Subgroups — #10799655

Order 768.

1386 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 350 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₄×Dic₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₃×C₄×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#4924	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#71979	C₂	1	4	yes	maximal
5	#69838	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#69788	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#21303	—	3	1	no	maximal, Sylow
8	C₂³×Dic₆	C₄	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×C₃×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×C₃×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄⋊Dic₃	C₄	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×Dic₃⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
13	C₂²×C₄×Dic₃	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#208	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×Dic₆	—	2	4	no	—
16	C₂×C₄×Dic₆	—	2	4	no	—
17	C₂×C₄×Dic₆	C₄	1	2	yes	—
18	C₂×C₄×Dic₆	C₄	1	2	yes	—
19	C₂×C₄×Dic₆	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×Dic₆	C₂²	1	2	yes	—
21	C₃×C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
22	C₂×C₃×#97	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₃×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
24	#4924	—	2	4	no	—
25	C₂×C₄⋊(C₃⋊C₈)	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄⋊(C₃⋊C₈)	C₂²	1	2	yes	—
27	#4550	C₂²	1	16	yes	—
28	C₂²×C₄×Q₈	—	3	1	no	—
29	C₂×#423	—	3	1	no	—
30	C₂×C₄×M₁₆	D₃	1	1	yes	characteristic
31	#1985	—	3	4	no	—
32	#1984	—	3	4	no	—
33	#1728	—	3	4	no	—
34	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×Dic₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂³×Dic₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂²×Dic₆	—	2	4	no	—
40	C₂²×Dic₆	—	2	8	no	—
41	C₂²×Dic₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂²×Dic₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂×C₃×M₁₆	—	2	4	no	—
44	C₂×C₃×M₁₆	—	2	4	no	—
45	C₂×C₃×M₁₆	Q₈	1	8	yes	complemented
46	C₂²×C₃×C₈	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂×C₃×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂×C₃×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	4	yes	—
50	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	4	yes	—
51	C₂×C₃×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₃×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄⋊Dic₃	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄⋊Dic₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×C₄⋊Dic₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×Dic₃⋊C₄	—	2	8	no	—
57	C₂×Dic₃⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂×Dic₃⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	C₂×C₄×Dic₃	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄×Dic₃	—	2	4	no	—
61	C₂×C₄×Dic₃	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	C₂×C₄×Dic₃	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂×#208	—	2	4	no	—
64	C₂×#208	—	2	8	no	—
65	C₂²×C₃⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
66	C₄×Dic₆	—	2	8	no	—
67	C₄×Dic₆	—	2	8	no	—
68	C₄×Dic₆	—	2	4	no	—
69	C₄×Dic₆	—	2	4	no	—
70	C₄×Dic₆	—	2	4	no	—
71	C₄×Dic₆	—	2	4	no	—
72	C₃×#97	—	2	4	no	—
73	C₃×C₄×C₈	—	2	4	no	—
74	C₄⋊(C₃⋊C₈)	—	2	4	no	—
75	C₄⋊(C₃⋊C₈)	—	2	4	no	—
76	C₂³×Q₈	—	3	1	no	—
77	C₂²×M₁₆	—	3	2	no	—
78	C₂²×M₁₆	C₂×D₃	1	2	yes	—
79	C₂×C₄×Q₈	—	3	2	no	—
80	C₂×C₄×Q₈	—	3	2	no	—
81	C₂×C₄×Q₈	—	3	2	no	—
82	C₂×C₄×Q₈	—	3	2	no	—
83	C₂×C₄×Q₈	—	6	4	no	—
84	C₂×C₄×Q₈	—	6	4	no	—
85	C₂²×C₄⋊C₄	—	3	2	no	—
86	C₂²×C₄⋊C₄	—	3	1	no	—
87	C₂²×C₄²	—	3	2	no	—
88	C₂²×C₄²	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
89	#423	—	6	4	no	—
90	C₂×C₄⋊C₈	—	3	2	no	—
91	C₂×C₄⋊C₈	—	3	2	no	—
92	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
93	C₂×#97	C₂×D₃	1	2	yes	—
94	C₂×C₄×C₈	C₂×D₃	1	2	yes	—
95	#336	—	3	16	no	—
96	C₂⁴×C₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
98	C₂²×C₃×C₄	—	4	2	no	—
99	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
100	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
101	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
107	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₂²×C₃×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
109	C₂²×C₃×C₄	#41	1	4	yes	—
110	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
112	C₂²×Dic₃	—	2	8	no	—
113	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
114	C₂²×Dic₃	—	4	4	no	—
115	C₂²×Dic₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
116	C₂²×Dic₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
117	C₂×Dic₆	—	2	32	no	—
118	C₂×Dic₆	—	2	4	no	—
119	C₂×Dic₆	—	2	4	no	—
120	C₂×Dic₆	—	2	4	no	—
121	C₂×Dic₆	—	2	8	no	—
122	C₂×Dic₆	M₁₆	1	8	yes	complemented
123	C₃×M₁₆	—	2	16	no	—
124	C₂×C₃×C₈	—	2	4	no	—
125	C₂×C₃×C₈	—	2	4	no	—
126	C₂×C₃×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	complemented
127	C₃×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
128	C₃×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
129	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₄⋊Dic₃	—	2	4	no	—
134	C₄⋊Dic₃	—	2	4	no	—
135	Dic₃⋊C₄	—	2	8	no	—
136	Dic₃⋊C₄	—	2	8	no	—
137	C₄×Dic₃	—	2	8	no	—
138	C₄×Dic₃	—	2	4	no	—
139	C₄×Dic₃	—	2	4	no	—
140	#208	—	4	8	no	—
141	C₂×C₃⋊C₈	—	2	4	no	—
142	C₂×C₃⋊C₈	—	2	8	no	—
143	C₂²×Q₈	—	3	2	no	—
144	C₂²×Q₈	—	3	2	no	—
145	C₂²×Q₈	—	6	8	no	—
146	C₂²×Q₈	—	6	4	no	—
147	C₂³×C₄	—	3	2	no	—
148	C₂³×C₄	—	3	2	no	—
149	C₂³×C₄	C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
150	C₂³×C₄	C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
151	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
152	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
153	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
154	C₂×M₁₆	—	6	4	no	—
155	C₂×M₁₆	—	6	8	no	—
156	C₂×M₁₆	Dic₆	1	8	yes	complemented
157	C₂²×C₈	—	3	4	no	—
158	C₂²×C₈	C₂²×D₃	1	4	yes	—
159	C₄×Q₈	—	6	8	no	—
160	C₄×Q₈	—	6	8	no	—
161	C₄×Q₈	—	6	4	no	—
162	C₄×Q₈	—	6	4	no	—
163	C₄×Q₈	—	6	4	no	—
164	C₄×Q₈	—	6	4	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	3	4	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	3	4	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	3	2	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	3	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	6	8	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
171	C₂×C₄²	—	3	4	no	—
172	C₂×C₄²	—	3	4	no	—
173	C₂×C₄²	—	6	4	no	—
174	C₂×C₄²	—	6	4	no	—
175	C₂×C₄²	C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄²	C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	D₁₂	1	4	yes	—
178	C₂×C₄²	#67	1	4	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄²	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
181	C₄⋊C₈	—	6	4	no	—
182	C₄⋊C₈	—	6	4	no	—
183	#97	—	2	4	no	—
184	C₄×C₈	—	2	4	no	—
185	C₂³×C₃	—	2	2	no	—
186	C₂³×C₃	—	2	2	no	—
187	C₂³×C₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
188	C₂³×C₃	C₄×Q₈	1	4	yes	—
189	C₂³×C₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
194	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
195	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
196	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
197	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
198	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
199	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
200	C₂×C₃×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
201	C₂×C₃×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
202	C₂×C₃×C₄	#124	1	4	yes	—
203	C₂×C₃×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
204	C₂×C₃×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
205	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₃×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
208	C₂×C₃×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
209	C₂×Dic₃	—	2	16	no	—
210	C₂×Dic₃	—	2	4	no	—
211	C₂×Dic₃	—	2	4	no	—
212	C₂×Dic₃	—	2	4	no	—
213	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
214	C₂×Dic₃	—	4	8	no	—
215	C₂×Dic₃	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
216	Dic₆	—	2	16	no	—
217	Dic₆	—	2	16	no	—
218	C₃×C₈	—	2	8	no	—
219	C₃⋊C₈	—	4	4	no	—
220	C₂⁴	C₂×C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
221	C₂×Q₈	—	3	8	no	—
222	C₂×Q₈	—	6	8	no	—
223	C₂×Q₈	—	6	32	no	—
224	C₂×Q₈	—	6	4	no	—
225	C₂×Q₈	—	6	4	no	—
226	C₂×Q₈	—	6	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	3	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	3	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	6	8	no	—
232	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	12	4	no	—
235	C₂²×C₄	(C₂×D₃)⋊C₄	1	4	yes	—
236	C₂²×C₄	(C₂×D₃)⋊C₄	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂×Dic₆	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂×D₁₂	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	#235	1	4	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
247	M₁₆	—	2	16	no	—
248	M₁₆	—	12	8	no	—
249	C₂×C₈	—	2	4	no	—
250	C₂×C₈	—	2	4	no	—
251	C₂×C₈	—	6	4	no	—
252	C₂×C₈	—	6	8	no	—
253	C₂×C₈	C₂×Dic₆	1	8	yes	complemented
254	C₄⋊C₄	—	6	8	no	—
255	C₄⋊C₄	—	6	8	no	—
256	C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
258	C₄²	—	6	8	no	—
259	C₄²	—	6	4	no	—
260	C₄²	—	6	4	no	—
261	C₄²	(C₂×D₃)⋊C₄	1	4	yes	—
262	C₄²	(C₂×D₃)⋊C₄	1	4	yes	—
263	C₄²	C₂×D₁₂	1	2	yes	—
264	C₄²	C₂×D₁₂	1	2	yes	—
265	C₄²	C₂×#67	1	2	yes	—
266	C₄²	C₂×#67	1	2	yes	—
267	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
268	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
269	C₂²×C₃	—	2	8	no	—
270	C₂²×C₃	#391	1	4	yes	—
271	C₂²×C₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
272	C₂²×C₃	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
273	C₂²×C₃	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
274	C₂²×C₃	#568	1	2	yes	—
275	C₃×C₄	—	2	2	no	—
276	C₃×C₄	—	2	2	no	—
277	C₃×C₄	—	2	2	no	—
278	C₃×C₄	#391	1	4	yes	—
279	C₃×C₄	#407	1	4	yes	—
280	C₃×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
281	C₃×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
282	C₃×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
283	Dic₃	—	2	8	no	—
284	Dic₃	—	4	4	no	—
285	C₂³	—	2	2	no	—
286	C₂³	—	2	2	no	—
287	C₂³	C₄×Dic₆	1	4	yes	—
288	C₂³	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	1	2	yes	—
289	C₂³	C₂²×C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
290	Q₈	—	6	16	no	—
291	Q₈	—	6	16	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	8	no	—
296	C₂×C₄	—	3	8	no	—
297	C₂×C₄	—	4	4	no	—
298	C₂×C₄	—	6	16	no	—
299	C₂×C₄	—	6	4	no	—
300	C₂×C₄	—	6	4	no	—
301	C₂×C₄	—	6	8	no	—
302	C₂×C₄	—	6	4	no	—
303	C₂×C₄	—	12	8	no	—
304	C₂×C₄	C₄×Dic₆	1	4	yes	—
305	C₂×C₄	#869	1	4	yes	—
306	C₂×C₄	#875	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	D₃×M₁₆	1	4	yes	—
308	C₂×C₄	#924	1	8	yes	—
309	C₂×C₄	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	C₂²×Dic₆	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	C₂²×D₁₂	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂×#235	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₂²×#67	1	1	yes	characteristic
318	C₈	—	2	8	no	—
319	C₈	—	12	4	no	—
320	C₂×C₃	—	2	4	no	—
321	C₂×C₃	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₃	C₂×#407	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₃	#2879	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₃	Q₈×M₁₆	1	4	yes	—
325	C₂²	—	2	2	no	—
326	C₂²	—	2	2	no	—
327	C₂²	—	2	8	no	—
328	C₂²	#4929	1	4	yes	—
329	C₂²	C₂×C₄×Dic₆	1	2	yes	—
330	C₂²	C₂×D₃×M₁₆	1	2	yes	—
331	C₂²	#5745	1	2	yes	—
332	C₂²	C₂²×(C₂×D₃)⋊C₄	1	1	yes	characteristic
333	C₄	—	2	2	no	—
334	C₄	—	2	2	no	—
335	C₄	—	2	2	no	—
336	C₄	—	6	8	no	—
337	C₄	—	12	4	no	—
338	C₄	#4929	1	4	yes	—
339	C₄	#5126	1	4	yes	—
340	C₄	C₂×#869	1	1	yes	characteristic
341	C₄	C₂×#875	1	1	yes	characteristic
342	C₄	C₂×#924	1	2	yes	—
343	C₃	#21303	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
344	C₂	—	2	4	no	—
345	C₂	M₁₆×Dic₆	1	4	yes	—
346	C₂	C₂×#4929	1	1	yes	characteristic
347	C₂	C₂×#5126	1	1	yes	characteristic
348	C₂	#83762	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₃
commutator, socle	C₂³×C₃	C₂³×C₄
Fitting	C₂×C₃×C₄×M₁₆	C₂
prime radical	C₂⁴×C₃	C₂²×C₄
cosocle	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴
hypercenter	C₂×C₄×M₁₆	D₃
hypocenter	C₃	#21303
LCS	G ▷ C₂³×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄×M₁₆

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #69838	C₂	semidirect
6. #69788	C₂	semidirect
45. C₂×C₃×M₁₆	Q₈	semidirect
122. C₂×Dic₆	M₁₆	semidirect
126. C₂×C₃×C₈	C₂×Q₈	semidirect
156. C₂×M₁₆	Dic₆	semidirect
253. C₂×C₈	C₂×Dic₆	semidirect
343. C₃	#21303	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₄×Dic₆	2
C₂×C₃×C₄×M₁₆	2
C₂×#4924	2
#71979	2
#69838	2
#69788	2
#21303	3