Subgroups — #10732310

Order 768.

1742 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 376 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₃×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#4973	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#4929	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#72134	C₂	1	4	yes	maximal
5	#71567	C₂	1	4	yes	maximal
6	#71563	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₄×C₃⋊#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#15191	—	3	1	no	maximal, Sylow
9	C₂³×C₃×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂³×Dic₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₃×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
12	C₂×C₃×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
13	C₂²×C₃×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₃×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₃×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×C₄⋊Dic₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₄×Dic₃	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	8	yes	—
21	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	8	yes	—
23	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
24	#4973	—	2	8	no	—
25	#4929	—	2	4	no	—
26	C₂²×C₄⋊Q₈	D₃	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#391	—	3	1	no	—
28	C₂×#391	—	3	2	no	—
29	#1446	—	3	4	no	—
30	#1442	—	3	4	no	—
31	C₄⋊#95	—	3	2	no	—
32	C₄×#95	—	3	1	no	—
33	C₂²×C₃×Q₈	—	2	8	no	—
34	C₂²×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
35	C₂²×C₃×Q₈	—	2	8	no	—
36	C₂²×C₃×Q₈	—	4	4	no	—
37	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	4	yes	—
38	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×Dic₃	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂³×Dic₃	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂³×Dic₃	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂²×Dic₆	—	2	2	no	—
45	C₂²×Dic₆	—	2	4	no	—
46	C₂²×Dic₆	—	2	2	no	—
47	C₂²×Dic₆	—	2	4	no	—
48	C₂²×Dic₆	Q₈	1	4	yes	complemented
49	C₃×C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
50	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
51	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
52	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
53	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
54	C₂×C₃×C₄⋊C₄	D₄	1	8	yes	—
55	C₂×C₃×C₄²	—	2	4	no	—
56	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	4	yes	—
57	C₂×C₄⋊Dic₃	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄⋊Dic₃	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄×Dic₃	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄×Dic₃	—	2	4	no	—
61	C₂×C₄×Dic₃	—	2	4	no	—
62	C₃⋊#95	—	2	4	no	—
63	C₃⋊#95	—	2	4	no	—
64	C₃⋊#95	—	2	16	no	—
65	C₃⋊#95	—	2	4	no	—
66	C₃⋊#95	—	4	8	no	—
67	C₃⋊#95	Q₈	1	8	yes	complemented
68	C₂³×Q₈	—	3	1	no	—
69	C₂³×Q₈	C₂×D₃	1	2	yes	—
70	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
71	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
72	C₂²×C₄⋊C₄	—	3	1	no	—
73	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₃	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₃	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄²	—	3	2	no	—
76	C₂²×C₄²	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
77	#391	—	6	8	no	—
78	#391	—	6	4	no	—
79	C₂×#95	—	3	2	no	—
80	C₂×#95	—	3	2	no	—
81	C₂×#95	—	3	2	no	—
82	C₂×#95	—	3	8	no	—
83	C₂×#95	—	3	2	no	—
84	C₂×#95	—	3	8	no	—
85	C₂⁴×C₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₃×Q₈	—	2	16	no	—
87	C₂×C₃×Q₈	—	4	32	no	—
88	C₂×C₃×Q₈	—	4	8	no	—
89	C₂×C₃×Q₈	—	4	8	no	—
90	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
91	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
92	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
93	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
94	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
95	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
96	C₂²×C₃×C₄	—	2	8	no	—
97	C₂²×C₃×C₄	—	2	8	no	—
98	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
99	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
100	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
101	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
102	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂²×C₃×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
104	C₂²×C₃×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
105	C₂²×C₃×C₄	#41	1	4	yes	—
106	C₂²×C₃×C₄	#41	1	2	yes	—
107	C₂²×C₃×C₄	#41	1	4	yes	—
108	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
109	C₂²×Dic₃	—	2	2	no	—
110	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
111	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
112	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
113	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
114	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
115	C₂²×Dic₃	—	2	2	no	—
116	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
117	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
118	C₂²×Dic₃	—	2	2	no	—
119	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
120	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
121	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
122	C₂²×Dic₃	C₂×Q₈	1	8	yes	—
123	C₂²×Dic₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
124	C₂×Dic₆	—	2	8	no	—
125	C₂×Dic₆	—	2	16	no	—
126	C₂×Dic₆	—	4	4	no	—
127	C₂×Dic₆	—	4	8	no	—
128	C₂×Dic₆	—	4	4	no	—
129	C₃×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
130	C₃×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
131	C₃×C₄²	—	2	8	no	—
132	C₄⋊Dic₃	—	4	4	no	—
133	C₄×Dic₃	—	4	8	no	—
134	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
135	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
136	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
137	C₂²×Q₈	—	3	4	no	—
138	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
139	C₂²×Q₈	—	6	2	no	—
140	C₂²×Q₈	—	6	4	no	—
141	C₂²×Q₈	—	6	4	no	—
142	C₂²×Q₈	—	6	2	no	—
143	C₂³×C₄	—	3	2	no	—
144	C₂³×C₄	—	3	4	no	—
145	C₂³×C₄	—	3	2	no	—
146	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	4	yes	—
147	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
148	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
149	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
150	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	6	2	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	#67	1	8	yes	—
158	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄²	—	6	4	no	—
160	C₂×C₄²	—	6	4	no	—
161	C₂×C₄²	—	6	4	no	—
162	C₂×C₄²	#67	1	4	yes	—
163	#95	—	3	8	no	—
164	#95	—	6	4	no	—
165	#95	—	6	16	no	—
166	#95	—	6	4	no	—
167	#95	—	6	4	no	—
168	#95	—	12	8	no	—
169	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
171	C₂³×C₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
172	C₂³×C₃	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
173	C₂³×C₃	C₂×#41	1	2	yes	—
174	C₂³×C₃	C₂×#41	1	2	yes	—
175	C₂³×C₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
176	C₂³×C₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
177	C₂³×C₃	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
178	C₃×Q₈	—	4	32	no	—
179	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
184	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
185	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
186	C₂×C₃×C₄	—	2	16	no	—
187	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
188	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
189	C₂×C₃×C₄	—	4	8	no	—
190	C₂×C₃×C₄	#120	1	4	yes	—
191	C₂×C₃×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
192	C₂×C₃×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
193	C₂×C₃×C₄	#124	1	4	yes	—
194	C₂×C₃×C₄	#124	1	8	yes	—
195	C₂×C₃×C₄	#124	1	4	yes	—
196	C₂×C₃×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
197	C₂×Dic₃	—	2	4	no	—
198	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
199	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
200	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
201	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
202	C₂×Dic₃	—	4	2	no	—
203	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
204	C₂×Dic₃	—	4	2	no	—
205	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
206	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
207	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
208	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
209	C₂×Dic₃	—	4	2	no	—
210	C₂×Dic₃	—	4	2	no	—
211	C₂×Dic₃	—	4	2	no	—
212	C₂×Dic₃	—	4	8	no	—
213	Dic₆	—	4	16	no	—
214	C₂⁴	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
215	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
216	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
217	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
218	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
219	C₂×Q₈	—	6	16	no	—
220	C₂×Q₈	—	6	8	no	—
221	C₂×Q₈	—	12	8	no	—
222	C₂×Q₈	—	12	4	no	—
223	C₂×Q₈	—	12	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	3	8	no	—
233	C₂²×C₄	—	3	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	6	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	6	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	6	2	no	—
248	C₂²×C₄	#237	1	4	yes	—
249	C₂²×C₄	D₃×Q₈	1	4	yes	—
250	C₂²×C₄	D₃×Q₈	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	#239	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	#239	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂×#67	1	8	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂×#67	1	4	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
258	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
260	C₄⋊C₄	—	12	4	no	—
261	C₄²	—	2	8	no	—
262	C₄²	—	12	8	no	—
263	C₂²×C₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
266	C₂²×C₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
268	C₂²×C₃	C₂×#124	1	2	yes	—
269	C₂²×C₃	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₃	#533	1	4	yes	—
271	C₂²×C₃	#535	1	1	yes	characteristic
272	C₂²×C₃	#536	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₃	#542	1	4	yes	—
274	C₂²×C₃	#546	1	4	yes	—
275	C₂²×C₃	D₄×Q₈	1	4	yes	—
276	C₂²×C₃	#554	1	2	yes	—
277	C₂²×C₃	#556	1	2	yes	—
278	C₂²×C₃	#557	1	2	yes	—
279	C₂²×C₃	Q₈²	1	2	yes	—
280	C₃×C₄	—	2	4	no	—
281	C₃×C₄	—	2	4	no	—
282	C₃×C₄	—	4	8	no	—
283	C₃×C₄	#393	1	8	yes	—
284	Dic₃	—	4	4	no	—
285	Dic₃	—	4	8	no	—
286	Dic₃	—	8	2	no	—
287	C₂³	C₂×#237	1	2	yes	—
288	C₂³	#1004	1	2	yes	—
289	C₂³	C₂×D₃×Q₈	1	1	yes	characteristic
290	C₂³	C₂×D₃×Q₈	1	2	yes	—
291	C₂³	C₂×#239	1	2	yes	—
292	C₂³	C₂×#239	1	1	yes	characteristic
293	C₂³	#1007	1	2	yes	—
294	C₂³	C₂²×#67	1	1	yes	characteristic
295	C₂³	C₂²×#67	1	2	yes	—
296	Q₈	—	4	32	no	—
297	Q₈	—	12	16	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	8	no	—
300	C₂×C₄	—	2	8	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	16	no	—
305	C₂×C₄	—	2	8	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	4	8	no	—
309	C₂×C₄	—	6	8	no	—
310	C₂×C₄	—	6	8	no	—
311	C₂×C₄	—	6	8	no	—
312	C₂×C₄	—	6	4	no	—
313	C₂×C₄	—	6	8	no	—
314	C₂×C₄	—	12	4	no	—
315	C₂×C₄	—	12	4	no	—
316	C₂×C₄	—	12	4	no	—
317	C₂×C₄	—	12	4	no	—
318	C₂×C₄	—	12	2	no	—
319	C₂×C₄	—	12	4	no	—
320	C₂×C₄	—	12	2	no	—
321	C₂×C₄	—	12	8	no	—
322	C₂×C₄	—	12	2	no	—
323	C₂×C₄	—	12	2	no	—
324	C₂×C₄	—	12	2	no	—
325	C₂×C₄	#936	1	4	yes	—
326	C₂×C₄	#944	1	4	yes	—
327	C₂×C₄	#946	1	8	yes	—
328	C₂×C₄	#946	1	4	yes	—
329	C₂×C₄	#947	1	8	yes	—
330	C₂×C₄	#947	1	4	yes	—
331	C₂×C₄	#953	1	4	yes	—
332	C₂×C₃	C₂×#393	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₃	#2434	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₃	#2435	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₃	#2451	1	4	yes	—
336	C₂×C₃	#2492	1	4	yes	—
337	C₂×C₃	#2567	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₃	#2568	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₃	#2640	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₃	#2862	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	#5721	1	2	yes	—
342	C₂²	#5722	1	2	yes	—
343	C₂²	#5728	1	4	yes	—
344	C₂²	#5730	1	2	yes	—
345	C₂²	#5732	1	2	yes	—
346	C₂²	#5733	1	4	yes	—
347	C₂²	C₂×#936	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	#5805	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	#5806	1	4	yes	—
350	C₂²	C₂×#944	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	C₂×#946	1	2	yes	—
352	C₂²	C₂×#946	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	C₂×#947	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	C₂×#947	1	2	yes	—
355	C₂²	Q₈×#67	1	4	yes	—
356	C₂²	#5816	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	C₂×#953	1	1	yes	characteristic
358	C₄	—	2	4	no	—
359	C₄	—	2	4	no	—
360	C₄	—	4	8	no	—
361	C₄	—	12	8	no	—
362	C₄	—	12	4	no	—
363	C₄	—	24	2	no	—
364	C₄	#5231	1	8	yes	—
365	C₃	#15191	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
366	C₂	#83235	1	4	yes	—
367	C₂	#83243	1	1	yes	characteristic
368	C₂	#83244	1	1	yes	characteristic
369	C₂	#83252	1	1	yes	characteristic
370	C₂	#83258	1	4	yes	—
371	C₂	#83263	1	1	yes	characteristic
372	C₂	#84050	1	1	yes	characteristic
373	C₂	#84065	1	1	yes	characteristic
374	C₂	C₂×#5231	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂⁴	C₂³×D₃
commutator, socle, prime radical, cosocle	C₂⁴×C₃	C₂⁴
Fitting	C₂²×C₃×C₄⋊Q₈	C₂
hypercenter	C₂²×C₄⋊Q₈	D₃
hypocenter	C₃	#15191
LCS	G ▷ C₂⁴×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂²×C₄⋊Q₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
48. C₂²×Dic₆	Q₈	semidirect
67. C₃⋊#95	Q₈	semidirect
365. C₃	#15191	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₃×C₄⋊Q₈	2
C₂×#4973	2
C₂×#4929	2
#72134	2
#71567	2
#71563	2
C₄×C₃⋊#95	2
#15191	3