Subgroups — #10799079

Order 768.

1790 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 374 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×C₃×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#84044	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#5215	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#5106	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#5101	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#72039	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#72038	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#21233	—	3	1	no	maximal, Sylow
9	C₂³×C₃×D₄	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×C₃×D₈	—	2	4	no	—
11	C₂²×C₃×D₈	—	2	4	no	—
12	C₂²×C₃×D₈	C₄	1	8	yes	complemented
13	C₂²×C₃×D₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₃×D₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂³×C₃×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#926	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#926	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×#208	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#5247	—	2	4	no	—
20	#5221	—	2	4	no	—
21	#5221	C₂²	1	8	yes	complemented
22	#5215	—	2	8	no	—
23	C₂×#832	C₂²	1	8	yes	complemented
24	#5106	—	2	4	no	—
25	C₂×#818	C₂²	1	2	yes	complemented
26	C₂×#817	C₂²	1	2	yes	complemented
27	#5101	—	2	4	no	—
28	C₂×#815	C₂²	1	2	yes	complemented
29	C₂×C₈×Dic₃	C₂²	1	2	yes	complemented
30	C₂³×D₈	D₃	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#427	—	3	1	no	—
32	C₂×#418	—	3	2	no	—
33	C₂×#405	—	3	1	no	—
34	#2309	—	3	2	no	—
35	#1972	—	3	4	no	—
36	#1970	—	3	4	no	—
37	C₂⁵×C₃	—	2	2	no	—
38	C₂²×C₃×D₄	—	2	4	no	—
39	C₂²×C₃×D₄	—	2	4	no	—
40	C₂²×C₃×D₄	—	2	4	no	—
41	C₂²×C₃×D₄	—	2	2	no	—
42	C₂²×C₃×D₄	—	2	4	no	—
43	C₂²×C₃×D₄	—	2	4	no	—
44	C₂²×C₃×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
45	C₂²×C₃×D₄	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₃×D₈	—	2	32	no	—
48	C₂×C₃×D₈	—	2	4	no	—
49	C₂×C₃×D₈	—	2	4	no	—
50	C₂×C₃×D₈	—	2	4	no	—
51	C₂×C₃×D₈	—	2	4	no	—
52	C₂×C₃×D₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
53	C₂×C₃×D₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
54	C₂²×C₃×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	C₂²×C₃×C₈	D₄	1	4	yes	—
56	C₂²×C₃×C₈	D₄	1	4	yes	—
57	C₂²×C₃×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₃×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#217	—	2	2	no	—
60	C₂×#217	—	2	16	no	—
61	C₂×#217	D₄	1	2	yes	—
62	#926	—	2	2	no	—
63	#926	—	2	2	no	—
64	#926	—	2	4	no	—
65	#926	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄⋊Dic₃	D₄	1	2	yes	—
67	C₂×C₄⋊Dic₃	C₂³	1	4	yes	—
68	C₂×C₄×Dic₃	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄×Dic₃	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×#208	—	2	2	no	—
71	C₂×#208	—	2	2	no	—
72	C₂×#208	D₄	1	4	yes	—
73	C₂²×C₃⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
74	#832	—	2	16	no	—
75	#818	—	2	4	no	—
76	#817	—	2	4	no	—
77	#815	—	2	4	no	—
78	C₈×Dic₃	—	2	4	no	—
79	C₂³×D₄	C₂×D₃	1	2	yes	—
80	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
81	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
82	C₂²×D₈	Dic₃	1	8	yes	complemented
83	C₂²×D₈	C₂×D₃	1	2	yes	—
84	C₂²×D₈	C₂×D₃	1	2	yes	—
85	C₂²×M₁₆	—	3	1	no	—
86	C₂³×C₈	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
87	C₂×#117	—	3	1	no	—
88	C₂×#117	—	3	2	no	—
89	#427	—	6	4	no	—
90	C₂×#107	—	3	2	no	—
91	C₂×#106	—	3	2	no	—
92	#418	—	6	8	no	—
93	C₂×#102	—	3	8	no	—
94	#405	—	6	4	no	—
95	C₂×#97	—	3	2	no	—
96	C₂×C₄×C₈	—	3	2	no	—
97	#390	—	3	8	no	—
98	#390	—	6	4	no	—
99	#379	—	6	4	no	—
100	C₂⁴×C₃	—	2	4	no	—
101	C₂⁴×C₃	—	2	8	no	—
102	C₂⁴×C₃	—	4	4	no	—
103	C₂⁴×C₃	—	4	4	no	—
104	C₂⁴×C₃	—	8	8	no	—
105	C₂⁴×C₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₃×D₄	—	2	16	no	—
107	C₂×C₃×D₄	—	2	16	no	—
108	C₂×C₃×D₄	—	2	8	no	—
109	C₂×C₃×D₄	—	2	4	no	—
110	C₂×C₃×D₄	—	2	4	no	—
111	C₂×C₃×D₄	—	2	4	no	—
112	C₂×C₃×D₄	—	2	4	no	—
113	C₂×C₃×D₄	—	2	4	no	—
114	C₂×C₃×D₄	—	4	8	no	—
115	C₂×C₃×D₄	—	4	4	no	—
116	C₂×C₃×D₄	—	4	8	no	—
117	C₂×C₃×D₄	—	4	4	no	—
118	C₂×C₃×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
119	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
120	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
123	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₂²×C₃×C₄	#41	1	2	yes	—
125	C₂²×C₃×C₄	#41	1	2	yes	—
126	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
128	C₂²×Dic₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
129	C₃×D₈	—	2	16	no	—
130	C₃×D₈	—	2	16	no	—
131	C₂×C₃×C₈	C₂²⋊C₄	1	16	yes	complemented
132	C₂×C₃×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₃×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₃×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₃×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₃×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₃×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	#217	—	2	4	no	—
139	#217	—	4	4	no	—
140	#217	—	8	16	no	—
141	C₄⋊Dic₃	—	2	4	no	—
142	C₄⋊Dic₃	—	2	4	no	—
143	C₄⋊Dic₃	—	2	4	no	—
144	C₄×Dic₃	—	2	2	no	—
145	C₄×Dic₃	—	2	2	no	—
146	C₄×Dic₃	—	4	4	no	—
147	#208	—	2	8	no	—
148	C₂×C₃⋊C₈	—	2	2	no	—
149	C₂×C₃⋊C₈	—	2	2	no	—
150	C₂×C₃⋊C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
151	C₂⁵	—	2	2	no	—
152	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
153	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
154	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
155	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
156	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
157	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
158	C₂²×D₄	C₂×Dic₃	1	8	yes	—
159	C₂²×D₄	C₂²×D₃	1	4	yes	—
160	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
161	C₂×D₈	—	2	32	no	—
162	C₂×D₈	—	2	4	no	—
163	C₂×D₈	—	2	4	no	—
164	C₂×D₈	—	2	4	no	—
165	C₂×D₈	—	2	4	no	—
166	C₂×D₈	C₂×Dic₃	1	8	yes	—
167	C₂×D₈	C₂×Dic₃	1	8	yes	—
168	C₂×M₁₆	—	3	4	no	—
169	C₂×M₁₆	—	6	2	no	—
170	C₂×M₁₆	—	6	2	no	—
171	C₂²×C₈	—	3	2	no	—
172	C₂²×C₈	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
173	C₂²×C₈	#67	1	4	yes	—
174	C₂²×C₈	#67	1	4	yes	—
175	C₂²×C₈	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
176	C₂²×C₈	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
177	#117	—	6	2	no	—
178	#117	—	6	2	no	—
179	#117	—	6	4	no	—
180	#117	—	6	4	no	—
181	C₂×C₄⋊C₄	—	3	2	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	3	4	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	2	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	6	2	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	6	16	no	—
186	C₂×C₄²	—	3	2	no	—
187	C₂×C₄²	—	6	2	no	—
188	#107	—	6	4	no	—
189	#106	—	6	4	no	—
190	#102	—	6	16	no	—
191	#97	—	6	4	no	—
192	C₄×C₈	—	6	4	no	—
193	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
194	C₂³×C₃	—	2	8	no	—
195	C₂³×C₃	—	4	4	no	—
196	C₂³×C₃	—	4	4	no	—
197	C₂³×C₃	—	4	16	no	—
198	C₂³×C₃	—	4	16	no	—
199	C₂³×C₃	—	8	16	no	—
200	C₂³×C₃	—	8	16	no	—
201	C₂³×C₃	—	8	16	no	—
202	C₂³×C₃	C₄×D₄	1	2	yes	—
203	C₂³×C₃	#121	1	2	yes	—
204	C₂³×C₃	#127	1	2	yes	—
205	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₃×D₄	—	2	8	no	—
207	C₃×D₄	—	2	8	no	—
208	C₃×D₄	—	4	4	no	—
209	C₃×D₄	—	4	4	no	—
210	C₃×D₄	—	4	16	no	—
211	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
212	C₂×C₃×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
213	C₂×C₃×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
214	C₂×C₃×C₄	#121	1	4	yes	—
215	C₂×C₃×C₄	#121	1	2	yes	—
216	C₂×C₃×C₄	#124	1	4	yes	—
217	C₂×C₃×C₄	#127	1	2	yes	—
218	C₂×C₃×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₃×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₃×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
224	C₂×Dic₃	—	2	4	no	—
225	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
226	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
227	C₂×Dic₃	—	4	8	no	—
228	C₃×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
229	C₃×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
230	C₃⋊C₈	—	2	4	no	—
231	C₂⁴	—	2	4	no	—
232	C₂⁴	—	2	8	no	—
233	C₂⁴	—	4	4	no	—
234	C₂⁴	—	4	4	no	—
235	C₂⁴	—	8	8	no	—
236	C₂⁴	D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂×D₄	—	2	16	no	—
238	C₂×D₄	—	2	8	no	—
239	C₂×D₄	—	2	16	no	—
240	C₂×D₄	—	2	4	no	—
241	C₂×D₄	—	2	4	no	—
242	C₂×D₄	—	2	4	no	—
243	C₂×D₄	—	2	4	no	—
244	C₂×D₄	—	2	4	no	—
245	C₂×D₄	—	4	8	no	—
246	C₂×D₄	—	4	4	no	—
247	C₂×D₄	—	4	8	no	—
248	C₂×D₄	—	4	4	no	—
249	C₂×D₄	C₂²×Dic₃	1	8	yes	—
250	C₂²×C₄	—	3	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
252	C₂²×C₄	D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	D₃×D₄	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	#237	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	#237	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
260	D₈	—	2	16	no	—
261	D₈	—	2	16	no	—
262	M₁₆	—	6	8	no	—
263	C₂×C₈	—	3	4	no	—
264	C₂×C₈	—	6	2	no	—
265	C₂×C₈	—	6	2	no	—
266	C₂×C₈	#217	1	16	yes	complemented
267	C₂×C₈	C₂²×Dic₃	1	2	yes	—
268	C₂×C₈	C₂²×Dic₃	1	2	yes	—
269	C₂×C₈	C₂×#67	1	2	yes	—
270	C₂×C₈	C₂×#67	1	2	yes	—
271	C₂×C₈	C₂×#67	1	2	yes	—
272	C₂×C₈	C₂×#67	1	2	yes	—
273	C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	6	4	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	12	4	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	24	16	no	—
279	C₄²	—	6	2	no	—
280	C₄²	—	6	2	no	—
281	C₄²	—	12	4	no	—
282	C₂²×C₃	—	2	4	no	—
283	C₂²×C₃	—	2	4	no	—
284	C₂²×C₃	—	2	4	no	—
285	C₂²×C₃	—	4	16	no	—
286	C₂²×C₃	—	4	8	no	—
287	C₂²×C₃	—	8	32	no	—
288	C₂²×C₃	—	8	8	no	—
289	C₂²×C₃	—	8	8	no	—
290	C₂²×C₃	#390	1	4	yes	—
291	C₂²×C₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
292	C₂²×C₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
293	C₂²×C₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
294	C₂²×C₃	#576	1	4	yes	—
295	C₃×C₄	#390	1	4	yes	—
296	C₃×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
297	C₃×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
298	C₃×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
299	C₃×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
300	Dic₃	—	4	4	no	—
301	Dic₃	—	8	4	no	—
302	C₂³	—	2	4	no	—
303	C₂³	—	2	8	no	—
304	C₂³	—	4	16	no	—
305	C₂³	—	4	16	no	—
306	C₂³	—	4	4	no	—
307	C₂³	—	4	4	no	—
308	C₂³	—	8	16	no	—
309	C₂³	—	8	16	no	—
310	C₂³	—	8	16	no	—
311	C₂³	D₄×Dic₃	1	2	yes	—
312	C₂³	#938	1	2	yes	—
313	C₂³	#940	1	2	yes	—
314	C₂³	C₂×D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
315	D₄	—	2	8	no	—
316	D₄	—	2	8	no	—
317	D₄	—	4	16	no	—
318	D₄	—	4	4	no	—
319	D₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	6	8	no	—
321	C₂×C₄	—	6	4	no	—
322	C₂×C₄	—	12	8	no	—
323	C₂×C₄	—	12	4	no	—
324	C₂×C₄	D₄×Dic₃	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	D₄×Dic₃	1	4	yes	—
326	C₂×C₄	#936	1	4	yes	—
327	C₂×C₄	#938	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	#938	1	4	yes	—
329	C₂×C₄	#940	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×#217	1	4	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂×#237	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂×#237	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂³×Dic₃	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₂²×#67	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₂²×#67	1	1	yes	characteristic
337	C₈	—	6	4	no	—
338	C₈	C₂×#217	1	4	yes	—
339	C₈	C₂×#217	1	4	yes	—
340	C₂×C₃	—	2	4	no	—
341	C₂×C₃	—	8	8	no	—
342	C₂×C₃	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₃	#2948	1	2	yes	—
344	C₂×C₃	#3058	1	2	yes	—
345	C₂×C₃	#3155	1	2	yes	—
346	C₂²	—	2	4	no	—
347	C₂²	—	2	4	no	—
348	C₂²	—	2	4	no	—
349	C₂²	—	4	8	no	—
350	C₂²	—	4	16	no	—
351	C₂²	—	8	32	no	—
352	C₂²	—	8	8	no	—
353	C₂²	—	8	8	no	—
354	C₂²	#5221	1	4	yes	—
355	C₂²	#5757	1	4	yes	—
356	C₂²	C₂×D₄×Dic₃	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	C₂×#938	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	C₂×#940	1	1	yes	characteristic
359	C₄	—	12	4	no	—
360	C₄	—	24	4	no	—
361	C₄	#5221	1	4	yes	—
362	C₄	C₂×D₄×Dic₃	1	1	yes	characteristic
363	C₄	C₂×#936	1	1	yes	characteristic
364	C₄	C₂×#938	1	1	yes	characteristic
365	C₄	C₂²×#217	1	1	yes	characteristic
366	C₃	#21233	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
367	C₂	—	2	4	no	—
368	C₂	—	8	8	no	—
369	C₂	#83823	1	2	yes	—
370	C₂	#83830	1	2	yes	—
371	C₂	#83836	1	2	yes	—
372	C₂	C₂×#5221	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂×D₃×D₄
commutator	C₂×C₃×C₄	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₃
Fitting, prime radical	C₂³×C₃×D₈	C₂
socle	C₂³×C₃	C₂²×D₄
cosocle	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴
hypercenter	C₂³×D₈	D₃
hypocenter	C₃	#21233
LCS	G ▷ C₂×C₃×C₄ ▷ C₂×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂³×D₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #84044	C₂	semidirect
3. C₂×#5215	C₂	semidirect
4. C₂×#5106	C₂	semidirect
5. C₂×#5101	C₂	semidirect
6. #72039	C₂	semidirect
7. #72038	C₂	semidirect
12. C₂²×C₃×D₈	C₄	semidirect
21. #5221	C₂²	semidirect
23. C₂×#832	C₂²	semidirect
25. C₂×#818	C₂²	semidirect
26. C₂×#817	C₂²	semidirect
28. C₂×#815	C₂²	semidirect
29. C₂×C₈×Dic₃	C₂²	semidirect
82. C₂²×D₈	Dic₃	semidirect
131. C₂×C₃×C₈	C₂²⋊C₄	semidirect
266. C₂×C₈	#217	semidirect
366. C₃	#21233	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×C₃×D₈	2
#84044	2
C₂×#5215	2
C₂×#5106	2
C₂×#5101	2
#72039	2
#72038	2
#21233	3