Subgroups — #10794812

Order 768.

1438 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 324 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×C₃×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#5207	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#5125	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#72000	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#71998	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#71977	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#20667	—	3	1	no	maximal, Sylow
8	C₂⁴×C₃×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×C₃×M₁₆	—	2	8	no	—
10	C₂²×C₃×M₁₆	C₄	1	8	yes	—
11	C₂²×C₃×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×C₃×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×C₃×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂³×C₃×C₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#208	C₂²	1	4	yes	—
16	#5207	—	2	4	no	—
17	#5207	C₂²	1	4	yes	—
18	#5207	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#830	—	2	4	no	—
20	#5125	—	2	8	no	—
21	C₂×#819	C₂²	1	8	yes	complemented
22	#4552	C₂²	1	8	yes	complemented
23	C₂³×M₁₆	D₃	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#430	—	3	2	no	—
25	C₂×#407	—	3	2	no	—
26	#1811	—	3	4	no	—
27	#1810	—	3	4	no	—
28	#1738	—	3	2	no	—
29	C₂⁵×C₃	Q₈	1	1	yes	characteristic
30	C₂³×C₃×C₄	—	2	4	no	—
31	C₂³×C₃×C₄	—	2	4	no	—
32	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
33	C₂³×C₃×C₄	D₄	1	4	yes	—
34	C₂³×C₃×C₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
35	C₂³×C₃×C₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
36	C₂³×C₃×C₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₃×M₁₆	—	2	4	no	—
41	C₂×C₃×M₁₆	—	2	32	no	—
42	C₂×C₃×M₁₆	—	2	8	no	—
43	C₂×C₃×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂×C₃×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
45	C₂×C₃×M₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂×C₃×M₁₆	D₄	1	8	yes	—
47	C₂²×C₃×C₈	—	2	8	no	—
48	C₂²×C₃×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
49	C₂²×C₃×C₈	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×C₃×C₈	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×#208	—	2	4	no	—
52	C₂×#208	—	2	8	no	—
53	C₂×#208	—	2	8	no	—
54	C₂×#208	C₂³	1	8	yes	—
55	C₂²×C₃⋊C₈	—	2	4	no	—
56	#830	—	2	8	no	—
57	#830	—	2	8	no	—
58	#819	—	2	16	no	—
59	C₂⁴×C₄	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
61	C₂²×M₁₆	—	3	4	no	—
62	C₂²×M₁₆	Dic₃	1	8	yes	—
63	C₂²×M₁₆	C₂×D₃	1	2	yes	—
64	C₂²×M₁₆	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×M₁₆	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
66	C₂³×C₈	C₂×D₃	1	2	yes	—
67	#430	—	6	8	no	—
68	C₂×#108	—	3	8	no	—
69	#407	—	3	4	no	—
70	#407	—	3	4	no	—
71	#407	—	6	4	no	—
72	C₂×C₂²⋊C₈	—	6	4	no	—
73	#341	—	3	8	no	—
74	C₂⁴×C₃	—	2	4	no	—
75	C₂⁴×C₃	—	4	4	no	—
76	C₂⁴×C₃	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
77	C₂⁴×C₃	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
78	C₂⁴×C₃	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
79	C₂⁴×C₃	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
81	C₂²×C₃×C₄	—	2	8	no	—
82	C₂²×C₃×C₄	—	2	8	no	—
83	C₂²×C₃×C₄	—	2	16	no	—
84	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
85	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
86	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
87	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
88	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
89	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
90	C₂²×C₃×C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
91	C₂²×C₃×C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
92	C₂²×C₃×C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
93	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
94	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
95	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
96	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
97	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
98	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
99	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
100	C₂²×C₃×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×C₃×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×C₃×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×C₃×C₄	#41	1	4	yes	—
104	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
105	C₃×M₁₆	—	2	8	no	—
106	C₃×M₁₆	—	2	16	no	—
107	C₃×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
108	C₂×C₃×C₈	—	2	4	no	—
109	C₂×C₃×C₈	—	2	16	no	—
110	C₂×C₃×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
111	C₂×C₃×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
112	C₂×C₃×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
113	#208	—	2	8	no	—
114	#208	—	2	8	no	—
115	#208	—	4	8	no	—
116	C₂×C₃⋊C₈	—	2	8	no	—
117	C₂×C₃⋊C₈	—	4	8	no	—
118	C₂⁵	Dic₆	1	1	yes	characteristic
119	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
120	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
121	C₂³×C₄	Dic₆	1	1	yes	characteristic
122	C₂³×C₄	Dic₆	1	1	yes	characteristic
123	C₂³×C₄	Dic₆	1	1	yes	characteristic
124	C₂³×C₄	D₁₂	1	4	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
127	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
128	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
129	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
132	C₂×M₁₆	—	3	8	no	—
133	C₂×M₁₆	—	6	4	no	—
134	C₂×M₁₆	—	6	8	no	—
135	C₂×M₁₆	—	6	8	no	—
136	C₂×M₁₆	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
137	C₂×M₁₆	C₂×Dic₃	1	8	yes	—
138	C₂×M₁₆	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
139	C₂×M₁₆	#67	1	8	yes	—
140	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
141	C₂²×C₈	—	6	4	no	—
142	C₂²×C₈	C₂×Dic₃	1	8	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂²×D₃	1	2	yes	—
144	C₂²×C₈	C₂²×D₃	1	2	yes	—
145	#108	—	6	16	no	—
146	C₂²⋊C₈	—	6	8	no	—
147	C₂²⋊C₈	—	6	8	no	—
148	C₂³×C₃	—	2	2	no	—
149	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
150	C₂³×C₃	—	2	2	no	—
151	C₂³×C₃	—	2	8	no	—
152	C₂³×C₃	—	2	8	no	—
153	C₂³×C₃	—	4	4	no	—
154	C₂³×C₃	—	4	2	no	—
155	C₂³×C₃	—	4	2	no	—
156	C₂³×C₃	—	4	16	no	—
157	C₂³×C₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
158	C₂³×C₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
159	C₂³×C₃	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
160	C₂³×C₃	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
161	C₂³×C₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
165	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
171	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
172	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
173	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
174	C₂×C₃×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₃×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₃×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₃×C₄	#117	1	4	yes	—
178	C₂×C₃×C₄	#121	1	8	yes	—
179	C₂×C₃×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
180	C₂×C₃×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₃×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
184	C₃×C₈	—	2	4	no	—
185	C₃×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
186	C₃⋊C₈	—	4	8	no	—
187	C₂⁴	—	2	4	no	—
188	C₂⁴	—	4	4	no	—
189	C₂⁴	C₄⋊Dic₃	1	4	yes	—
190	C₂⁴	C₂×Dic₆	1	1	yes	characteristic
191	C₂⁴	C₂×Dic₆	1	1	yes	characteristic
192	C₂⁴	C₂×Dic₆	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	C₄⋊Dic₃	1	4	yes	—
204	C₂²×C₄	C₄⋊Dic₃	1	4	yes	—
205	C₂²×C₄	C₄⋊Dic₃	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂×Dic₆	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₂×Dic₆	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	C₂×Dic₆	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	C₂×D₁₂	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×D₁₂	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂×D₁₂	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	#235	1	4	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂×#67	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
218	M₁₆	—	2	8	no	—
219	M₁₆	—	2	16	no	—
220	M₁₆	—	6	8	no	—
221	M₁₆	—	6	8	no	—
222	M₁₆	—	12	8	no	—
223	M₁₆	#217	1	16	yes	—
224	C₂×C₈	—	2	4	no	—
225	C₂×C₈	—	2	16	no	—
226	C₂×C₈	—	6	8	no	—
227	C₂×C₈	—	12	8	no	—
228	C₂×C₈	C₂²×Dic₃	1	4	yes	—
229	C₂×C₈	C₂²×Dic₃	1	4	yes	—
230	C₂×C₈	C₂×#67	1	8	yes	—
231	C₂²×C₃	—	2	8	no	—
232	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₃	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
235	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₃	—	2	4	no	—
237	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
238	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
239	C₂²×C₃	—	4	16	no	—
240	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
241	C₂²×C₃	#380	1	4	yes	—
242	C₂²×C₃	#430	1	4	yes	complemented
243	C₂²×C₃	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
245	C₃×C₄	—	2	2	no	—
246	C₃×C₄	—	2	2	no	—
247	C₃×C₄	#380	1	4	yes	—
248	C₃×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
249	C₃×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
250	C₃×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
251	C₂³	—	2	4	no	—
252	C₂³	—	2	2	no	—
253	C₂³	—	2	8	no	—
254	C₂³	—	2	8	no	—
255	C₂³	—	2	2	no	—
256	C₂³	—	4	4	no	—
257	C₂³	—	4	2	no	—
258	C₂³	—	4	2	no	—
259	C₂³	—	4	16	no	—
260	C₂³	#924	1	4	yes	—
261	C₂³	C₂×C₄⋊Dic₃	1	2	yes	—
262	C₂³	C₂×C₄⋊Dic₃	1	2	yes	—
263	C₂³	C₂×C₄⋊Dic₃	1	2	yes	—
264	C₂³	C₂²×Dic₆	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₄	—	2	8	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂×C₄	—	2	8	no	—
269	C₂×C₄	—	2	8	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	#924	1	4	yes	—
277	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Dic₃	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Dic₃	1	2	yes	—
279	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Dic₃	1	2	yes	—
280	C₂×C₄	#926	1	4	yes	—
281	C₂×C₄	#930	1	8	yes	—
282	C₂×C₄	C₂×#217	1	4	yes	—
283	C₂×C₄	C₂²×D₁₂	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₄	C₂×#235	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	C₂³×Dic₃	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₄	C₂²×#67	1	2	yes	—
287	C₈	—	2	4	no	—
288	C₈	—	12	8	no	—
289	C₈	C₂×#217	1	8	yes	—
290	C₂×C₃	—	2	2	no	—
291	C₂×C₃	—	2	4	no	—
292	C₂×C₃	—	2	4	no	—
293	C₂×C₃	—	4	2	no	—
294	C₂×C₃	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₃	C₂×#430	1	2	yes	—
296	C₂²	—	2	8	no	—
297	C₂²	—	2	2	no	—
298	C₂²	—	2	4	no	—
299	C₂²	—	2	2	no	—
300	C₂²	—	2	2	no	—
301	C₂²	—	2	4	no	—
302	C₂²	—	2	2	no	—
303	C₂²	—	4	4	no	—
304	C₂²	—	4	16	no	—
305	C₂²	—	4	4	no	—
306	C₂²	#5125	1	4	yes	complemented
307	C₂²	#5212	1	4	yes	—
308	C₂²	C₂×#924	1	2	yes	—
309	C₂²	C₂²×C₄⋊Dic₃	1	1	yes	characteristic
310	C₄	—	2	2	no	—
311	C₄	—	2	2	no	—
312	C₄	#5212	1	4	yes	—
313	C₄	C₂×#926	1	1	yes	characteristic
314	C₄	C₂×#930	1	2	yes	—
315	C₄	C₂²×#217	1	1	yes	characteristic
316	C₃	#20667	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
317	C₂	—	2	4	no	—
318	C₂	—	2	2	no	—
319	C₂	—	2	4	no	—
320	C₂	—	4	2	no	—
321	C₂	C₂×#5125	1	2	yes	—
322	C₂	C₂×#5212	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂²×D₁₂
commutator	C₂×C₃×C₄	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₃
Fitting	C₂³×C₃×M₁₆	C₂
socle	C₂²×C₃	C₂²×C₄⋊C₄
prime radical	C₂⁵×C₃	Q₈
cosocle	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴
hypercenter	C₂³×M₁₆	D₃
hypocenter	C₃	#20667
LCS	G ▷ C₂×C₃×C₄ ▷ C₂×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂⁴×C₄ ◁ C₂³×M₁₆

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#5125	C₂	semidirect
4. #72000	C₂	semidirect
5. #71998	C₂	semidirect
6. #71977	C₂	semidirect
21. C₂×#819	C₂²	semidirect
22. #4552	C₂²	semidirect
242. C₂²×C₃	#430	semidirect
306. C₂²	#5125	semidirect
316. C₃	#20667	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×C₃×M₁₆	2
C₂×#5207	2
C₂×#5125	2
#72000	2
#71998	2
#71977	2
#20667	3