C₄	—	3	2	no	—
140	C₂³×C₄	—	3	2	no	—
141	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	2	yes	—
142	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	2	yes	—
143	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
144	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
145	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	6	8	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	6	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	6	2	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	12	4	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	12	4	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	12	2	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	12	2	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
159	C₂×C₄²	Dic₆	1	4	yes	—
160	C₂×C₄²	C₄×D₃	1	4	yes	—
161	C₂×C₄²	#67	1	4	yes	—
162	#95	—	2	4	no	—
163	#95	—	3	8	no	—
164	#95	—	3	8	no	—
165	#95	—	3	8	no	—
166	#95	—	6	8	no	—
167	#95	—	6	4	no	—
168	#95	—	6	4	no	—
169	#95	—	12	4	no	—
170	#95	—	12	4	no	—
171	C₂³×C₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂³×C₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
174	C₂³×C₃	C₂×#41	1	2	yes	—
175	C₂³×C₃	C₂×#41	1	2	yes	—
176	C₂³×C₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
177	C₂³×C₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
178	C₂³×C₃	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
179	C₂³×C₃	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
180	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
181	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
195	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
196	C₂×C₃×C₄	—	4	2	no	—
197	C₂×C₃×C₄	—	4	2	no	—
198	C₂×C₃×C₄	—	4	2	no	—
199	C₂×C₃×C₄	—	4	2	no	—
200	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
201	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
202	C₂×C₃×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
203	C₂×C₃×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
204	C₂×C₃×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
205	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
206	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
207	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
208	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
209	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
210	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
211	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
212	C₂×Dic₃	—	4	2	no	—
213	C₂×Dic₃	—	4	2	no	—
214	C₂×Dic₃	—	4	2	no	—
215	C₂×Dic₃	—	4	2	no	—
216	C₂×Dic₃	—	4	2	no	—
217	C₂×Dic₃	—	4	2	no	—
218	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
219	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
220	C₂×Dic₃	—	4	8	no	—
221	C₂⁴	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	3	8	no	—
237	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	6	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	6	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	6	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	6	2	no	—
252	C₂²×C₄	C₂×Dic₆	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂×Dic₆	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂×Dic₆	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₃	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₃	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₃	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	#235	1	4	yes	—
259	C₂²×C₄	#235	1	4	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
263	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
265	C₄⋊C₄	—	12	16	no	—
266	C₄⋊C₄	—	12	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	12	4	no	—
268	C₄²	—	4	8	no	—
269	C₄²	Dic₃⋊C₄	1	16	yes	complemented
270	C₂²×C₃	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₃	C₄×#41	1	2	yes	—
272	C₂²×C₃	#520	1	2	yes	—
273	C₂²×C₃	#520	1	2	yes	—
274	C₂²×C₃	#525	1	1	yes	characteristic
275	C₂²×C₃	#525	1	1	yes	characteristic
276	C₂²×C₃	#533	1	2	yes	—
277	C₂²×C₃	#535	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₃	#535	1	1	yes	characteristic
279	C₂²×C₃	#536	1	1	yes	characteristic
280	C₂²×C₃	#536	1	1	yes	characteristic
281	C₂²×C₃	#538	1	4	yes	—
282	C₂²×C₃	#539	1	4	yes	—
283	C₂²×C₃	#541	1	4	yes	—
284	C₂²×C₃	#542	1	4	yes	—
285	C₂²×C₃	#544	1	2	yes	—
286	C₂²×C₃	#544	1	2	yes	—
287	C₃×C₄	—	2	4	no	—
288	C₃×C₄	—	2	4	no	—
289	C₃×C₄	—	2	4	no	—
290	C₃×C₄	—	4	4	no	—
291	C₃×C₄	—	4	4	no	—
292	Dic₃	—	4	8	no	—
293	Dic₃	—	8	2	no	—
294	Dic₃	—	8	2	no	—
295	C₂³	C₂²×Dic₆	1	1	yes	characteristic
296	C₂³	C₂²×C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
297	C₂³	C₂×#235	1	2	yes	—
298	C₂³	C₂×#235	1	2	yes	—
299	C₂³	#1004	1	2	yes	—
300	C₂³	#1007	1	2	yes	—
301	C₂³	#1009	1	2	yes	—
302	C₂³	#1010	1	2	yes	—
303	C₂³	C₂²×#67	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	2	8	no	—
319	C₂×C₄	—	2	8	no	—
320	C₂×C₄	—	4	2	no	—
321	C₂×C₄	—	4	2	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	—	6	8	no	—
327	C₂×C₄	—	6	8	no	—
328	C₂×C₄	—	6	8	no	—
329	C₂×C₄	—	12	4	no	—
330	C₂×C₄	—	12	4	no	—
331	C₂×C₄	—	12	4	no	—
332	C₂×C₄	—	12	4	no	—
333	C₂×C₄	—	12	2	no	—
334	C₂×C₄	—	12	2	no	—
335	C₂×C₄	—	12	2	no	—
336	C₂×C₄	—	12	4	no	—
337	C₂×C₄	—	12	4	no	—
338	C₂×C₄	—	12	2	no	—
339	C₂×C₄	—	12	2	no	—
340	C₂×C₄	—	12	2	no	—
341	C₂×C₄	—	12	8	no	—
342	C₂×C₄	C₂×Dic₃⋊C₄	1	4	yes	—
343	C₂×C₄	C₂×Dic₃⋊C₄	1	4	yes	—
344	C₂×C₄	C₂×Dic₃⋊C₄	1	4	yes	—
345	C₂×C₃	#2296	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₃	#2317	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₃	#2317	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₃	#2334	1	4	yes	—
349	C₂×C₃	#2631	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₃	#2632	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₃	#2633	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₃	#2634	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₃	#2666	1	4	yes	—
354	C₂²	#5470	1	2	yes	—
355	C₂²	C₄×#235	1	2	yes	—
356	C₂²	#5500	1	2	yes	—
357	C₂²	#5504	1	2	yes	—
358	C₂²	#5519	1	2	yes	—
359	C₂²	#5523	1	2	yes	—
360	C₂²	#5560	1	4	yes	—
361	C₂²	#5564	1	4	yes	—
362	C₂²	#5582	1	4	yes	—
363	C₂²	#5583	1	4	yes	—
364	C₂²	C₂²×Dic₃⋊C₄	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	#5791	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	#5791	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	#5805	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	#5816	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	#5825	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	#5830	1	1	yes	characteristic
371	C₄	—	2	4	no	—
372	C₄	—	2	4	no	—
373	C₄	—	2	4	no	—
374	C₄	—	4	4	no	—
375	C₄	—	4	4	no	—
376	C₄	—	12	8	no	—
377	C₄	—	24	2	no	—
378	C₄	—	24	2	no	—
379	C₃	#14298	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
380	C₂	#73628	1	4	yes	—
381	C₂	#73748	1	4	yes	—
382	C₂	#82069	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#82157	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#82234	1	1	yes	characteristic
385	C₂	#82391	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#82421	1	1	yes	characteristic
387	C₂	#82486	1	1	yes	characteristic
388	C₂	#82503	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂⁴	C₂³×D₃
commutator	C₂³×C₃	C₂³×C₄
Fitting	C₂×C₃×C₄×C₄⋊C₄	C₂
socle, prime radical, cosocle	C₂⁴×C₃	C₂⁴
hypercenter	C₂×C₄×C₄⋊C₄	D₃
hypocenter	C₃	#14298
LCS	G ▷ C₂³×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄×C₄⋊C₄

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
27. #4937	C₄	semidirect
134. C₃×C₄²	C₄⋊C₄	semidirect
269. C₄²	Dic₃⋊C₄	semidirect
379. C₃	#14298	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₃×C₄×C₄⋊C₄	2
C₂×#4937	2
C₂×#4936	2
#71568	2
#71567	2
#71536	2
#69420	2
#69415	2
#14298	3