Subgroups — #10765748

Order 768.

734 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 408 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#79598	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#79422	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₃×#1580	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#70882	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#70840	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#68529	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#68525	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#68176	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#68163	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#68077	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	D₃×#322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#17962	—	3	1	no	maximal, Sylow
13	C₂×#901	—	2	2	no	—
14	#5548	C₂²	1	2	yes	—
15	C₃×C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₃×C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
17	#5157	C₄	1	1	yes	characteristic
18	#5151	C₄	1	1	yes	characteristic
19	C₈×#67	—	2	2	no	—
20	C₄×#213	C₂²	1	2	yes	—
21	#5012	C₂²	1	2	yes	—
22	#4883	C₄	1	1	yes	characteristic
23	#4874	C₄	1	1	yes	characteristic
24	#4838	C₂²	1	2	yes	—
25	#4837	C₂²	1	2	yes	—
26	#4775	C₄	1	2	yes	—
27	#4760	C₄	1	2	yes	—
28	#4729	—	2	2	no	—
29	#4727	—	2	2	no	—
30	C₄×D₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₈×D₁₂	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄×D₃×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₄×D₃×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₄×D₃×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₃×#334	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₃×D₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
37	C₃×#322	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	D₄⋊(C₃⋊C₈)	C₂²	1	2	yes	—
39	#4483	C₂²	1	2	yes	—
40	#4480	C₂²	1	2	yes	—
41	#4459	C₂²	1	2	yes	—
42	#4457	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#4455	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#4454	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#4454	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#3169	—	3	1	no	—
47	#2931	—	3	2	no	—
48	#1594	—	3	1	no	—
49	#1594	—	3	1	no	—
50	#1594	—	3	2	no	—
51	#1580	—	3	2	no	—
52	#1580	—	3	1	no	—
53	#1580	D₃	1	1	yes	characteristic, complemented
54	#1566	—	3	1	no	—
55	#1492	—	3	2	no	—
56	C₂×#322	—	3	1	no	—
57	C₂×#235	—	2	2	no	—
58	C₂×C₃×D₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₃×C₈	—	2	2	no	—
60	C₃×C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
61	#940	C₂×C₄	1	2	yes	—
62	#938	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	C₂×#213	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₄×#67	—	2	2	no	—
65	C₂×#208	—	2	2	no	—
66	C₂×D₂₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	#901	—	4	8	no	—
68	C₂×ΓL(1,𝔽₂₅)	—	2	2	no	—
69	C₂×ΓL(1,𝔽₂₅)	—	2	2	no	—
70	C₂×D₃×C₈	—	2	1	no	—
71	C₂×D₃×C₈	—	2	2	no	—
72	C₂×D₃×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂×D₃×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂×D₃×C₈	D₄	1	2	yes	—
75	#895	C₂×C₄	1	2	yes	—
76	#888	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	#885	—	2	2	no	—
78	#884	—	2	2	no	—
79	C₄×D₁₂	C₂³	1	2	yes	—
80	C₄²×D₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₃×#107	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
82	C₃×C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
83	C₃×#102	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	C₃×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
85	C₃×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₃×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₃×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	#832	C₂×C₄	1	2	yes	—
89	#830	—	2	2	no	—
90	#821	C₂×C₄	1	2	yes	—
91	(C₂×D₃)⋊C₈	—	2	2	no	—
92	(C₂×D₃)⋊C₈	—	2	2	no	—
93	#818	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
94	Dic₃⋊C₈	—	2	2	no	—
95	C₈×Dic₃	—	2	1	no	—
96	C₈×Dic₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₈×Dic₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
98	C₈×Dic₃	D₄	1	2	yes	—
99	#809	C₂×C₄	1	2	yes	—
100	#807	C₂×C₄	1	2	yes	—
101	C₄⋊(C₃⋊C₈)	C₂³	1	2	yes	—
102	C₄×C₃⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₄×C₃⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	C₄×C₃⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₂×#131	—	6	2	no	—
106	#532	—	3	2	no	—
107	#500	—	3	1	no	—
108	#493	—	3	1	no	—
109	#486	—	3	2	no	—
110	#466	—	3	1	no	—
111	#466	—	3	1	no	—
112	#466	—	3	2	no	—
113	C₄×D₈	—	3	2	no	—
114	C₄×D₈	—	3	1	no	—
115	C₄×D₈	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
116	#436	—	3	2	no	—
117	#436	—	3	2	no	—
118	#436	—	6	2	no	—
119	C₈×D₄	—	3	2	no	—
120	C₈×D₄	—	6	2	no	—
121	C₈×D₄	C₂×D₃	1	2	yes	—
122	#423	—	3	2	no	—
123	#408	—	6	2	no	—
124	C₂×C₄×C₈	—	3	1	no	—
125	C₂×C₄×C₈	—	3	1	no	—
126	C₂×C₄×C₈	—	3	1	no	—
127	#334	—	3	2	no	—
128	#334	—	3	1	no	—
129	#334	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
130	D₄⋊C₈	—	3	2	no	—
131	D₄⋊C₈	—	3	2	no	—
132	D₄⋊C₈	—	3	2	no	—
133	D₄⋊C₈	C₂×D₃	1	2	yes	—
134	#322	—	3	1	no	—
135	#322	—	3	1	no	—
136	#322	—	3	1	no	—
137	#322	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₃×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
139	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×#67	—	2	2	no	—
141	C₂×#67	—	2	2	no	—
142	C₂×#67	—	2	2	no	—
143	#235	—	4	4	no	—
144	#235	—	4	4	no	—
145	C₂×D₁₂	—	2	2	no	—
146	C₂×D₁₂	C₂²×C₄	1	2	yes	—
147	C₂×C₄×D₃	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄×D₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄×D₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄×D₃	#41	1	1	yes	characteristic
151	C₂×Dic₆	—	2	2	no	—
152	C₃×D₈	—	2	2	no	—
153	C₂×C₃×C₈	—	2	2	no	—
154	C₂×C₃×C₈	—	2	1	no	—
155	C₂×C₃×C₈	—	4	4	no	—
156	C₂×C₃×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₃×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₃×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₃×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
160	C₃×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₃×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
162	#217	—	2	2	no	—
163	#213	—	2	4	no	—
164	(C₂×D₃)⋊C₄	—	2	2	no	—
165	(C₂×D₃)⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₄⋊Dic₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
167	Dic₃⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₄×Dic₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
169	C₄×Dic₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₄×Dic₃	#41	1	1	yes	characteristic
171	#208	—	4	4	no	—
172	C₂×C₃⋊C₈	—	2	2	no	—
173	C₂×C₃⋊C₈	—	2	1	no	—
174	C₂×C₃⋊C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₃⋊C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₃⋊C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	D₂₄	—	2	2	no	—
178	ΓL(1,𝔽₂₅)	—	4	4	no	—
179	ΓL(1,𝔽₂₅)	—	4	4	no	—
180	D₃×C₈	—	2	4	no	—
181	D₃×C₈	—	2	2	no	—
182	D₃×C₈	—	2	2	no	—
183	D₃×C₈	—	4	4	no	—
184	D₃×C₈	—	4	2	no	—
185	C₂×#41	—	6	2	no	—
186	C₂×D₈	—	3	2	no	—
187	C₂×D₈	—	3	1	no	—
188	C₂×D₈	C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
189	#131	—	12	8	no	—
190	C₂×M₁₆	—	6	2	no	—
191	C₂×M₁₆	—	6	2	no	—
192	C₂×M₁₆	—	6	2	no	—
193	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₈	—	3	1	no	—
195	C₂²×C₈	—	3	1	no	—
196	C₂²×C₈	—	3	2	no	—
197	C₂²×C₈	—	6	1	no	—
198	C₂²×C₈	—	6	2	no	—
199	C₄⋊Q₈	—	3	2	no	—
200	#127	—	3	2	no	—
201	#124	—	6	2	no	—
202	#121	—	3	2	no	—
203	#121	—	3	2	no	—
204	#121	—	6	2	no	—
205	C₄×D₄	—	3	2	no	—
206	C₄×D₄	—	6	2	no	—
207	C₄×D₄	C₂²×D₃	1	2	yes	—
208	C₂×C₄²	—	3	1	no	—
209	#107	—	3	1	no	—
210	#107	—	3	2	no	—
211	#107	C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
212	C₄⋊C₈	—	3	2	no	—
213	C₄⋊C₈	—	6	2	no	—
214	C₄⋊C₈	C₂²×D₃	1	2	yes	—
215	#102	—	3	2	no	—
216	#102	—	3	2	no	—
217	#102	—	3	2	no	—
218	#102	C₄×D₃	1	2	yes	—
219	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
220	C₂²⋊C₈	—	6	2	no	—
221	C₂²⋊C₈	—	6	2	no	—
222	C₂²⋊C₈	—	6	2	no	—
223	C₄×C₈	—	3	1	no	—
224	C₄×C₈	—	3	1	no	—
225	C₄×C₈	—	3	2	no	—
226	C₄×C₈	—	3	1	no	—
227	C₄×C₈	—	3	1	no	—
228	C₄×C₈	—	3	1	no	—
229	C₄×C₈	—	6	1	no	—
230	C₄×C₈	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
231	C₄×C₈	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
232	C₄×C₈	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
233	C₂³×C₃	—	2	2	no	—
234	C₂²×D₃	—	2	2	no	—
235	C₂²×D₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
236	C₃×D₄	—	2	2	no	—
237	C₃×D₄	—	2	2	no	—
238	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₃×C₄	—	4	2	no	—
240	C₂×C₃×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂×C₃×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂×C₃×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
244	#67	—	4	4	no	—
245	#67	—	4	4	no	—
246	#67	—	4	4	no	—
247	C₂×Dic₃	—	2	2	no	—
248	C₂×Dic₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂×Dic₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂×Dic₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
251	D₁₂	—	2	2	no	—
252	D₁₂	—	2	2	no	—
253	D₁₂	—	4	4	no	—
254	C₄×D₃	—	2	1	no	—
255	C₄×D₃	—	2	1	no	—
256	C₄×D₃	—	2	2	no	—
257	C₄×D₃	—	4	2	no	—
258	C₄×D₃	—	4	2	no	—
259	C₄×D₃	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
260	Dic₆	—	4	4	no	—
261	C₃×C₈	—	2	1	no	—
262	C₃×C₈	—	2	2	no	—
263	C₃×C₈	—	4	1	no	—
264	C₃×C₈	—	4	2	no	—
265	C₃×C₈	#131	1	2	yes	complemented
266	C₃⋊C₈	—	2	1	no	—
267	C₃⋊C₈	—	2	2	no	—
268	C₃⋊C₈	—	4	1	no	—
269	C₃⋊C₈	—	4	2	no	—
270	C₃⋊C₈	#131	1	2	yes	complemented
271	#41	—	12	4	no	—
272	#41	—	12	4	no	—
273	C₂×Q₈	—	6	2	no	—
274	C₂×D₄	—	3	2	no	—
275	C₂×D₄	—	6	2	no	—
276	C₂×D₄	—	6	2	no	—
277	C₂×D₄	—	6	2	no	—
278	C₂×D₄	—	6	2	no	—
279	C₂×D₄	C₂×C₄×D₃	1	2	yes	—
280	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂²×C₄	—	3	1	no	—
282	C₂²×C₄	—	3	1	no	—
283	C₂²×C₄	—	3	1	no	—
284	C₂²×C₄	—	6	2	no	—
285	D₈	—	2	2	no	—
286	D₈	—	6	4	no	—
287	D₈	—	6	2	no	—
288	M₁₆	—	12	4	no	—
289	M₁₆	—	12	4	no	—
290	M₁₆	—	12	4	no	—
291	C₂×C₈	—	2	2	no	—
292	C₂×C₈	—	2	1	no	—
293	C₂×C₈	—	3	1	no	—
294	C₂×C₈	—	3	1	no	—
295	C₂×C₈	—	3	2	no	—
296	C₂×C₈	—	4	4	no	—
297	C₂×C₈	—	6	2	no	—
298	C₂×C₈	—	6	4	no	—
299	C₂×C₈	—	6	2	no	—
300	C₂×C₈	—	6	2	no	—
301	C₂×C₈	—	6	1	no	—
302	C₂×C₈	—	12	4	no	—
303	C₂×C₈	—	12	2	no	—
304	C₂×C₈	C₂×C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₈	C₂×C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₈	D₃×D₄	1	2	yes	—
307	C₄⋊C₄	—	3	2	no	—
308	C₄⋊C₄	—	6	2	no	—
309	C₄⋊C₄	C₂×C₄×D₃	1	2	yes	—
310	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	6	2	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	6	2	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	6	2	no	—
314	C₄²	—	3	1	no	—
315	C₄²	—	3	1	no	—
316	C₄²	—	3	1	no	—
317	C₄²	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
318	C₂²×C₃	—	4	2	no	—
319	C₂²×C₃	—	4	2	no	—
320	C₂²×C₃	—	4	2	no	—
321	C₂²×C₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
322	C₂×D₃	—	2	1	no	—
323	C₂×D₃	—	2	1	no	—
324	C₂×D₃	—	4	2	no	—
325	C₂×D₃	—	4	2	no	—
326	C₂×D₃	—	4	2	no	—
327	C₂×D₃	#442	1	2	yes	—
328	C₃×C₄	—	2	1	no	—
329	C₃×C₄	—	4	2	no	—
330	C₃×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
331	C₃×C₄	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
332	C₃×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
333	Dic₃	—	2	1	no	—
334	Dic₃	—	4	2	no	—
335	Dic₃	#442	1	2	yes	—
336	Dic₃	#444	1	2	yes	—
337	C₂³	—	2	2	no	—
338	C₂³	—	3	1	no	—
339	C₂³	—	6	2	no	—
340	Q₈	—	12	4	no	—
341	D₄	—	2	2	no	—
342	D₄	—	2	2	no	—
343	D₄	—	6	2	no	—
344	D₄	—	6	2	no	—
345	D₄	—	12	4	no	—
346	D₄	—	12	4	no	—
347	D₄	—	12	4	no	—
348	D₄	—	12	4	no	—
349	C₂×C₄	—	2	2	no	—
350	C₂×C₄	—	3	1	no	—
351	C₂×C₄	—	3	1	no	—
352	C₂×C₄	—	3	4	no	—
353	C₂×C₄	—	3	1	no	—
354	C₂×C₄	—	4	2	no	—
355	C₂×C₄	—	4	2	no	—
356	C₂×C₄	—	6	2	no	—
357	C₂×C₄	—	6	1	no	—
358	C₂×C₄	—	6	1	no	—
359	C₂×C₄	—	6	2	no	—
360	C₂×C₄	—	12	2	no	—
361	C₂×C₄	—	12	2	no	—
362	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	C₂×D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	D₃×#41	1	1	yes	characteristic
365	C₈	—	2	1	no	—
366	C₈	—	2	2	no	—
367	C₈	—	3	2	no	—
368	C₈	—	4	1	no	—
369	C₈	—	4	2	no	—
370	C₈	—	6	1	no	—
371	C₈	—	6	2	no	—
372	C₈	—	12	1	no	—
373	C₈	—	12	2	no	—
374	C₈	#901	1	2	yes	complemented
375	C₂×C₃	—	8	2	no	—
376	C₂×C₃	#2931	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₃	C₂×#442	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₃	C₂×#444	1	1	yes	characteristic
379	D₃	—	2	2	no	—
380	D₃	—	8	2	no	—
381	C₂²	—	3	2	no	—
382	C₂²	—	4	2	no	—
383	C₂²	—	4	2	no	—
384	C₂²	—	4	2	no	—
385	C₂²	—	6	1	no	—
386	C₂²	—	6	1	no	—
387	C₂²	—	12	2	no	—
388	C₂²	—	12	2	no	—
389	C₂²	—	12	2	no	—
390	C₂²	C₄×D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
391	C₄	—	2	1	no	—
392	C₄	—	3	2	no	—
393	C₄	—	3	2	no	—
394	C₄	—	4	2	no	—
395	C₄	—	6	1	no	—
396	C₄	—	12	2	no	—
397	C₄	C₂×#901	1	1	yes	characteristic
398	C₄	D₃×#131	1	1	yes	characteristic
399	C₄	D₃×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
400	C₃	#17962	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
401	C₂	—	6	2	no	—
402	C₂	—	8	2	no	—
403	C₂	—	24	2	no	—
404	C₂	#79422	1	1	yes	characteristic
405	C₂	D₃×#442	1	1	yes	characteristic
406	C₂	D₃×#444	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×D₃×D₄
commutator	C₂×C₃×C₄	C₂³×C₄
Frattini	C₄²	C₂³×D₃
Fitting	C₃×#1580	C₂
socle	C₂²×C₃	C₂×C₄×D₄
prime radical	#79598	C₂
cosocle	C₃×C₄²	C₂⁴
hypercenter	#1580	D₃
hypocenter	C₃	#17962
LCS	G ▷ C₂×C₃×C₄ ▷ C₂×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₄×C₈ ◁ #1580

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #79422	C₂	semidirect
3. C₃×#1580	C₂	semidirect
4. #70882	C₂	semidirect
5. #70840	C₂	semidirect
6. #68529	C₂	semidirect
7. #68525	C₂	semidirect
8. #68176	C₂	semidirect
9. #68163	C₂	semidirect
10. #68077	C₂	semidirect
11. D₃×#322	C₂	semidirect
53. #1580	D₃	semidirect
265. C₃×C₈	#131	semidirect
270. C₃⋊C₈	#131	semidirect
374. C₈	#901	semidirect
400. C₃	#17962	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#79598	2
#79422	2
C₃×#1580	2
#70882	2
#70840	2
#68529	2
#68525	2
#68176	2
#68163	2
#68077	2
D₃×#322	2
#17962	3