Subgroups — #10799649

Order 768.

1170 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 334 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#5470	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₃×C₄×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂²×C₄⋊(C₃⋊C₈)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#71980	C₂	1	4	yes	maximal
5	#69838	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#69788	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#21302	—	3	1	no	maximal, Sylow
8	C₂²×C₃×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×C₃×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#926	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#924	C₄	1	2	yes	—
12	C₂×#924	C₄	1	2	yes	—
13	C₂³×C₃⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
14	#5470	—	2	4	no	—
15	#5470	—	2	4	no	—
16	C₂×#870	C₄	1	2	yes	—
17	C₂×#869	C₄	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#869	C₄	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄×Dic₆	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×Dic₆	C₂²	1	2	yes	—
21	C₃×C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
22	C₂×C₃×#97	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₃×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄⋊(C₃⋊C₈)	—	2	4	no	—
25	C₂×C₄⋊(C₃⋊C₈)	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄⋊(C₃⋊C₈)	C₂²	1	2	yes	—
27	#4550	C₂²	1	16	yes	—
28	C₂×#533	—	3	1	no	—
29	C₂²×C₄⋊C₈	—	3	1	no	—
30	C₂×C₄×M₁₆	D₃	1	1	yes	characteristic
31	#1985	—	3	4	no	—
32	#1984	—	3	4	no	—
33	#1729	—	3	4	no	—
34	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×Dic₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂²×Dic₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂×C₃×M₁₆	—	2	4	no	—
40	C₂×C₃×M₁₆	—	2	4	no	—
41	C₂×C₃×M₁₆	Q₈	1	8	yes	complemented
42	C₂²×C₃×C₈	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂×C₃×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₃×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	4	yes	—
46	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	4	yes	—
47	C₂×C₃×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂×C₃×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#217	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	#926	—	2	4	no	—
51	#926	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄⋊Dic₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄⋊Dic₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
54	C₂×C₄⋊Dic₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×C₄⋊Dic₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	#924	—	2	8	no	—
57	#924	—	2	8	no	—
58	C₂×Dic₃⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	C₂×Dic₃⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	C₂×C₄×Dic₃	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂²×C₃⋊C₈	—	2	4	no	—
62	C₂²×C₃⋊C₈	—	2	8	no	—
63	C₂²×C₃⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
64	#870	—	2	8	no	—
65	#869	—	2	4	no	—
66	#869	—	2	4	no	—
67	C₄×Dic₆	—	2	4	no	—
68	C₄×Dic₆	—	2	4	no	—
69	C₄×Dic₆	—	2	4	no	—
70	C₄×Dic₆	—	2	4	no	—
71	C₃×#97	—	2	4	no	—
72	C₃×C₄×C₈	—	2	4	no	—
73	C₄⋊(C₃⋊C₈)	—	2	4	no	—
74	C₄⋊(C₃⋊C₈)	—	2	4	no	—
75	C₂²×M₁₆	C₂×D₃	1	2	yes	—
76	C₂³×C₈	—	3	2	no	—
77	#533	—	6	4	no	—
78	#533	—	6	4	no	—
79	C₂×C₄⋊Q₈	—	3	1	no	—
80	C₂×C₄⋊Q₈	—	3	1	no	—
81	C₂×#125	—	3	2	no	—
82	C₂×C₂²⋊Q₈	—	3	2	no	—
83	C₂×C₂²⋊Q₈	—	3	2	no	—
84	C₂×C₄×Q₈	—	3	2	no	—
85	C₂×C₄×Q₈	—	3	2	no	—
86	C₂×#117	—	3	2	no	—
87	C₂²×C₄²	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄⋊C₈	—	3	2	no	—
89	C₂×C₄⋊C₈	—	3	2	no	—
90	C₂×C₄⋊C₈	—	6	4	no	—
91	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
92	C₂×#97	C₂×D₃	1	2	yes	—
93	C₂×C₄×C₈	C₂×D₃	1	2	yes	—
94	#336	—	3	16	no	—
95	C₂⁴×C₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
97	C₂²×C₃×C₄	—	4	2	no	—
98	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
99	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
100	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
106	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
107	C₂²×C₃×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
108	C₂²×C₃×C₄	#41	1	4	yes	—
109	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×Dic₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
111	C₂²×Dic₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
112	C₂×Dic₆	—	2	4	no	—
113	C₂×Dic₆	—	2	4	no	—
114	C₂×Dic₆	—	2	8	no	—
115	C₂×Dic₆	—	4	4	no	—
116	C₃×M₁₆	—	2	16	no	—
117	C₂×C₃×C₈	—	2	4	no	—
118	C₂×C₃×C₈	—	2	4	no	—
119	C₂×C₃×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
120	C₃×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
121	C₃×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
122	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
123	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	#217	—	2	8	no	—
127	C₄⋊Dic₃	—	2	4	no	—
128	C₄⋊Dic₃	—	2	4	no	—
129	C₄⋊Dic₃	—	2	4	no	—
130	C₄⋊Dic₃	—	2	4	no	—
131	Dic₃⋊C₄	—	2	8	no	—
132	Dic₃⋊C₄	—	2	8	no	—
133	C₄×Dic₃	—	2	4	no	—
134	C₄×Dic₃	—	2	4	no	—
135	C₂×C₃⋊C₈	—	2	4	no	—
136	C₂×C₃⋊C₈	—	2	8	no	—
137	C₂×C₃⋊C₈	—	4	8	no	—
138	C₂²×Q₈	—	3	2	no	—
139	C₂²×Q₈	—	3	2	no	—
140	C₂³×C₄	C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
141	C₂³×C₄	C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
142	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
143	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
145	C₂×M₁₆	Dic₆	1	8	yes	complemented
146	C₂²×C₈	—	3	4	no	—
147	C₂²×C₈	—	6	4	no	—
148	C₂²×C₈	—	6	8	no	—
149	C₂²×C₈	C₂²×D₃	1	4	yes	—
150	C₄⋊Q₈	—	6	4	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	6	4	no	—
152	#125	—	6	8	no	—
153	C₂²⋊Q₈	—	6	8	no	—
154	C₂²⋊Q₈	—	6	8	no	—
155	C₄×Q₈	—	6	4	no	—
156	C₄×Q₈	—	6	4	no	—
157	C₄×Q₈	—	6	4	no	—
158	C₄×Q₈	—	6	4	no	—
159	#117	—	6	4	no	—
160	#117	—	6	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	3	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	3	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	3	4	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	3	4	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	3	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	3	2	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	4	no	—
168	C₂×C₄²	—	3	4	no	—
169	C₂×C₄²	C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄²	C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄²	D₁₂	1	4	yes	—
172	C₂×C₄²	#67	1	4	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄²	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
175	C₄⋊C₈	—	6	4	no	—
176	C₄⋊C₈	—	6	4	no	—
177	#97	—	2	4	no	—
178	C₄×C₈	—	2	4	no	—
179	C₂³×C₃	—	2	2	no	—
180	C₂³×C₃	—	2	2	no	—
181	C₂³×C₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
182	C₂³×C₃	C₄×Q₈	1	4	yes	—
183	C₂³×C₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
188	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
189	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
190	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
191	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
192	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
193	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
194	C₂×C₃×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
195	C₂×C₃×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
196	C₂×C₃×C₄	#124	1	4	yes	—
197	C₂×C₃×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
198	C₂×C₃×C₄	#131	1	4	yes	—
199	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₃×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
202	C₂×C₃×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
203	C₂×Dic₃	—	2	4	no	—
204	C₂×Dic₃	—	2	4	no	—
205	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
206	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
207	Dic₆	—	4	8	no	—
208	Dic₆	—	4	8	no	—
209	C₃×C₈	—	2	8	no	—
210	C₃⋊C₈	—	4	4	no	—
211	C₂⁴	C₂×C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
212	C₂×Q₈	—	6	8	no	—
213	C₂×Q₈	—	6	4	no	—
214	C₂×Q₈	—	6	4	no	—
215	C₂×Q₈	—	12	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	3	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	3	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
220	C₂²×C₄	(C₂×D₃)⋊C₄	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	(C₂×D₃)⋊C₄	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×Dic₆	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂×D₁₂	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	#235	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
232	M₁₆	—	2	16	no	—
233	C₂×C₈	—	2	4	no	—
234	C₂×C₈	—	2	4	no	—
235	C₂×C₈	—	6	4	no	—
236	C₂×C₈	—	6	8	no	—
237	C₂×C₈	—	12	8	no	—
238	C₂×C₈	C₂×Dic₆	1	8	yes	—
239	C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	6	8	no	—
242	C₄⋊C₄	—	6	8	no	—
243	C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	6	8	no	—
246	C₄²	—	6	4	no	—
247	C₄²	—	6	4	no	—
248	C₄²	(C₂×D₃)⋊C₄	1	4	yes	—
249	C₄²	(C₂×D₃)⋊C₄	1	4	yes	—
250	C₄²	C₂×D₁₂	1	2	yes	—
251	C₄²	C₂×D₁₂	1	2	yes	—
252	C₄²	C₂×#67	1	2	yes	—
253	C₄²	C₂×#67	1	2	yes	—
254	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
255	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
256	C₂²×C₃	—	2	8	no	—
257	C₂²×C₃	#391	1	4	yes	—
258	C₂²×C₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₃	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
260	C₂²×C₃	C₂×#131	1	2	yes	—
261	C₂²×C₃	#568	1	2	yes	—
262	C₃×C₄	—	2	2	no	—
263	C₃×C₄	—	2	2	no	—
264	C₃×C₄	—	2	2	no	—
265	C₃×C₄	#391	1	4	yes	—
266	C₃×C₄	#408	1	4	yes	—
267	C₃×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
268	C₃×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
269	C₃×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
270	Dic₃	—	4	4	no	—
271	Dic₃	—	4	4	no	—
272	C₂³	—	2	2	no	—
273	C₂³	—	2	2	no	—
274	C₂³	C₄×Dic₆	1	4	yes	—
275	C₂³	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	1	2	yes	—
276	C₂³	C₂²×C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
277	Q₈	—	12	8	no	—
278	Q₈	—	12	8	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	8	no	—
283	C₂×C₄	—	4	4	no	—
284	C₂×C₄	—	6	8	no	—
285	C₂×C₄	—	6	8	no	—
286	C₂×C₄	—	6	4	no	—
287	C₂×C₄	—	6	4	no	—
288	C₂×C₄	C₄×Dic₆	1	4	yes	—
289	C₂×C₄	#869	1	4	yes	—
290	C₂×C₄	#875	1	4	yes	—
291	C₂×C₄	#907	1	4	yes	—
292	C₂×C₄	#924	1	8	yes	—
293	C₂×C₄	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	C₂²×Dic₆	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	C₂²×D₁₂	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	C₂×#235	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	C₂²×#67	1	1	yes	characteristic
302	C₈	—	2	8	no	—
303	C₈	—	12	4	no	—
304	C₂×C₃	—	2	4	no	—
305	C₂×C₃	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₃	C₂×#408	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₃	#2879	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₃	#2962	1	4	yes	—
309	C₂²	—	2	2	no	—
310	C₂²	—	2	2	no	—
311	C₂²	—	2	8	no	—
312	C₂²	#4929	1	4	yes	—
313	C₂²	C₂×C₄×Dic₆	1	2	yes	—
314	C₂²	C₂×#907	1	2	yes	—
315	C₂²	#5745	1	2	yes	—
316	C₂²	C₂²×(C₂×D₃)⋊C₄	1	1	yes	characteristic
317	C₄	—	2	2	no	—
318	C₄	—	2	2	no	—
319	C₄	—	2	2	no	—
320	C₄	—	12	4	no	—
321	C₄	—	12	4	no	—
322	C₄	#4929	1	4	yes	—
323	C₄	#5129	1	4	yes	—
324	C₄	C₂×#869	1	1	yes	characteristic
325	C₄	C₂×#875	1	1	yes	characteristic
326	C₄	C₂×#924	1	2	yes	—
327	C₃	#21302	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
328	C₂	—	2	4	no	—
329	C₂	#78508	1	4	yes	—
330	C₂	C₂×#4929	1	1	yes	characteristic
331	C₂	C₂×#5129	1	1	yes	characteristic
332	C₂	#83762	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₃
commutator, socle	C₂³×C₃	C₂³×C₄
Fitting	C₂×C₃×C₄×M₁₆	C₂
prime radical	C₂⁴×C₃	C₂²×C₄
cosocle	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴
hypercenter	C₂×C₄×M₁₆	D₃
hypocenter	C₃	#21302
LCS	G ▷ C₂³×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄×M₁₆

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #69838	C₂	semidirect
6. #69788	C₂	semidirect
41. C₂×C₃×M₁₆	Q₈	semidirect
145. C₂×M₁₆	Dic₆	semidirect
327. C₃	#21302	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#5470	2
C₂×C₃×C₄×M₁₆	2
C₂²×C₄⋊(C₃⋊C₈)	2
#71980	2
#69838	2
#69788	2
#21302	3