Subgroups — #10799072

Order 768.

1470 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 352 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×C₃×Q₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#84062	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#5225	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#5106	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#5101	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#72067	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#72066	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#21232	—	3	1	no	maximal, Sylow
9	C₂³×C₃×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×C₃×Q₁₆	—	2	4	no	—
11	C₂²×C₃×Q₁₆	—	2	4	no	—
12	C₂²×C₃×Q₁₆	C₄	1	8	yes	complemented
13	C₂²×C₃×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₃×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂³×C₃×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#926	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#926	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×#208	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#5229	—	2	4	no	—
20	#5229	C₂²	1	8	yes	—
21	#5225	—	2	8	no	—
22	C₂×#835	C₂²	1	8	yes	—
23	#5211	—	2	4	no	—
24	#5106	—	2	4	no	—
25	C₂×#818	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#817	C₂²	1	2	yes	—
27	#5101	—	2	4	no	—
28	C₂×#815	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₈×Dic₃	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂³×Q₁₆	D₃	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#427	—	3	1	no	—
32	C₂×#419	—	3	2	no	—
33	C₂×#405	—	3	1	no	—
34	#2310	—	3	2	no	—
35	#1971	—	3	4	no	—
36	#1969	—	3	4	no	—
37	C₂²×C₃×Q₈	—	2	2	no	—
38	C₂²×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
39	C₂²×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
40	C₂²×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
41	C₂²×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
42	C₂²×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
43	C₂²×C₃×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
44	C₂²×C₃×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂³×C₃×C₄	—	2	2	no	—
46	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₃×Q₁₆	—	2	32	no	—
48	C₂×C₃×Q₁₆	—	2	4	no	—
49	C₂×C₃×Q₁₆	—	2	4	no	—
50	C₂×C₃×Q₁₆	—	2	4	no	—
51	C₂×C₃×Q₁₆	—	2	4	no	—
52	C₂×C₃×Q₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
53	C₂×C₃×Q₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
54	C₂²×C₃×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	C₂²×C₃×C₈	D₄	1	4	yes	—
56	C₂²×C₃×C₈	D₄	1	4	yes	—
57	C₂²×C₃×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₃×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#217	—	2	2	no	—
60	C₂×#217	D₄	1	2	yes	—
61	#926	—	2	2	no	—
62	#926	—	2	2	no	—
63	#926	—	2	4	no	—
64	#926	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄⋊Dic₃	D₄	1	2	yes	—
66	C₂×C₄⋊Dic₃	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂×C₄×Dic₃	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄×Dic₃	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×#208	—	2	2	no	—
70	C₂×#208	—	2	2	no	—
71	C₂×#208	D₄	1	4	yes	—
72	C₂²×C₃⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
73	#835	—	2	16	no	—
74	C₃⋊#95	—	2	16	no	—
75	#818	—	2	4	no	—
76	#817	—	2	4	no	—
77	#815	—	2	4	no	—
78	C₈×Dic₃	—	2	4	no	—
79	C₂³×Q₈	C₂×D₃	1	2	yes	—
80	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
81	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
82	C₂²×Q₁₆	Dic₃	1	8	yes	complemented
83	C₂²×Q₁₆	C₂×D₃	1	2	yes	—
84	C₂²×Q₁₆	C₂×D₃	1	2	yes	—
85	C₂²×M₁₆	—	3	1	no	—
86	C₂³×C₈	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
87	C₂×#117	—	3	1	no	—
88	C₂×#117	—	3	2	no	—
89	#427	—	6	4	no	—
90	C₂×#107	—	3	2	no	—
91	C₂×#106	—	3	2	no	—
92	#419	—	6	8	no	—
93	C₂×#103	—	3	8	no	—
94	#405	—	6	4	no	—
95	C₂×#97	—	3	2	no	—
96	C₂×C₄×C₈	—	3	2	no	—
97	#391	—	3	8	no	—
98	#391	—	6	4	no	—
99	#381	—	6	4	no	—
100	C₂⁴×C₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₃×Q₈	—	2	8	no	—
102	C₂×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
103	C₂×C₃×Q₈	—	2	16	no	—
104	C₂×C₃×Q₈	—	2	16	no	—
105	C₂×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
106	C₂×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
107	C₂×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
108	C₂×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
109	C₂×C₃×Q₈	—	4	4	no	—
110	C₂×C₃×Q₈	—	4	8	no	—
111	C₂×C₃×Q₈	—	4	8	no	—
112	C₂×C₃×Q₈	—	4	4	no	—
113	C₂×C₃×Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
114	C₂²×C₃×C₄	—	2	8	no	—
115	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
116	C₂²×C₃×C₄	—	4	4	no	—
117	C₂²×C₃×C₄	—	4	4	no	—
118	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
121	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
123	C₂²×C₃×C₄	#41	1	2	yes	—
124	C₂²×C₃×C₄	#41	1	2	yes	—
125	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
127	C₂²×Dic₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
128	C₃×Q₁₆	—	2	16	no	—
129	C₃×Q₁₆	—	2	16	no	—
130	C₂×C₃×C₈	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
131	C₂×C₃×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
132	C₂×C₃×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₃×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₃×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₃×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₃×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	#217	—	2	4	no	—
138	#217	—	4	4	no	—
139	C₄⋊Dic₃	—	2	4	no	—
140	C₄⋊Dic₃	—	2	4	no	—
141	C₄⋊Dic₃	—	2	4	no	—
142	C₄×Dic₃	—	2	2	no	—
143	C₄×Dic₃	—	2	2	no	—
144	C₄×Dic₃	—	4	4	no	—
145	#208	—	2	8	no	—
146	C₂×C₃⋊C₈	—	2	2	no	—
147	C₂×C₃⋊C₈	—	2	2	no	—
148	C₂×C₃⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
149	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
150	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
151	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
152	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
153	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
154	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
155	C₂²×Q₈	C₂×Dic₃	1	8	yes	—
156	C₂²×Q₈	C₂²×D₃	1	4	yes	—
157	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
158	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
159	C₂×Q₁₆	—	2	32	no	—
160	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
161	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
162	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
163	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
164	C₂×Q₁₆	C₂×Dic₃	1	8	yes	—
165	C₂×Q₁₆	C₂×Dic₃	1	8	yes	—
166	C₂×M₁₆	—	3	4	no	—
167	C₂×M₁₆	—	6	2	no	—
168	C₂×M₁₆	—	6	2	no	—
169	C₂²×C₈	—	3	2	no	—
170	C₂²×C₈	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
171	C₂²×C₈	#67	1	4	yes	—
172	C₂²×C₈	#67	1	4	yes	—
173	C₂²×C₈	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
174	C₂²×C₈	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
175	#117	—	6	2	no	—
176	#117	—	6	2	no	—
177	#117	—	6	4	no	—
178	#117	—	6	4	no	—
179	C₂×C₄⋊C₄	—	3	2	no	—
180	C₂×C₄⋊C₄	—	3	4	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	2	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	6	2	no	—
183	C₂×C₄²	—	3	2	no	—
184	C₂×C₄²	—	6	2	no	—
185	#107	—	6	4	no	—
186	#106	—	6	4	no	—
187	#103	—	6	16	no	—
188	#97	—	6	4	no	—
189	C₄×C₈	—	6	4	no	—
190	#95	—	6	16	no	—
191	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
192	C₂³×C₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
193	C₂³×C₃	#121	1	2	yes	—
194	C₂³×C₃	#127	1	2	yes	—
195	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
196	C₃×Q₈	—	2	8	no	—
197	C₃×Q₈	—	2	8	no	—
198	C₃×Q₈	—	4	4	no	—
199	C₃×Q₈	—	4	4	no	—
200	C₃×Q₈	—	4	16	no	—
201	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
202	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
203	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
204	C₂×C₃×C₄	—	4	16	no	—
205	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
206	C₂×C₃×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
207	C₂×C₃×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
208	C₂×C₃×C₄	#121	1	4	yes	—
209	C₂×C₃×C₄	#121	1	2	yes	—
210	C₂×C₃×C₄	#124	1	4	yes	—
211	C₂×C₃×C₄	#127	1	2	yes	—
212	C₂×C₃×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂×C₃×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
217	C₂×C₃×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
218	C₂×Dic₃	—	2	4	no	—
219	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
220	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
221	C₂×Dic₃	—	4	8	no	—
222	C₃×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
223	C₃×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
224	C₃⋊C₈	—	2	4	no	—
225	C₂⁴	D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
227	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
228	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
232	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
234	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
235	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
236	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
237	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
238	C₂×Q₈	C₂²×Dic₃	1	8	yes	—
239	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	3	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
245	C₂²×C₄	D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	D₃×D₄	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	#237	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	#237	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
253	Q₁₆	—	2	16	no	—
254	Q₁₆	—	2	16	no	—
255	M₁₆	—	6	8	no	—
256	C₂×C₈	—	3	4	no	—
257	C₂×C₈	—	6	2	no	—
258	C₂×C₈	—	6	2	no	—
259	C₂×C₈	#217	1	16	yes	—
260	C₂×C₈	C₂²×Dic₃	1	2	yes	—
261	C₂×C₈	C₂²×Dic₃	1	2	yes	—
262	C₂×C₈	C₂×#67	1	2	yes	—
263	C₂×C₈	C₂×#67	1	2	yes	—
264	C₂×C₈	C₂×#67	1	2	yes	—
265	C₂×C₈	C₂×#67	1	2	yes	—
266	C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
267	C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	6	4	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	12	4	no	—
271	C₄²	—	6	2	no	—
272	C₄²	—	6	2	no	—
273	C₄²	—	12	4	no	—
274	C₂²×C₃	—	2	4	no	—
275	C₂²×C₃	—	2	4	no	—
276	C₂²×C₃	—	2	4	no	—
277	C₂²×C₃	#390	1	4	yes	—
278	C₂²×C₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
279	C₂²×C₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
280	C₂²×C₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
281	C₂²×C₃	#578	1	4	yes	—
282	C₃×C₄	—	4	8	no	—
283	C₃×C₄	#390	1	4	yes	—
284	C₃×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
285	C₃×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
286	C₃×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
287	C₃×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
288	Dic₃	—	4	4	no	—
289	Dic₃	—	8	4	no	—
290	C₂³	—	2	4	no	—
291	C₂³	D₄×Dic₃	1	2	yes	—
292	C₂³	#938	1	2	yes	—
293	C₂³	#940	1	2	yes	—
294	C₂³	C₂×D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
295	Q₈	—	2	8	no	—
296	Q₈	—	2	8	no	—
297	Q₈	—	4	16	no	—
298	Q₈	—	4	4	no	—
299	Q₈	—	4	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	8	no	—
301	C₂×C₄	—	4	16	no	—
302	C₂×C₄	—	4	4	no	—
303	C₂×C₄	—	4	4	no	—
304	C₂×C₄	—	6	8	no	—
305	C₂×C₄	—	6	4	no	—
306	C₂×C₄	—	12	8	no	—
307	C₂×C₄	—	12	4	no	—
308	C₂×C₄	D₄×Dic₃	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	D₄×Dic₃	1	4	yes	—
310	C₂×C₄	#936	1	4	yes	—
311	C₂×C₄	#938	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#938	1	4	yes	—
313	C₂×C₄	#940	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×#217	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂×#237	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	C₂×#237	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	C₂³×Dic₃	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	C₂²×#67	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	C₂²×#67	1	1	yes	characteristic
321	C₈	—	6	4	no	—
322	C₈	C₂×#217	1	4	yes	—
323	C₈	C₂×#217	1	4	yes	—
324	C₂×C₃	—	2	4	no	—
325	C₂×C₃	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₃	#2950	1	2	yes	—
327	C₂×C₃	#3059	1	2	yes	—
328	C₂×C₃	#3156	1	2	yes	—
329	C₂²	—	2	4	no	—
330	C₂²	—	2	4	no	—
331	C₂²	—	2	4	no	—
332	C₂²	#5221	1	4	yes	—
333	C₂²	#5766	1	4	yes	—
334	C₂²	C₂×D₄×Dic₃	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	C₂×#938	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	C₂×#940	1	1	yes	characteristic
337	C₄	—	4	8	no	—
338	C₄	—	12	4	no	—
339	C₄	—	24	4	no	—
340	C₄	#5221	1	4	yes	—
341	C₄	C₂×D₄×Dic₃	1	1	yes	characteristic
342	C₄	C₂×#936	1	1	yes	characteristic
343	C₄	C₂×#938	1	1	yes	characteristic
344	C₄	C₂²×#217	1	1	yes	characteristic
345	C₃	#21232	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
346	C₂	—	2	4	no	—
347	C₂	#83874	1	2	yes	—
348	C₂	#83881	1	2	yes	—
349	C₂	#83887	1	2	yes	—
350	C₂	C₂×#5221	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂×D₃×D₄
commutator	C₂×C₃×C₄	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₃
Fitting	C₂³×C₃×Q₁₆	C₂
socle	C₂³×C₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂⁴×C₃	C₂×D₄
cosocle	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴
hypercenter	C₂³×Q₁₆	D₃
hypocenter	C₃	#21232
LCS	G ▷ C₂×C₃×C₄ ▷ C₂×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂³×Q₁₆

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
6. #72067	C₂	semidirect
7. #72066	C₂	semidirect
12. C₂²×C₃×Q₁₆	C₄	semidirect
82. C₂²×Q₁₆	Dic₃	semidirect
345. C₃	#21232	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×C₃×Q₁₆	2
#84062	2
C₂×#5225	2
C₂×#5106	2
C₂×#5101	2
#72067	2
#72066	2
#21232	3