Subgroups — #10732636

Order 768.

1678 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 366 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₃×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#4977	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#4928	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#72134	C₂	1	4	yes	maximal
5	#71566	C₂	1	4	yes	maximal
6	#71563	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₄×C₃⋊#95	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#15230	—	3	1	no	maximal, Sylow
9	C₂³×C₃×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×C₃×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
11	C₂×C₃×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
12	C₂²×C₃×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×C₃×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₃×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×C₄⋊Dic₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×C₄⋊Dic₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×Dic₃⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₄×Dic₃	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	8	yes	—
22	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	8	yes	—
24	#4977	—	2	8	no	—
25	#4928	—	2	4	no	—
26	C₂²×C₄⋊Q₈	D₃	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#389	—	3	1	no	—
28	C₂×#382	—	3	2	no	—
29	#1446	—	3	4	no	—
30	#1441	—	3	4	no	—
31	C₄⋊#95	—	3	2	no	—
32	C₄×#95	—	3	1	no	—
33	C₂²×C₃×Q₈	—	2	8	no	—
34	C₂²×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
35	C₂²×C₃×Q₈	—	2	8	no	—
36	C₂²×C₃×Q₈	—	4	4	no	—
37	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	4	yes	—
38	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×Dic₃	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂³×Dic₃	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂³×Dic₃	C₂³	1	2	yes	—
44	C₃×C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
45	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
46	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
47	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
48	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
49	C₂×C₃×C₄⋊C₄	D₄	1	8	yes	—
50	C₂×C₃×C₄²	—	2	4	no	—
51	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	4	yes	—
52	C₂×C₄⋊Dic₃	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄⋊Dic₃	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄⋊Dic₃	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄⋊Dic₃	—	2	4	no	—
56	C₂×C₄⋊Dic₃	Q₈	1	4	yes	complemented
57	C₂×Dic₃⋊C₄	—	2	4	no	—
58	C₂×Dic₃⋊C₄	—	2	8	no	—
59	C₂×C₄×Dic₃	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄×Dic₃	—	2	4	no	—
61	C₂×C₄×Dic₃	Q₈	1	8	yes	complemented
62	C₃⋊#95	—	2	4	no	—
63	C₃⋊#95	—	2	16	no	—
64	C₃⋊#95	—	2	4	no	—
65	C₃⋊#95	—	2	4	no	—
66	C₃⋊#95	—	4	8	no	—
67	C₂³×Q₈	C₂×D₃	1	2	yes	—
68	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
69	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	—	3	1	no	—
71	C₂²×C₄⋊C₄	—	3	2	no	—
72	C₂²×C₄⋊C₄	—	3	1	no	—
73	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₃	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₃	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄²	—	3	2	no	—
76	C₂²×C₄²	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
77	#389	—	6	4	no	—
78	#382	—	6	8	no	—
79	C₂×#95	—	3	2	no	—
80	C₂×#95	—	3	2	no	—
81	C₂×#95	—	3	8	no	—
82	C₂×#95	—	3	2	no	—
83	C₂×#95	—	3	8	no	—
84	C₂⁴×C₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₃×Q₈	—	2	16	no	—
86	C₂×C₃×Q₈	—	4	32	no	—
87	C₂×C₃×Q₈	—	4	8	no	—
88	C₂×C₃×Q₈	—	4	8	no	—
89	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
90	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
91	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
92	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
93	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
94	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
95	C₂²×C₃×C₄	—	2	8	no	—
96	C₂²×C₃×C₄	—	2	8	no	—
97	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
98	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
99	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
100	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
101	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
102	C₂²×C₃×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
103	C₂²×C₃×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
104	C₂²×C₃×C₄	#41	1	4	yes	—
105	C₂²×C₃×C₄	#41	1	4	yes	—
106	C₂²×C₃×C₄	#41	1	2	yes	—
107	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
108	C₂²×Dic₃	—	2	2	no	—
109	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
110	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
111	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
112	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
113	C₂²×Dic₃	—	2	2	no	—
114	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
115	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
116	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
117	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
118	C₂²×Dic₃	—	2	2	no	—
119	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
120	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
121	C₂²×Dic₃	C₂×Q₈	1	8	yes	—
122	C₂²×Dic₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
123	C₃×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
124	C₃×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
125	C₃×C₄²	—	2	8	no	—
126	C₄⋊Dic₃	—	2	8	no	—
127	C₄⋊Dic₃	—	4	4	no	—
128	Dic₃⋊C₄	—	4	8	no	—
129	C₄×Dic₃	—	2	16	no	—
130	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
131	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
132	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
133	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
134	C₂³×C₄	—	3	2	no	—
135	C₂³×C₄	—	3	4	no	—
136	C₂³×C₄	—	3	2	no	—
137	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	4	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
139	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
140	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
141	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	3	4	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	6	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	6	2	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	6	8	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	6	2	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	#67	1	8	yes	—
154	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄²	—	3	8	no	—
156	C₂×C₄²	—	6	4	no	—
157	C₂×C₄²	—	6	4	no	—
158	C₂×C₄²	#67	1	4	yes	—
159	#95	—	6	4	no	—
160	#95	—	6	4	no	—
161	#95	—	6	16	no	—
162	#95	—	6	4	no	—
163	#95	—	12	8	no	—
164	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
166	C₂³×C₃	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
167	C₂³×C₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
168	C₂³×C₃	C₂×#41	1	2	yes	—
169	C₂³×C₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
170	C₂³×C₃	C₂×#41	1	2	yes	—
171	C₂³×C₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
172	C₂³×C₃	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
173	C₃×Q₈	—	4	32	no	—
174	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
179	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
180	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
181	C₂×C₃×C₄	—	2	16	no	—
182	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
183	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
184	C₂×C₃×C₄	—	4	8	no	—
185	C₂×C₃×C₄	#120	1	4	yes	—
186	C₂×C₃×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
187	C₂×C₃×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
188	C₂×C₃×C₄	#124	1	4	yes	—
189	C₂×C₃×C₄	#124	1	4	yes	—
190	C₂×C₃×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
191	C₂×C₃×C₄	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
192	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
193	C₂×Dic₃	—	2	4	no	—
194	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
195	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
196	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
197	C₂×Dic₃	—	4	2	no	—
198	C₂×Dic₃	—	4	2	no	—
199	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
200	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
201	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
202	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
203	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
204	C₂×Dic₃	—	4	2	no	—
205	C₂×Dic₃	—	4	2	no	—
206	C₂×Dic₃	—	4	2	no	—
207	C₂×Dic₃	—	4	8	no	—
208	C₂⁴	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
209	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
212	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	3	8	no	—
222	C₂²×C₄	—	3	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	6	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	6	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	6	2	no	—
237	C₂²×C₄	#237	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	D₃×Q₈	1	4	yes	—
239	C₂²×C₄	D₃×Q₈	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	#239	1	4	yes	—
241	C₂²×C₄	#239	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂×#67	1	8	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×#67	1	4	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
247	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
249	C₄⋊C₄	—	6	8	no	—
250	C₄⋊C₄	—	12	8	no	—
251	C₄⋊C₄	—	12	4	no	—
252	C₄²	—	2	8	no	—
253	C₄²	—	6	16	no	—
254	C₂²×C₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
257	C₂²×C₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₃	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₃	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
261	C₂²×C₃	#533	1	4	yes	—
262	C₂²×C₃	#535	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₃	#536	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₃	#544	1	4	yes	—
265	C₂²×C₃	#546	1	4	yes	—
266	C₂²×C₃	#548	1	4	yes	—
267	C₂²×C₃	#554	1	2	yes	—
268	C₂²×C₃	#555	1	2	yes	—
269	C₂²×C₃	#556	1	2	yes	—
270	C₂²×C₃	#557	1	2	yes	—
271	C₃×C₄	—	2	4	no	—
272	C₃×C₄	—	2	4	no	—
273	C₃×C₄	—	4	8	no	—
274	C₃×C₄	#395	1	8	yes	—
275	Dic₃	—	4	4	no	—
276	Dic₃	—	4	8	no	—
277	Dic₃	—	8	2	no	—
278	C₂³	C₂×#237	1	2	yes	—
279	C₂³	#1004	1	2	yes	—
280	C₂³	C₂×D₃×Q₈	1	1	yes	characteristic
281	C₂³	C₂×D₃×Q₈	1	2	yes	—
282	C₂³	C₂×#239	1	2	yes	—
283	C₂³	C₂×#239	1	1	yes	characteristic
284	C₂³	#1007	1	2	yes	—
285	C₂³	C₂²×#67	1	1	yes	characteristic
286	C₂³	C₂²×#67	1	2	yes	—
287	Q₈	—	4	32	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	8	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	8	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	16	no	—
295	C₂×C₄	—	2	8	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	—	4	4	no	—
298	C₂×C₄	—	4	8	no	—
299	C₂×C₄	—	6	8	no	—
300	C₂×C₄	—	6	8	no	—
301	C₂×C₄	—	6	8	no	—
302	C₂×C₄	—	6	8	no	—
303	C₂×C₄	—	6	4	no	—
304	C₂×C₄	—	12	4	no	—
305	C₂×C₄	—	12	4	no	—
306	C₂×C₄	—	12	4	no	—
307	C₂×C₄	—	12	2	no	—
308	C₂×C₄	—	12	4	no	—
309	C₂×C₄	—	12	2	no	—
310	C₂×C₄	—	12	4	no	—
311	C₂×C₄	—	12	2	no	—
312	C₂×C₄	—	12	2	no	—
313	C₂×C₄	—	12	8	no	—
314	C₂×C₄	—	12	2	no	—
315	C₂×C₄	#936	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	#944	1	8	yes	—
317	C₂×C₄	#944	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	#946	1	8	yes	—
319	C₂×C₄	#946	1	4	yes	—
320	C₂×C₄	#947	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	#953	1	4	yes	—
322	C₂×C₃	C₂×#395	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₃	#2435	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₃	#2436	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₃	#2439	1	4	yes	—
326	C₂×C₃	#2550	1	4	yes	—
327	C₂×C₃	#2563	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₃	#2568	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₃	#2660	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₃	#2862	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	#5721	1	2	yes	—
332	C₂²	#5728	1	4	yes	—
333	C₂²	#5729	1	4	yes	—
334	C₂²	#5730	1	2	yes	—
335	C₂²	#5732	1	2	yes	—
336	C₂²	#5734	1	2	yes	—
337	C₂²	C₂×#936	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	#5805	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	#5806	1	4	yes	—
340	C₂²	C₂×#944	1	2	yes	—
341	C₂²	C₂×#944	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	C₂×#946	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	C₂×#946	1	2	yes	—
344	C₂²	C₂×#947	1	1	yes	characteristic
345	C₂²	#5816	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	#5817	1	4	yes	—
347	C₂²	C₂×#953	1	1	yes	characteristic
348	C₄	—	2	4	no	—
349	C₄	—	2	4	no	—
350	C₄	—	4	8	no	—
351	C₄	—	12	8	no	—
352	C₄	—	12	4	no	—
353	C₄	—	24	2	no	—
354	C₄	#5230	1	8	yes	—
355	C₃	#15230	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
356	C₂	#83241	1	4	yes	—
357	C₂	#83244	1	1	yes	characteristic
358	C₂	#83246	1	1	yes	characteristic
359	C₂	#83252	1	1	yes	characteristic
360	C₂	#83256	1	4	yes	—
361	C₂	#83260	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#84050	1	1	yes	characteristic
363	C₂	C₂×#5230	1	1	yes	characteristic
364	C₂	#84066	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂⁴	C₂³×D₃
commutator, socle, prime radical, cosocle	C₂⁴×C₃	C₂⁴
Fitting	C₂²×C₃×C₄⋊Q₈	C₂
hypercenter	C₂²×C₄⋊Q₈	D₃
hypocenter	C₃	#15230
LCS	G ▷ C₂⁴×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂²×C₄⋊Q₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
56. C₂×C₄⋊Dic₃	Q₈	semidirect
61. C₂×C₄×Dic₃	Q₈	semidirect
355. C₃	#15230	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₃×C₄⋊Q₈	2
C₂×#4977	2
C₂×#4928	2
#72134	2
#71566	2
#71563	2
C₄×C₃⋊#95	2
#15230	3