Subgroups — #10799650

Order 768.

1170 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 334 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₃×#533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×C₄⋊(C₃⋊C₈)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×C₄×#208	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#71635	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#71634	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#71579	C₂	1	4	yes	maximal
7	#21302	—	3	1	no	maximal, Sylow
8	C₃×#533	—	2	4	no	—
9	C₃×#533	—	2	4	no	—
10	C₂×C₃×C₄⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₃×C₄⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₃×#125	C₄	1	2	yes	—
13	C₂×C₃×C₂²⋊Q₈	C₄	1	2	yes	—
14	C₂×C₃×C₂²⋊Q₈	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×C₃×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₃×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₃×#117	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₃×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×#208	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂³×C₃⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄⋊(C₃⋊C₈)	—	2	4	no	—
22	C₂×C₄⋊(C₃⋊C₈)	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄⋊(C₃⋊C₈)	C₂²	1	2	yes	—
24	C₄×#208	—	2	4	no	—
25	C₂×#803	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×C₃⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
27	#4524	C₂²	1	16	yes	—
28	C₂×#533	D₃	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×C₄⋊C₈	—	3	1	no	—
30	C₂×C₄×M₁₆	—	3	1	no	—
31	#1985	—	3	4	no	—
32	#1984	—	3	4	no	—
33	#1729	—	3	4	no	—
34	C₂²×C₃×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
35	C₂²×C₃×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
36	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₃×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
40	C₃×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
41	C₃×#125	—	2	8	no	—
42	C₃×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
43	C₃×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
44	C₃×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
45	C₃×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
46	C₃×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
47	C₃×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
48	C₃×#117	—	2	4	no	—
49	C₃×#117	—	2	4	no	—
50	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂×C₃×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₃×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	4	yes	—
60	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	4	yes	—
61	C₂×C₃×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂×C₃×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₃×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×#208	—	2	4	no	—
65	C₂×#208	—	2	4	no	—
66	C₂×#208	Q₈	1	8	yes	complemented
67	C₂²×C₃⋊C₈	—	2	4	no	—
68	C₂²×C₃⋊C₈	—	2	8	no	—
69	C₂²×C₃⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂²×C₃⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
71	C₄⋊(C₃⋊C₈)	—	2	4	no	—
72	C₄⋊(C₃⋊C₈)	—	2	4	no	—
73	#803	—	2	4	no	—
74	C₄×C₃⋊C₈	—	2	4	no	—
75	C₂²×M₁₆	—	3	2	no	—
76	C₂³×C₈	—	3	2	no	—
77	#533	—	2	4	no	—
78	#533	—	2	4	no	—
79	C₂×C₄⋊Q₈	Dic₃	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₄⋊Q₈	Dic₃	1	1	yes	characteristic
81	C₂×#125	Dic₃	1	2	yes	—
82	C₂×C₂²⋊Q₈	Dic₃	1	2	yes	—
83	C₂×C₂²⋊Q₈	Dic₃	1	2	yes	—
84	C₂×C₄×Q₈	C₂×D₃	1	2	yes	—
85	C₂×C₄×Q₈	C₂×D₃	1	2	yes	—
86	C₂×#117	C₂×D₃	1	2	yes	—
87	C₂²×C₄²	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄⋊C₈	—	3	2	no	—
89	C₂×C₄⋊C₈	—	3	2	no	—
90	C₂×C₄⋊C₈	—	6	4	no	—
91	C₄×M₁₆	—	6	4	no	—
92	C₂×#97	—	3	2	no	—
93	C₂×C₄×C₈	—	3	2	no	—
94	#336	—	3	16	no	—
95	C₂⁴×C₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
97	C₂×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
98	C₂×C₃×Q₈	—	2	8	no	—
99	C₂×C₃×Q₈	—	4	4	no	—
100	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
101	C₂²×C₃×C₄	—	4	2	no	—
102	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
103	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
104	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
105	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
106	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
112	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₂²×C₃×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
114	C₂²×C₃×C₄	#41	1	4	yes	—
115	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
116	C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
117	C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
118	C₃×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
119	C₃×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
120	C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
121	C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
122	C₃×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
123	C₃×C₄²	—	2	4	no	—
124	C₃×C₄²	—	2	4	no	—
125	C₃×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
126	C₃×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
127	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	#208	—	2	16	no	—
132	C₂×C₃⋊C₈	—	2	4	no	—
133	C₂×C₃⋊C₈	—	2	4	no	—
134	C₂×C₃⋊C₈	—	2	4	no	—
135	C₂×C₃⋊C₈	—	2	8	no	—
136	C₂×C₃⋊C₈	—	4	8	no	—
137	C₂×C₃⋊C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
138	C₂²×Q₈	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
139	C₂²×Q₈	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
140	C₂³×C₄	C₂×Dic₃	1	1	yes	characteristic
141	C₂³×C₄	C₂×Dic₃	1	1	yes	characteristic
142	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
143	C₂×M₁₆	—	3	8	no	—
144	C₂×M₁₆	—	6	4	no	—
145	C₂×M₁₆	—	6	4	no	—
146	C₂²×C₈	—	3	4	no	—
147	C₂²×C₈	—	3	4	no	—
148	C₂²×C₈	—	6	8	no	—
149	C₂²×C₈	—	6	4	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
152	#125	—	2	8	no	—
153	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
154	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
155	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
156	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
157	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
158	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
159	#117	—	2	4	no	—
160	#117	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
162	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
163	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
164	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
165	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
166	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂×Dic₃	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₄²	C₂×Dic₃	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄²	#67	1	4	yes	—
171	C₂×C₄²	#67	1	4	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂²×D₃	1	4	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄²	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
175	C₄⋊C₈	—	6	4	no	—
176	C₄⋊C₈	—	6	4	no	—
177	#97	—	6	4	no	—
178	C₄×C₈	—	6	4	no	—
179	C₂³×C₃	—	2	2	no	—
180	C₂³×C₃	—	2	2	no	—
181	C₂³×C₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
182	C₂³×C₃	C₄×Q₈	1	4	yes	—
183	C₂³×C₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
184	C₃×Q₈	—	4	8	no	—
185	C₃×Q₈	—	4	8	no	—
186	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
190	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
193	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
194	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
195	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
196	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
197	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
198	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
199	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
200	C₂×C₃×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
201	C₂×C₃×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
202	C₂×C₃×C₄	#124	1	4	yes	—
203	C₂×C₃×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
204	C₂×C₃×C₄	#131	1	4	yes	—
205	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₃×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
208	C₂×C₃×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
209	C₃⋊C₈	—	2	8	no	—
210	C₃⋊C₈	—	4	4	no	—
211	C₂⁴	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
212	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
218	C₂²×C₄	#217	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	#217	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	D₃×Q₈	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	#239	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	4	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
232	M₁₆	—	6	16	no	—
233	C₂×C₈	—	3	8	no	—
234	C₂×C₈	—	6	4	no	—
235	C₂×C₈	—	6	4	no	—
236	C₂×C₈	—	6	8	no	—
237	C₂×C₈	—	6	4	no	—
238	C₂×C₈	—	12	8	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
246	C₄²	—	2	4	no	—
247	C₄²	—	2	4	no	—
248	C₄²	#217	1	4	yes	—
249	C₄²	#217	1	4	yes	—
250	C₄²	C₂×#67	1	2	yes	—
251	C₄²	C₂×#67	1	2	yes	—
252	C₄²	C₂×#67	1	2	yes	—
253	C₄²	C₂×#67	1	2	yes	—
254	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
255	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
256	C₂²×C₃	—	2	8	no	—
257	C₂²×C₃	#391	1	4	yes	—
258	C₂²×C₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₃	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
260	C₂²×C₃	C₂×#131	1	2	yes	—
261	C₂²×C₃	#568	1	2	yes	—
262	C₃×C₄	—	2	2	no	—
263	C₃×C₄	—	2	2	no	—
264	C₃×C₄	—	2	2	no	—
265	C₃×C₄	—	4	4	no	—
266	C₃×C₄	—	4	4	no	—
267	C₃×C₄	#391	1	4	yes	—
268	C₃×C₄	#408	1	4	yes	—
269	C₃×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
270	C₃×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
271	C₃×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
272	C₂³	—	2	2	no	—
273	C₂³	—	2	2	no	—
274	C₂³	Q₈×Dic₃	1	4	yes	—
275	C₂³	C₂×#217	1	2	yes	—
276	C₂³	C₂³×Dic₃	1	1	yes	characteristic
277	Q₈	—	4	8	no	—
278	Q₈	—	4	8	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	8	no	—
283	C₂×C₄	—	2	8	no	—
284	C₂×C₄	—	2	8	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	4	4	no	—
288	C₂×C₄	#944	1	4	yes	—
289	C₂×C₄	Q₈×Dic₃	1	4	yes	—
290	C₂×C₄	#946	1	8	yes	—
291	C₂×C₄	#947	1	4	yes	—
292	C₂×C₄	#948	1	4	yes	—
293	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	C₂×D₃×Q₈	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	C₂×#239	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₂²×#67	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	C₂²×#67	1	1	yes	characteristic
302	C₈	—	6	8	no	—
303	C₈	—	12	4	no	—
304	C₂×C₃	—	2	4	no	—
305	C₂×C₃	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₃	C₂×#408	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₃	#2879	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₃	#2962	1	4	yes	—
309	C₂²	—	2	2	no	—
310	C₂²	—	2	2	no	—
311	C₂²	—	2	8	no	—
312	C₂²	#5229	1	4	yes	—
313	C₂²	C₂×Q₈×Dic₃	1	2	yes	—
314	C₂²	C₂×#948	1	2	yes	—
315	C₂²	#5819	1	2	yes	—
316	C₂²	C₂²×#217	1	1	yes	characteristic
317	C₄	—	2	2	no	—
318	C₄	—	2	2	no	—
319	C₄	—	2	2	no	—
320	C₄	—	4	4	no	—
321	C₄	—	4	4	no	—
322	C₄	#5229	1	4	yes	—
323	C₄	#5234	1	4	yes	—
324	C₄	C₂×#944	1	1	yes	characteristic
325	C₄	C₂×#946	1	2	yes	—
326	C₄	C₂×#947	1	1	yes	characteristic
327	C₃	#21302	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
328	C₂	—	2	4	no	—
329	C₂	#83330	1	4	yes	—
330	C₂	C₂×#5229	1	1	yes	characteristic
331	C₂	C₂×#5234	1	1	yes	characteristic
332	C₂	#84074	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₃
commutator, socle	C₂³×C₃	C₂³×C₄
Fitting	C₂×C₃×#533	C₂
prime radical	C₂⁴×C₃	C₂²×C₄
cosocle	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴
hypercenter	C₂×#533	D₃
hypocenter	C₃	#21302
LCS	G ▷ C₂³×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×#533

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #71635	C₂	semidirect
5. #71634	C₂	semidirect
66. C₂×#208	Q₈	semidirect
327. C₃	#21302	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₃×#533	2
C₂²×C₄⋊(C₃⋊C₈)	2
C₂×C₄×#208	2
#71635	2
#71634	2
#71579	2
#21302	3