Subgroups — #10732306

Order 768.

2278 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 340 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₃×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#944	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#5229	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#4929	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#71568	C₂	1	8	yes	maximal
6	C₄×C₃⋊#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#15190	—	3	1	no	maximal, Sylow
8	C₂³×C₃×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂³×Dic₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₃×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
11	C₂×C₃×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
12	C₂²×C₃×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂²×C₃×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#944	—	2	8	no	—
15	C₂×#944	—	2	8	no	—
16	C₂×#944	—	2	8	no	—
17	C₂²×C₄⋊Dic₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×Dic₃⋊C₄	C₂²	1	8	yes	—
19	C₂²×C₄×Dic₃	C₂²	1	2	yes	—
20	#5229	—	2	8	no	—
21	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	8	yes	—
22	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
24	#4929	—	2	4	no	—
25	C₂²×C₄⋊Q₈	—	3	2	no	—
26	C₂²×C₄⋊Q₈	D₃	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#391	—	3	1	no	—
28	C₂×#391	—	3	2	no	—
29	#1444	—	3	8	no	—
30	C₄×#95	—	3	1	no	—
31	C₂²×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
32	C₂²×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
33	C₂²×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
34	C₂²×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
35	C₂²×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
36	C₂²×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
37	C₂²×C₃×Q₈	D₄	1	8	yes	—
38	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	4	yes	—
39	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×Dic₃	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂³×Dic₃	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂³×Dic₃	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂²×Dic₆	—	2	2	no	—
45	C₂²×Dic₆	—	2	4	no	—
46	C₂²×Dic₆	—	2	4	no	—
47	C₂²×Dic₆	—	2	2	no	—
48	C₂²×Dic₆	D₄	1	4	yes	—
49	C₃×C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
50	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
51	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
52	C₂×C₃×C₄²	—	2	4	no	—
53	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	4	yes	—
54	#944	—	2	64	no	—
55	C₂×C₄⋊Dic₃	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄⋊Dic₃	—	2	4	no	—
57	C₂×Dic₃⋊C₄	—	2	16	no	—
58	C₂×Dic₃⋊C₄	—	2	16	no	—
59	C₂×Dic₃⋊C₄	—	2	16	no	—
60	C₂×C₄×Dic₃	—	2	4	no	—
61	C₂×C₄×Dic₃	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄×Dic₃	D₄	1	8	yes	—
63	C₃⋊#95	—	2	8	no	—
64	C₃⋊#95	—	2	16	no	—
65	C₃⋊#95	Q₈	1	16	yes	complemented
66	C₂³×Q₈	—	3	1	no	—
67	C₂³×Q₈	C₂×D₃	1	2	yes	—
68	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
69	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
70	C₂×C₄⋊Q₈	—	6	8	no	—
71	C₂×C₄⋊Q₈	—	6	8	no	—
72	C₂×C₄⋊Q₈	—	6	8	no	—
73	C₂²×C₄⋊C₄	—	3	8	no	—
74	C₂²×C₄⋊C₄	—	3	1	no	—
75	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₃	1	4	yes	—
76	C₂²×C₄²	—	3	2	no	—
77	C₂²×C₄²	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
78	#391	—	6	8	no	—
79	#391	—	6	4	no	—
80	C₂×#95	—	3	4	no	—
81	C₂×#95	—	3	8	no	—
82	C₂×#95	—	3	4	no	—
83	C₂⁴×C₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₃×Q₈	—	2	16	no	—
85	C₂×C₃×Q₈	—	2	16	no	—
86	C₂×C₃×Q₈	—	2	16	no	—
87	C₂×C₃×Q₈	—	4	8	no	—
88	C₂×C₃×Q₈	—	4	8	no	—
89	C₂×C₃×Q₈	—	4	8	no	—
90	C₂×C₃×Q₈	—	4	8	no	—
91	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
92	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
93	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
94	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
95	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
96	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
97	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
98	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
99	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
100	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
101	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
102	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
103	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
104	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
105	C₂²×C₃×C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
106	C₂²×C₃×C₄	#41	1	2	yes	—
107	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
108	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
109	C₂²×Dic₃	—	2	8	no	—
110	C₂²×Dic₃	—	2	2	no	—
111	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
112	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
113	C₂²×Dic₃	—	2	2	no	—
114	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
115	C₂²×Dic₃	—	2	2	no	—
116	C₂²×Dic₃	—	2	8	no	—
117	C₂²×Dic₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
118	C₂²×Dic₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
119	C₂²×Dic₃	C₂×Q₈	1	16	yes	—
120	C₂×Dic₆	—	2	16	no	—
121	C₂×Dic₆	—	2	8	no	—
122	C₂×Dic₆	—	4	4	no	—
123	C₂×Dic₆	—	4	8	no	—
124	C₂×Dic₆	—	4	4	no	—
125	C₃×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
126	C₃×C₄²	—	2	8	no	—
127	C₄⋊Dic₃	—	4	4	no	—
128	Dic₃⋊C₄	—	2	64	no	—
129	C₄×Dic₃	—	2	16	no	—
130	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
131	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
132	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
133	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
134	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
135	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
136	C₂²×Q₈	—	3	4	no	—
137	C₂²×Q₈	—	6	4	no	—
138	C₂²×Q₈	—	6	2	no	—
139	C₂²×Q₈	—	6	4	no	—
140	C₂²×Q₈	—	6	2	no	—
141	C₂²×Q₈	#67	1	8	yes	—
142	C₂³×C₄	—	3	4	no	—
143	C₂³×C₄	—	3	2	no	—
144	C₂³×C₄	—	3	2	no	—
145	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	4	yes	—
146	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	2	yes	—
147	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
148	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	6	64	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	6	16	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	6	16	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	6	16	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	6	2	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄²	—	3	8	no	—
159	C₂×C₄²	—	6	4	no	—
160	C₂×C₄²	—	6	4	no	—
161	C₂×C₄²	#67	1	4	yes	—
162	#95	—	3	16	no	—
163	#95	—	6	16	no	—
164	#95	—	6	8	no	—
165	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
167	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
168	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂³×C₃	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
170	C₂³×C₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
171	C₂³×C₃	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
172	C₃×Q₈	—	4	32	no	—
173	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
174	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
175	C₂×C₃×C₄	—	2	16	no	—
176	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
177	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
178	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
179	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
180	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
181	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
182	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
183	C₂×C₃×C₄	#120	1	8	yes	—
184	C₂×C₃×C₄	#120	1	4	yes	—
185	C₂×C₃×C₄	#121	1	4	yes	—
186	C₂×C₃×C₄	#121	1	8	yes	—
187	C₂×C₃×C₄	#127	1	4	yes	—
188	C₂×C₃×C₄	C₄⋊Q₈	1	8	yes	complemented
189	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
190	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
191	C₂×Dic₃	—	2	16	no	—
192	C₂×Dic₃	—	2	16	no	—
193	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
194	C₂×Dic₃	—	2	4	no	—
195	C₂×Dic₃	—	4	2	no	—
196	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
197	C₂×Dic₃	—	4	2	no	—
198	C₂×Dic₃	—	4	2	no	—
199	C₂×Dic₃	—	4	8	no	—
200	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
201	C₂×Dic₃	C₄⋊Q₈	1	16	yes	complemented
202	Dic₆	—	4	16	no	—
203	C₂⁴	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
204	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
207	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
211	C₂×Q₈	—	6	16	no	—
212	C₂×Q₈	—	6	8	no	—
213	C₂×Q₈	—	12	8	no	—
214	C₂×Q₈	—	12	4	no	—
215	C₂×Q₈	—	12	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	3	8	no	—
225	C₂²×C₄	—	3	16	no	—
226	C₂²×C₄	—	3	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	6	8	no	—
229	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	6	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	6	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	6	8	no	—
236	C₂²×C₄	—	6	2	no	—
237	C₂²×C₄	D₃×D₄	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	D₃×D₄	1	4	yes	—
239	C₂²×C₄	#237	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	D₃×Q₈	1	8	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂×#67	1	8	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂×#67	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂×#67	1	4	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
245	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
246	C₄⋊C₄	—	6	64	no	—
247	C₄⋊C₄	—	12	4	no	—
248	C₄²	—	2	8	no	—
249	C₄²	—	6	16	no	—
250	C₂²×C₃	C₂×#120	1	2	yes	—
251	C₂²×C₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₃	C₂×#121	1	2	yes	—
254	C₂²×C₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₃	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
256	C₂²×C₃	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
257	C₂²×C₃	#536	1	4	yes	—
258	C₂²×C₃	#536	1	2	yes	—
259	C₂²×C₃	D₄×Q₈	1	4	yes	—
260	C₂²×C₃	D₄×Q₈	1	8	yes	—
261	C₂²×C₃	#557	1	4	yes	—
262	C₃×C₄	—	2	8	no	—
263	C₃×C₄	—	4	8	no	—
264	C₃×C₄	#392	1	8	yes	—
265	Dic₃	—	2	16	no	—
266	Dic₃	—	4	4	no	—
267	Dic₃	—	8	2	no	—
268	C₂³	C₂×D₃×D₄	1	2	yes	—
269	C₂³	C₂×D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂³	C₂×#237	1	1	yes	characteristic
271	C₂³	C₂×D₃×Q₈	1	4	yes	—
272	C₂³	#1007	1	4	yes	—
273	C₂³	C₂²×#67	1	2	yes	—
274	C₂³	C₂²×#67	1	1	yes	characteristic
275	Q₈	—	4	32	no	—
276	Q₈	—	12	16	no	—
277	C₂×C₄	—	2	16	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	2	8	no	—
281	C₂×C₄	—	2	8	no	—
282	C₂×C₄	—	2	8	no	—
283	C₂×C₄	—	3	16	no	—
284	C₂×C₄	—	4	4	no	—
285	C₂×C₄	—	4	4	no	—
286	C₂×C₄	—	4	4	no	—
287	C₂×C₄	—	4	4	no	—
288	C₂×C₄	—	6	8	no	—
289	C₂×C₄	—	6	16	no	—
290	C₂×C₄	—	6	8	no	—
291	C₂×C₄	—	6	16	no	—
292	C₂×C₄	—	6	8	no	—
293	C₂×C₄	—	6	4	no	—
294	C₂×C₄	—	12	4	no	—
295	C₂×C₄	—	12	2	no	—
296	C₂×C₄	—	12	2	no	—
297	C₂×C₄	—	12	8	no	—
298	C₂×C₄	—	12	2	no	—
299	C₂×C₄	—	12	4	no	—
300	C₂×C₄	#937	1	8	yes	—
301	C₂×C₄	#938	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	#939	1	8	yes	—
303	C₂×C₄	#940	1	4	yes	—
304	C₂×C₄	#944	1	8	yes	complemented
305	C₂×C₄	#953	1	4	yes	—
306	C₂×C₃	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₃	#2434	1	4	yes	—
308	C₂×C₃	#2434	1	2	yes	—
309	C₂×C₃	#2546	1	4	yes	—
310	C₂×C₃	#2546	1	2	yes	—
311	C₂×C₃	#2658	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₃	#2868	1	1	yes	characteristic
313	C₂²	#5721	1	4	yes	—
314	C₂²	D₃×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
315	C₂²	#5724	1	4	yes	—
316	C₂²	#5727	1	4	yes	—
317	C₂²	C₂×#937	1	2	yes	—
318	C₂²	C₂×#938	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	C₂×#939	1	2	yes	—
320	C₂²	C₂×#940	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	C₂×#944	1	2	yes	—
322	C₂²	Q₈×#67	1	8	yes	—
323	C₂²	#5816	1	2	yes	—
324	C₂²	C₂×#953	1	1	yes	characteristic
325	C₄	—	2	8	no	—
326	C₄	—	4	8	no	—
327	C₄	—	6	16	no	—
328	C₄	—	12	4	no	—
329	C₄	—	24	2	no	—
330	C₄	#5223	1	8	yes	—
331	C₃	#15190	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
332	C₂	#83232	1	4	yes	—
333	C₂	#83238	1	4	yes	—
334	C₂	#83239	1	2	yes	—
335	C₂	#83253	1	1	yes	characteristic
336	C₂	#83264	1	1	yes	characteristic
337	C₂	C₂×#5223	1	1	yes	characteristic
338	C₂	#84065	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂⁴	C₂³×D₃
commutator, socle, prime radical, cosocle	C₂⁴×C₃	C₂⁴
Fitting	C₂²×C₃×C₄⋊Q₈	C₂
hypercenter	C₂²×C₄⋊Q₈	D₃
hypocenter	C₃	#15190
LCS	G ▷ C₂⁴×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂²×C₄⋊Q₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
65. C₃⋊#95	Q₈	semidirect
188. C₂×C₃×C₄	C₄⋊Q₈	semidirect
201. C₂×Dic₃	C₄⋊Q₈	semidirect
304. C₂×C₄	#944	semidirect
331. C₃	#15190	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₃×C₄⋊Q₈	2
C₂²×#944	2
C₂×#5229	2
C₂×#4929	2
#71568	2
C₄×C₃⋊#95	2
#15190	3