Subgroups — #10794834

Order 768.

1324 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 324 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₃×#568	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#5240	C₂	1	2	yes	maximal
3	#83752	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#72012	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	C₂×#4557	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20671	—	3	1	no	maximal, Sylow
7	C₂²×C₃×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₃×#568	—	2	8	no	—
9	C₂×C₃×#131	C₄	1	4	yes	complemented
10	C₂×C₃×#131	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂²×C₃×M₁₆	C₄	1	4	yes	complemented
12	C₂²×C₃×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₃×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#926	C₂²	1	4	yes	—
15	#5240	—	2	4	no	—
16	#5240	C₂²	1	8	yes	—
17	C₂×#834	—	2	4	no	—
18	#5121	—	2	8	no	—
19	#5106	C₂²	1	8	yes	complemented
20	#4557	C₂²	1	8	yes	complemented
21	C₂×#568	D₃	1	1	yes	characteristic
22	#2911	—	3	2	no	—
23	C₂×#410	—	3	2	no	—
24	#1812	—	3	8	no	—
25	C₂×H(3,ℤ/4)	—	3	2	no	—
26	C₂×C₃×#41	—	2	4	no	—
27	C₂×C₃×#41	—	2	4	no	—
28	C₂×C₃×#41	C₂×C₄	1	2	yes	—
29	C₂×C₃×#41	D₄	1	2	yes	—
30	C₂×C₃×#41	Q₈	1	2	yes	—
31	C₂×C₃×#41	C₂³	1	2	yes	—
32	C₂²×C₃×Q₈	Q₈	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×C₃×D₄	D₄	1	2	yes	—
34	C₂²×C₃×D₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
35	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
36	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₃×#131	—	2	16	no	—
38	C₃×#131	—	2	16	no	—
39	C₂×C₃×M₁₆	—	2	4	no	—
40	C₂×C₃×M₁₆	—	2	16	no	—
41	C₂×C₃×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂×C₃×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×C₃×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂×C₃×M₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
45	C₂×C₃×M₁₆	D₄	1	8	yes	—
46	C₂×C₃×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×C₃×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂²×C₃×C₈	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
49	C₂²×C₃×C₈	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×#217	—	2	4	no	—
51	#926	—	2	4	no	—
52	#926	—	2	4	no	—
53	#926	—	2	4	no	—
54	#926	C₂³	1	8	yes	—
55	C₂×C₄⋊Dic₃	—	2	4	no	—
56	C₂×C₄×Dic₃	—	2	4	no	—
57	#834	—	2	16	no	—
58	#818	—	2	8	no	—
59	#817	—	2	8	no	—
60	C₂²×#41	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
61	#568	—	2	8	no	—
62	C₂×#131	Dic₃	1	4	yes	complemented
63	C₂×#131	C₂×D₃	1	4	yes	—
64	C₂²×M₁₆	Dic₃	1	4	yes	complemented
65	C₂²×M₁₆	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×M₁₆	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
67	C₂×#117	—	3	4	no	—
68	#428	—	6	8	no	—
69	#427	—	3	8	no	—
70	#410	—	3	8	no	—
71	#410	—	6	4	no	—
72	C₂×#99	—	6	4	no	—
73	H(3,ℤ/4)	—	3	8	no	—
74	C₂⁴×C₃	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
75	C₂⁴×C₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₃×#41	—	2	4	no	—
77	C₃×#41	—	2	4	no	—
78	C₃×#41	—	2	8	no	—
79	C₃×#41	—	2	8	no	—
80	C₃×#41	—	2	4	no	—
81	C₃×#41	—	2	4	no	—
82	C₂×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
83	C₂×C₃×Q₈	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
84	C₂×C₃×Q₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
85	C₂×C₃×D₄	—	2	8	no	—
86	C₂×C₃×D₄	—	2	4	no	—
87	C₂×C₃×D₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
88	C₂×C₃×D₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
89	C₂×C₃×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
90	C₂×C₃×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
91	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
92	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
93	C₂²×C₃×C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
94	C₂²×C₃×C₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
95	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
96	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
100	C₂²×C₃×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×C₃×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×C₃×C₄	#41	1	4	yes	—
103	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×Dic₃	—	4	4	no	—
105	C₃×M₁₆	—	2	4	no	—
106	C₃×M₁₆	—	2	4	no	—
107	C₃×M₁₆	—	2	16	no	—
108	C₃×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
109	C₃×M₁₆	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
110	C₂×C₃×C₈	—	2	4	no	—
111	C₂×C₃×C₈	—	2	16	no	—
112	C₂×C₃×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
113	C₂×C₃×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
114	C₂×C₃×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
115	#217	—	2	8	no	—
116	#217	—	4	4	no	—
117	C₄⋊Dic₃	—	2	8	no	—
118	C₄⋊Dic₃	—	4	4	no	—
119	C₄×Dic₃	—	2	8	no	—
120	C₄×Dic₃	—	4	4	no	—
121	C₂×#41	—	2	4	no	—
122	C₂×#41	—	2	4	no	—
123	C₂×#41	Dic₆	1	2	yes	—
124	C₂×#41	D₁₂	1	2	yes	—
125	C₂×#41	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
126	C₂×#41	C₂²×D₃	1	2	yes	—
127	C₂²×Q₈	Dic₆	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×D₄	Dic₆	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×D₄	D₁₂	1	2	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
132	#131	—	2	16	no	—
133	#131	—	2	16	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
136	C₂×M₁₆	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
137	C₂×M₁₆	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
138	C₂×M₁₆	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
139	C₂×M₁₆	C₂×Dic₃	1	8	yes	complemented
140	C₂×M₁₆	#67	1	8	yes	—
141	C₂×M₁₆	C₂²×D₃	1	2	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂×Dic₃	1	8	yes	complemented
144	C₂²×C₈	C₂²×D₃	1	2	yes	—
145	#117	—	3	8	no	—
146	#117	—	6	4	no	—
147	#117	—	6	4	no	—
148	#117	—	6	4	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	6	4	no	—
151	C₂×C₄²	—	6	4	no	—
152	#107	—	6	8	no	—
153	#106	—	6	8	no	—
154	#99	—	6	16	no	—
155	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
156	C₂³×C₃	—	8	1	no	—
157	C₂³×C₃	—	8	2	no	—
158	C₂³×C₃	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
159	C₂³×C₃	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂³×C₃	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂³×C₃	#121	1	4	yes	—
162	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
163	C₃×Q₈	—	2	4	no	—
164	C₃×Q₈	—	2	4	no	—
165	C₃×D₄	—	2	8	no	—
166	C₃×D₄	—	2	8	no	—
167	C₃×D₄	—	2	4	no	—
168	C₃×D₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
171	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
172	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
173	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₃×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
176	C₂×C₃×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₃×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₃×C₄	#117	1	2	yes	—
179	C₂×C₃×C₄	#117	1	2	yes	—
180	C₂×C₃×C₄	#121	1	4	yes	—
181	C₂×C₃×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
182	C₂×C₃×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
183	C₂×C₃×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₃×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₃×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
187	C₂×Dic₃	—	4	8	no	—
188	C₂×Dic₃	—	8	8	no	—
189	C₃×C₈	—	2	4	no	—
190	C₃×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
191	C₂⁴	C₄⋊Dic₃	1	2	yes	—
192	C₂⁴	C₂×D₁₂	1	1	yes	characteristic
193	#41	—	2	8	no	—
194	#41	—	2	4	no	—
195	#41	—	2	8	no	—
196	#41	—	2	4	no	—
197	#41	—	2	4	no	—
198	#41	—	2	4	no	—
199	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
200	C₂×Q₈	C₄⋊Dic₃	1	2	yes	—
201	C₂×Q₈	C₂×Dic₆	1	2	yes	—
202	C₂×D₄	—	2	8	no	—
203	C₂×D₄	—	2	4	no	—
204	C₂×D₄	C₄⋊Dic₃	1	2	yes	—
205	C₂×D₄	C₄⋊Dic₃	1	4	yes	—
206	C₂×D₄	C₂×Dic₆	1	2	yes	—
207	C₂×D₄	C₂×D₁₂	1	4	yes	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	12	4	no	—
211	C₂²×C₄	C₄⋊Dic₃	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₄⋊Dic₃	1	4	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×Dic₆	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂×Dic₆	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂×D₁₂	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	#235	1	4	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂×#67	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
222	M₁₆	—	2	4	no	—
223	M₁₆	—	2	4	no	—
224	M₁₆	—	2	16	no	—
225	M₁₆	#217	1	8	yes	—
226	M₁₆	#217	1	8	yes	—
227	C₂×C₈	—	2	4	no	—
228	C₂×C₈	—	2	16	no	—
229	C₂×C₈	C₂²×Dic₃	1	4	yes	—
230	C₂×C₈	C₂²×Dic₃	1	4	yes	—
231	C₂×C₈	C₂×#67	1	8	yes	—
232	C₄⋊C₄	—	6	8	no	—
233	C₄⋊C₄	—	12	4	no	—
234	C₂²⋊C₄	—	6	8	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	12	4	no	—
236	C₄²	—	6	8	no	—
237	C₄²	—	12	4	no	—
238	C₂²×C₃	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
240	C₂²×C₃	—	4	1	no	—
241	C₂²×C₃	—	4	1	no	—
242	C₂²×C₃	—	4	1	no	—
243	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
244	C₂²×C₃	—	8	4	no	—
245	C₂²×C₃	#380	1	2	yes	—
246	C₂²×C₃	#380	1	2	yes	—
247	C₂²×C₃	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₃	C₂×#121	1	2	yes	—
249	C₃×C₄	—	2	4	no	—
250	C₃×C₄	#380	1	2	yes	—
251	C₃×C₄	#380	1	2	yes	—
252	C₃×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
253	C₃×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
254	C₃×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
255	Dic₃	—	8	8	no	—
256	C₂³	—	2	4	no	—
257	C₂³	—	8	1	no	—
258	C₂³	—	8	2	no	—
259	C₂³	C₂×C₄⋊Dic₃	1	4	yes	—
260	C₂³	C₂×C₄⋊Dic₃	1	1	yes	characteristic
261	C₂³	C₂×C₄⋊Dic₃	1	1	yes	characteristic
262	C₂³	#930	1	4	yes	—
263	C₂³	C₂²×D₁₂	1	1	yes	characteristic
264	Q₈	—	2	4	no	—
265	Q₈	—	2	4	no	—
266	D₄	—	2	8	no	—
267	D₄	—	2	8	no	—
268	D₄	—	2	4	no	—
269	D₄	—	2	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂×C₄	—	2	8	no	—
272	C₂×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂×C₄	—	12	8	no	—
275	C₂×C₄	—	24	8	no	—
276	C₂×C₄	#924	1	4	yes	—
277	C₂×C₄	#924	1	4	yes	—
278	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Dic₃	1	4	yes	—
279	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Dic₃	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Dic₃	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₄	#926	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	#926	1	2	yes	—
283	C₂×C₄	#930	1	4	yes	—
284	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	C₂²×Dic₆	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	C₂×#235	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	C₂³×Dic₃	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₄	C₂²×#67	1	2	yes	—
290	C₈	—	2	4	no	—
291	C₈	C₂×#217	1	8	yes	—
292	C₂×C₃	—	2	2	no	—
293	C₂×C₃	—	2	1	no	—
294	C₂×C₃	—	2	2	no	—
295	C₂×C₃	—	2	2	no	—
296	C₂×C₃	—	4	4	no	—
297	C₂×C₃	C₂×#380	1	1	yes	characteristic
298	C₂²	—	2	4	no	—
299	C₂²	—	4	4	no	—
300	C₂²	—	4	1	no	—
301	C₂²	—	4	1	no	—
302	C₂²	—	4	1	no	—
303	C₂²	—	4	4	no	—
304	C₂²	—	8	4	no	—
305	C₂²	#5212	1	2	yes	—
306	C₂²	#5212	1	2	yes	—
307	C₂²	C₂²×C₄⋊Dic₃	1	1	yes	characteristic
308	C₂²	C₂×#930	1	2	yes	—
309	C₄	—	2	4	no	—
310	C₄	—	24	8	no	—
311	C₄	#5212	1	2	yes	—
312	C₄	#5212	1	2	yes	—
313	C₄	C₂×#924	1	2	yes	—
314	C₄	C₂×#926	1	1	yes	characteristic
315	C₄	C₂²×#217	1	1	yes	characteristic
316	C₃	#20671	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
317	C₂	—	2	2	no	—
318	C₂	—	2	1	no	—
319	C₂	—	2	2	no	—
320	C₂	—	2	2	no	—
321	C₂	—	4	4	no	—
322	C₂	C₂×#5212	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄	C₂×#926
commutator	C₂×C₃×C₄	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₃
Fitting	C₂×C₃×#568	C₂
socle	C₂×C₃	C₂×#380
prime radical	C₂²×C₃×#41	C₂²
cosocle	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴
hypercenter	C₂×#568	D₃
hypocenter	C₃	#20671
LCS	G ▷ C₂×C₃×C₄ ▷ C₂×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₄ ◁ C₂²×M₁₆ ◁ C₂×#568

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #83752	C₂	semidirect
4. #72012	C₂	semidirect
5. C₂×#4557	C₂	semidirect
9. C₂×C₃×#131	C₄	semidirect
11. C₂²×C₃×M₁₆	C₄	semidirect
19. #5106	C₂²	semidirect
20. #4557	C₂²	semidirect
44. C₂×C₃×M₁₆	C₂×C₄	semidirect
48. C₂²×C₃×C₈	C₂×C₄	semidirect
62. C₂×#131	Dic₃	semidirect
64. C₂²×M₁₆	Dic₃	semidirect
139. C₂×M₁₆	C₂×Dic₃	semidirect
143. C₂²×C₈	C₂×Dic₃	semidirect
316. C₃	#20671	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₃×#568	2
C₂×#5240	2
#83752	2
#72012	2
C₂×#4557	2
#20671	3