Subgroups — #10763308

Order 768.

1234 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 344 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₃×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#4926	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#71798	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#71719	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#17675	—	3	1	no	maximal, Sylow
6	C₂²×C₃×#41	C₄	1	2	yes	—
7	C₃×#532	—	2	2	no	—
8	C₃×#532	—	2	2	no	—
9	C₃×#532	C₄	1	4	yes	—
10	C₃×#532	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂×C₃×C₄⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₃×#127	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₃×#124	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₃×#121	—	2	2	no	—
15	C₂×C₃×C₄×D₄	—	2	2	no	—
16	C₂²×C₃×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#830	—	2	2	no	—
18	#4926	—	2	2	no	—
19	#4926	—	2	2	no	—
20	#4926	C₂²	1	4	yes	—
21	#4926	C₂²	1	4	yes	complemented
22	C₂×C₄⋊(C₃⋊C₈)	—	2	2	no	—
23	C₂×#803	C₂²	1	4	yes	complemented
24	#4540	C₂²	1	16	yes	complemented
25	C₂×#532	D₃	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#432	—	3	2	no	—
27	#1533	—	3	4	no	—
28	#1530	—	3	8	no	—
29	C₂×C₃×#41	—	2	4	no	—
30	C₂×C₃×#41	—	4	8	no	—
31	C₂×C₃×#41	C₂×C₄	1	8	yes	—
32	C₂²×C₃×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
33	C₂²×C₃×D₄	—	2	2	no	—
34	C₂²×C₃×D₄	—	2	2	no	—
35	C₂²×C₃×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
36	C₂³×C₃×C₄	—	2	2	no	—
37	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×C₃×C₄	D₄	1	2	yes	—
39	C₃×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
40	C₃×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
41	C₃×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
42	C₃×#127	—	2	1	no	—
43	C₃×#127	—	2	1	no	—
44	C₃×#127	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₃×#124	—	2	4	no	—
46	C₃×#124	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₃×#124	C₂³	1	4	yes	—
48	C₃×#121	—	2	4	no	—
49	C₃×#121	—	2	4	no	—
50	C₃×#121	—	2	4	no	—
51	C₃×#121	—	2	4	no	—
52	C₃×C₄×D₄	—	2	4	no	—
53	C₃×C₄×D₄	—	2	4	no	—
54	C₃×C₄×D₄	—	2	4	no	—
55	C₃×C₄×D₄	—	2	4	no	—
56	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
57	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
58	C₂×C₃×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₃×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	2	yes	—
61	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	2	yes	—
62	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₃×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×C₃×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₃⋊C₈	—	2	4	no	—
66	#830	—	2	4	no	—
67	#830	—	2	4	no	—
68	C₄⋊(C₃⋊C₈)	—	2	4	no	—
69	C₄⋊(C₃⋊C₈)	—	2	4	no	—
70	#803	—	2	4	no	—
71	#803	C₂³	1	8	yes	—
72	C₂²×#41	Dic₃	1	2	yes	—
73	#532	—	2	2	no	—
74	#532	—	2	2	no	—
75	#532	Dic₃	1	4	yes	—
76	#532	C₂×D₃	1	4	yes	—
77	C₂×C₄⋊Q₈	Dic₃	1	1	yes	characteristic
78	C₂×#127	Dic₃	1	1	yes	characteristic
79	C₂×#124	C₂×D₃	1	2	yes	—
80	C₂×#121	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
82	C₂²×C₄²	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
83	#432	—	3	4	no	—
84	#432	—	3	4	no	—
85	#432	—	6	2	no	—
86	#432	—	6	2	no	—
87	C₂×C₄⋊C₈	—	6	2	no	—
88	C₂×C₂²⋊C₈	—	6	2	no	—
89	C₂×#97	—	3	4	no	—
90	#329	—	3	16	no	—
91	C₂⁴×C₃	—	2	2	no	—
92	C₂⁴×C₃	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
93	C₃×#41	—	4	16	no	—
94	C₃×#41	—	4	16	no	—
95	C₂×C₃×Q₈	—	2	2	no	—
96	C₂×C₃×Q₈	—	4	4	no	—
97	C₂×C₃×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
98	C₂×C₃×D₄	—	2	8	no	—
99	C₂×C₃×D₄	—	2	4	no	—
100	C₂×C₃×D₄	—	2	4	no	—
101	C₂×C₃×D₄	—	2	2	no	—
102	C₂×C₃×D₄	—	4	4	no	—
103	C₂×C₃×D₄	—	4	8	no	—
104	C₂×C₃×D₄	—	4	8	no	—
105	C₂×C₃×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
106	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
107	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₃×C₄	—	2	8	no	—
109	C₂²×C₃×C₄	—	4	4	no	—
110	C₂²×C₃×C₄	—	4	8	no	—
111	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
112	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
113	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
115	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
116	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
118	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
121	C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
122	C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
123	C₃×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
124	C₃×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
125	C₃×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
126	C₃×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
127	C₃×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₃×C₄²	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₃×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₃×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
131	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₃×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₃⋊C₈	—	2	8	no	—
136	C₂×C₃⋊C₈	—	4	8	no	—
137	C₂×#41	—	2	4	no	—
138	C₂×#41	—	4	8	no	—
139	C₂×#41	C₂×Dic₃	1	8	yes	—
140	C₂²×Q₈	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
141	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
142	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
143	C₂²×D₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
144	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
145	C₂³×C₄	C₂×Dic₃	1	1	yes	characteristic
146	C₂³×C₄	#67	1	2	yes	—
147	C₂²×C₈	—	6	4	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
150	C₄⋊Q₈	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
151	#127	—	2	1	no	—
152	#127	—	2	1	no	—
153	#127	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
154	#124	—	2	4	no	—
155	#124	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
156	#124	C₂²×D₃	1	4	yes	—
157	#121	—	2	4	no	—
158	#121	—	2	4	no	—
159	#121	—	2	4	no	—
160	#121	—	2	4	no	—
161	C₄×D₄	—	2	4	no	—
162	C₄×D₄	—	2	4	no	—
163	C₄×D₄	—	2	4	no	—
164	C₄×D₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄²	C₂×Dic₃	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄²	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	#67	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	#67	1	2	yes	—
171	C₂×C₄²	#67	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄²	C₂²×D₃	1	2	yes	—
174	C₄⋊C₈	—	6	4	no	—
175	C₄⋊C₈	—	6	4	no	—
176	C₂²⋊C₈	—	6	4	no	—
177	C₂²⋊C₈	—	6	4	no	—
178	#97	—	3	8	no	—
179	#97	—	6	4	no	—
180	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
181	C₂³×C₃	—	4	2	no	—
182	C₂³×C₃	—	4	8	no	—
183	C₂³×C₃	—	4	4	no	—
184	C₂³×C₃	#100	1	4	yes	—
185	C₂³×C₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂³×C₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
187	C₃×Q₈	—	4	4	no	—
188	C₃×Q₈	—	4	4	no	—
189	C₃×D₄	—	4	4	no	—
190	C₃×D₄	—	4	8	no	—
191	C₃×D₄	—	4	4	no	—
192	C₃×D₄	—	4	16	no	—
193	C₃×D₄	—	4	8	no	—
194	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂×C₃×C₄	—	4	2	no	—
203	C₂×C₃×C₄	—	4	2	no	—
204	C₂×C₃×C₄	—	4	2	no	—
205	C₂×C₃×C₄	—	4	16	no	—
206	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
207	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
208	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
209	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
210	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
212	C₂×C₃×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
214	C₃⋊C₈	—	4	8	no	—
215	C₂⁴	—	2	2	no	—
216	C₂⁴	#217	1	1	yes	characteristic
217	#41	—	4	16	no	—
218	#41	—	4	16	no	—
219	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
220	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
221	C₂×Q₈	C₂²×Dic₃	1	4	yes	—
222	C₂×D₄	—	2	8	no	—
223	C₂×D₄	—	2	4	no	—
224	C₂×D₄	—	2	4	no	—
225	C₂×D₄	—	2	2	no	—
226	C₂×D₄	—	4	4	no	—
227	C₂×D₄	—	4	8	no	—
228	C₂×D₄	—	4	8	no	—
229	C₂×D₄	C₂²×Dic₃	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
235	C₂²×C₄	#217	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	#217	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	#217	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	#217	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	#217	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
245	C₂×C₈	—	6	8	no	—
246	C₂×C₈	—	12	8	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
251	C₄²	#217	1	2	yes	—
252	C₄²	#217	1	2	yes	—
253	C₄²	#217	1	1	yes	characteristic
254	C₄²	#217	1	1	yes	characteristic
255	C₄²	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
256	C₄²	C₂²×Dic₃	1	2	yes	—
257	C₄²	C₂×#67	1	2	yes	—
258	C₄²	C₂×#67	1	2	yes	—
259	C₄²	C₂×#67	1	2	yes	—
260	C₄²	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
262	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
263	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
264	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
265	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
266	C₂²×C₃	—	4	8	no	—
267	C₂²×C₃	—	8	8	no	—
268	C₂²×C₃	C₂×#100	1	2	yes	—
269	C₂²×C₃	C₂×#100	1	4	yes	—
270	C₂²×C₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
271	C₃×C₄	—	2	2	no	—
272	C₃×C₄	—	2	1	no	—
273	C₃×C₄	—	2	1	no	—
274	C₃×C₄	—	2	2	no	—
275	C₃×C₄	—	2	2	no	—
276	C₃×C₄	—	2	2	no	—
277	C₃×C₄	—	4	4	no	—
278	C₃×C₄	#421	1	4	yes	—
279	C₂³	—	2	4	no	—
280	C₂³	—	4	2	no	—
281	C₂³	—	4	8	no	—
282	C₂³	—	4	4	no	—
283	C₂³	#833	1	4	yes	—
284	C₂³	C₂×#217	1	1	yes	characteristic
285	C₂³	C₂×#217	1	2	yes	—
286	Q₈	—	4	4	no	—
287	Q₈	—	4	4	no	—
288	D₄	—	4	4	no	—
289	D₄	—	4	4	no	—
290	D₄	—	4	8	no	—
291	D₄	—	4	16	no	—
292	D₄	—	4	8	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	4	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	4	2	no	—
302	C₂×C₄	—	4	2	no	—
303	C₂×C₄	—	4	2	no	—
304	C₂×C₄	—	4	16	no	—
305	C₂×C₄	—	4	4	no	—
306	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	C₂×#217	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	C₂³×Dic₃	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₂²×#67	1	2	yes	—
313	C₈	—	12	8	no	—
314	C₂×C₃	—	2	2	no	—
315	C₂×C₃	—	2	4	no	—
316	C₂×C₃	—	8	4	no	—
317	C₂×C₃	C₂²×#100	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₃	C₂×#421	1	2	yes	—
319	C₂²	—	2	2	no	—
320	C₂²	—	2	2	no	—
321	C₂²	—	2	2	no	—
322	C₂²	—	4	4	no	—
323	C₂²	—	4	4	no	—
324	C₂²	—	4	8	no	—
325	C₂²	—	8	8	no	—
326	C₂²	C₂×#833	1	2	yes	—
327	C₂²	C₂×#833	1	4	yes	—
328	C₂²	C₂²×#217	1	1	yes	characteristic
329	C₄	—	2	2	no	—
330	C₄	—	2	1	no	—
331	C₄	—	2	1	no	—
332	C₄	—	2	2	no	—
333	C₄	—	2	2	no	—
334	C₄	—	2	2	no	—
335	C₄	—	4	4	no	—
336	C₄	#5236	1	4	yes	—
337	C₃	#17675	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
338	C₂	—	2	2	no	—
339	C₂	—	2	4	no	—
340	C₂	—	8	4	no	—
341	C₂	C₂²×#833	1	1	yes	characteristic
342	C₂	C₂×#5236	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂²×#217
commutator	C₂×C₃×C₄	C₂³×C₄
Frattini	C₄²	C₂³×D₃
Fitting, prime radical	C₂×C₃×#532	C₂
socle	C₂²×C₃	C₂²×C₂²⋊C₄
cosocle	C₃×C₄²	C₂⁴
hypercenter	C₂×#532	D₃
hypocenter	C₃	#17675
LCS	G ▷ C₂×C₃×C₄ ▷ C₂²×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂×#532

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#4926	C₂	semidirect
3. #71798	C₂	semidirect
4. #71719	C₂	semidirect
21. #4926	C₂²	semidirect
23. C₂×#803	C₂²	semidirect
24. #4540	C₂²	semidirect
337. C₃	#17675	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₃×#532	2
C₂×#4926	2
#71798	2
#71719	2
#17675	3