Subgroups — #10798788

Order 768.

1642 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 382 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₃×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#5234	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	C₂²×C₄⋊(C₃⋊C₈)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×C₄×#208	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#71615	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#71614	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#21189	—	3	1	no	maximal, Sylow
8	C₂²×C₃×#41	C₂²	1	2	yes	—
9	C₃×#532	—	2	4	no	—
10	C₃×#532	—	2	4	no	—
11	C₂×C₃×C₄⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₃×#127	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₃×#124	C₄	1	2	yes	—
14	C₂×C₃×#121	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×C₃×#121	C₄	1	2	yes	—
16	C₂×C₃×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₃×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₃×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×#208	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂³×C₃⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
21	#5234	—	2	16	no	—
22	C₂×#830	C₂²	1	16	yes	—
23	C₂×C₄⋊(C₃⋊C₈)	—	2	4	no	—
24	C₂×C₄⋊(C₃⋊C₈)	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄⋊(C₃⋊C₈)	C₂²	1	2	yes	—
26	C₄×#208	—	2	4	no	—
27	C₂×#803	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄×C₃⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#532	D₃	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×C₄⋊C₈	—	3	1	no	—
31	C₂×#408	—	3	4	no	—
32	C₂×C₄×M₁₆	—	3	1	no	—
33	#1955	—	3	4	no	—
34	#1954	—	3	4	no	—
35	C₂×C₃×#41	—	2	8	no	—
36	C₂×C₃×#41	—	2	4	no	—
37	C₂×C₃×#41	—	2	4	no	—
38	C₂×C₃×#41	—	2	8	no	—
39	C₂²×C₃×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂²×C₃×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂²×C₃×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂²×C₃×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂²×C₃×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₃×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
49	C₃×#127	—	2	4	no	—
50	C₃×#124	—	2	8	no	—
51	C₃×#121	—	2	8	no	—
52	C₃×#121	—	2	8	no	—
53	C₃×C₄×D₄	—	2	4	no	—
54	C₃×C₄×D₄	—	2	4	no	—
55	C₃×C₄×D₄	—	2	4	no	—
56	C₃×C₄×D₄	—	2	4	no	—
57	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	C₂×C₃×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₃×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	4	yes	—
64	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	4	yes	—
65	C₂×C₃×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₃×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂×#208	—	2	4	no	—
68	C₂×#208	—	2	4	no	—
69	C₂×#208	D₄	1	8	yes	complemented
70	C₂²×C₃⋊C₈	—	2	4	no	—
71	C₂²×C₃⋊C₈	—	2	8	no	—
72	C₂²×C₃⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂²×C₃⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
74	#830	—	2	32	no	—
75	C₄⋊(C₃⋊C₈)	—	2	4	no	—
76	C₄⋊(C₃⋊C₈)	—	2	4	no	—
77	#803	—	2	4	no	—
78	C₄×C₃⋊C₈	—	2	4	no	—
79	C₂²×#41	C₂×D₃	1	2	yes	—
80	C₂²×M₁₆	—	3	2	no	—
81	C₂³×C₈	—	3	2	no	—
82	#532	—	2	4	no	—
83	#532	—	2	4	no	—
84	C₂×C₄⋊Q₈	Dic₃	1	1	yes	characteristic
85	C₂×#127	Dic₃	1	1	yes	characteristic
86	C₂×#124	Dic₃	1	2	yes	—
87	C₂×#121	Dic₃	1	2	yes	—
88	C₂×#121	Dic₃	1	2	yes	—
89	C₂×C₄×D₄	C₂×D₃	1	2	yes	—
90	C₂×C₄×D₄	C₂×D₃	1	2	yes	—
91	C₂²×C₄²	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄⋊C₈	—	3	2	no	—
93	C₂×C₄⋊C₈	—	3	2	no	—
94	C₂×C₄⋊C₈	—	6	4	no	—
95	#408	—	6	16	no	—
96	C₂×C₂²⋊C₈	—	3	16	no	—
97	C₄×M₁₆	—	6	4	no	—
98	C₂×#97	—	3	2	no	—
99	C₂×C₄×C₈	—	3	2	no	—
100	C₂⁴×C₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
101	C₂⁴×C₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
102	C₃×#41	—	4	16	no	—
103	C₃×#41	—	4	8	no	—
104	C₃×#41	—	4	8	no	—
105	C₂×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
106	C₂×C₃×Q₈	—	2	8	no	—
107	C₂×C₃×D₄	—	2	8	no	—
108	C₂×C₃×D₄	—	2	16	no	—
109	C₂×C₃×D₄	—	2	4	no	—
110	C₂×C₃×D₄	—	2	4	no	—
111	C₂×C₃×D₄	—	2	4	no	—
112	C₂×C₃×D₄	—	2	8	no	—
113	C₂×C₃×D₄	—	2	8	no	—
114	C₂×C₃×D₄	—	4	4	no	—
115	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
116	C₂²×C₃×C₄	—	2	8	no	—
117	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
118	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
119	C₂²×C₃×C₄	—	2	8	no	—
120	C₂²×C₃×C₄	—	4	2	no	—
121	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
122	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
123	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
124	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
130	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂²×C₃×C₄	#41	1	4	yes	—
133	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
134	C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
135	C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₃×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
137	C₃×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
138	C₃×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
139	C₃×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
140	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	#208	—	2	16	no	—
145	C₂×C₃⋊C₈	—	2	4	no	—
146	C₂×C₃⋊C₈	—	2	4	no	—
147	C₂×C₃⋊C₈	—	2	4	no	—
148	C₂×C₃⋊C₈	—	2	8	no	—
149	C₂×C₃⋊C₈	—	4	8	no	—
150	C₂×C₃⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
151	C₂×#41	—	2	8	no	—
152	C₂×#41	—	2	8	no	—
153	C₂×#41	—	2	4	no	—
154	C₂×#41	—	2	4	no	—
155	C₂²×Q₈	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
156	C₂²×D₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
157	C₂²×D₄	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
158	C₂²×D₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
159	C₂²×D₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
160	C₂³×C₄	C₂×Dic₃	1	1	yes	characteristic
161	C₂³×C₄	C₂×Dic₃	1	1	yes	characteristic
162	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	4	yes	—
163	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
164	C₂×M₁₆	—	3	8	no	—
165	C₂×M₁₆	—	6	4	no	—
166	C₂×M₁₆	—	6	4	no	—
167	C₂²×C₈	—	3	4	no	—
168	C₂²×C₈	—	3	4	no	—
169	C₂²×C₈	—	6	8	no	—
170	C₂²×C₈	—	6	4	no	—
171	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
172	#127	—	2	4	no	—
173	#124	—	2	8	no	—
174	#121	—	2	8	no	—
175	#121	—	2	8	no	—
176	C₄×D₄	—	2	4	no	—
177	C₄×D₄	—	2	4	no	—
178	C₄×D₄	—	2	4	no	—
179	C₄×D₄	—	2	4	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
181	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂×Dic₃	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₄²	C₂×Dic₃	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₄²	#67	1	4	yes	—
187	C₂×C₄²	#67	1	4	yes	—
188	C₂×C₄²	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄²	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
190	C₄⋊C₈	—	6	4	no	—
191	C₄⋊C₈	—	6	4	no	—
192	C₂²⋊C₈	—	6	32	no	—
193	#97	—	6	4	no	—
194	C₄×C₈	—	6	4	no	—
195	C₂³×C₃	—	2	2	no	—
196	C₂³×C₃	—	2	2	no	—
197	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
198	C₂³×C₃	—	2	8	no	—
199	C₂³×C₃	—	2	8	no	—
200	C₂³×C₃	—	2	8	no	—
201	C₂³×C₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
202	C₂³×C₃	C₄×D₄	1	4	yes	—
203	C₂³×C₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
204	C₃×Q₈	—	4	8	no	—
205	C₃×D₄	—	4	8	no	—
206	C₃×D₄	—	4	16	no	—
207	C₃×D₄	—	4	8	no	—
208	C₃×D₄	—	4	8	no	—
209	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
213	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
215	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
216	C₂×C₃×C₄	—	4	8	no	—
217	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
218	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
219	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
220	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
221	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
222	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
223	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
224	C₂×C₃×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
225	C₂×C₃×C₄	#121	1	8	yes	—
226	C₂×C₃×C₄	#124	1	4	yes	—
227	C₂×C₃×C₄	#127	1	4	yes	—
228	C₂×C₃×C₄	#131	1	4	yes	—
229	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
230	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂×C₃×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
233	C₃⋊C₈	—	2	8	no	—
234	C₃⋊C₈	—	4	4	no	—
235	C₂⁴	C₂²×Dic₃	1	4	yes	—
236	C₂⁴	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
237	#41	—	4	8	no	—
238	#41	—	4	16	no	—
239	#41	—	4	8	no	—
240	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
241	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
242	C₂×D₄	—	2	16	no	—
243	C₂×D₄	—	2	8	no	—
244	C₂×D₄	—	2	8	no	—
245	C₂×D₄	—	2	8	no	—
246	C₂×D₄	—	2	4	no	—
247	C₂×D₄	—	2	4	no	—
248	C₂×D₄	—	2	4	no	—
249	C₂×D₄	—	4	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂²×C₄	#217	1	4	yes	—
257	C₂²×C₄	#217	1	4	yes	—
258	C₂²×C₄	D₃×D₄	1	4	yes	—
259	C₂²×C₄	#237	1	4	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	4	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
269	M₁₆	—	6	16	no	—
270	C₂×C₈	—	3	8	no	—
271	C₂×C₈	—	6	4	no	—
272	C₂×C₈	—	6	4	no	—
273	C₂×C₈	—	6	8	no	—
274	C₂×C₈	—	6	4	no	—
275	C₂×C₈	—	12	8	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
280	C₄²	#217	1	4	yes	—
281	C₄²	#217	1	4	yes	—
282	C₄²	C₂×#67	1	2	yes	—
283	C₄²	C₂×#67	1	2	yes	—
284	C₄²	C₂×#67	1	2	yes	—
285	C₄²	C₂×#67	1	2	yes	—
286	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
287	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
288	C₂²×C₃	—	2	8	no	—
289	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
290	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
291	C₂²×C₃	—	4	16	no	—
292	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
293	C₂²×C₃	#390	1	4	yes	—
294	C₂²×C₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
295	C₂²×C₃	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
296	C₂²×C₃	C₂×#131	1	2	yes	—
297	C₂²×C₃	#568	1	2	yes	—
298	C₃×C₄	—	2	2	no	—
299	C₃×C₄	—	2	2	no	—
300	C₃×C₄	—	2	2	no	—
301	C₃×C₄	—	4	4	no	—
302	C₃×C₄	#390	1	4	yes	—
303	C₃×C₄	#408	1	4	yes	complemented
304	C₃×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
305	C₃×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
306	C₃×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
307	C₂³	—	2	2	no	—
308	C₂³	—	2	2	no	—
309	C₂³	—	2	8	no	—
310	C₂³	—	2	8	no	—
311	C₂³	—	2	8	no	—
312	C₂³	—	2	4	no	—
313	C₂³	D₄×Dic₃	1	4	yes	—
314	C₂³	C₂×#217	1	2	yes	—
315	C₂³	C₂³×Dic₃	1	1	yes	characteristic
316	Q₈	—	4	8	no	—
317	D₄	—	4	8	no	—
318	D₄	—	4	16	no	—
319	D₄	—	4	8	no	—
320	D₄	—	4	8	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	8	no	—
325	C₂×C₄	—	2	8	no	—
326	C₂×C₄	—	2	4	no	—
327	C₂×C₄	—	4	4	no	—
328	C₂×C₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	8	no	—
330	C₂×C₄	—	4	4	no	—
331	C₂×C₄	D₄×Dic₃	1	4	yes	—
332	C₂×C₄	#936	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	#938	1	8	yes	—
334	C₂×C₄	#940	1	4	yes	—
335	C₂×C₄	#948	1	4	yes	—
336	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	C₂×D₃×D₄	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×#237	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂²×#67	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₂²×#67	1	1	yes	characteristic
345	C₈	—	6	8	no	—
346	C₈	—	12	4	no	—
347	C₂×C₃	—	2	4	no	—
348	C₂×C₃	—	8	4	no	—
349	C₂×C₃	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₃	C₂×#408	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₃	#2879	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₃	#2935	1	4	yes	—
353	C₂²	—	2	8	no	—
354	C₂²	—	2	2	no	—
355	C₂²	—	2	2	no	—
356	C₂²	—	4	4	no	—
357	C₂²	—	4	16	no	—
358	C₂²	—	4	4	no	—
359	C₂²	—	4	4	no	—
360	C₂²	#5221	1	4	yes	—
361	C₂²	C₂×D₄×Dic₃	1	2	yes	—
362	C₂²	C₂×#948	1	2	yes	—
363	C₂²	#5819	1	2	yes	—
364	C₂²	C₂²×#217	1	1	yes	characteristic
365	C₄	—	2	2	no	—
366	C₄	—	2	2	no	—
367	C₄	—	2	2	no	—
368	C₄	—	4	4	no	—
369	C₄	#5221	1	4	yes	—
370	C₄	#5234	1	4	yes	complemented
371	C₄	C₂×#936	1	1	yes	characteristic
372	C₄	C₂×#938	1	2	yes	—
373	C₄	C₂×#940	1	1	yes	characteristic
374	C₃	#21189	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
375	C₂	—	2	4	no	—
376	C₂	—	8	4	no	—
377	C₂	#83277	1	4	yes	—
378	C₂	C₂×#5221	1	1	yes	characteristic
379	C₂	C₂×#5234	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#84074	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₃
commutator, socle	C₂³×C₃	C₂³×C₄
Fitting, prime radical	C₂×C₃×#532	C₂
cosocle	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴
hypercenter	C₂×#532	D₃
hypocenter	C₃	#21189
LCS	G ▷ C₂³×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×#532

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#5234	C₂	semidirect
3. C₂²×C₄⋊(C₃⋊C₈)	C₂	semidirect
4. C₂×C₄×#208	C₂	semidirect
5. #71615	C₂	semidirect
6. #71614	C₂	semidirect
69. C₂×#208	D₄	semidirect
303. C₃×C₄	#408	semidirect
370. C₄	#5234	semidirect
374. C₃	#21189	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₃×#532	2
C₂×#5234	2
C₂²×C₄⋊(C₃⋊C₈)	2
C₂×C₄×#208	2
#71615	2
#71614	2
#21189	3