Subgroups — #10799656

Order 768.

1386 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 350 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₃×C₄×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#4924	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×C₄×#208	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#71635	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#71634	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#71527	C₂	1	4	yes	maximal
7	#21303	—	3	1	no	maximal, Sylow
8	C₂³×C₃×Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
9	C₂×C₃×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
10	C₂×C₃×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
11	C₂×C₃×C₄×Q₈	C₄	1	2	yes	—
12	C₂×C₃×C₄×Q₈	C₄	1	2	yes	—
13	C₂×C₃×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₃×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₃×C₄⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
16	C₂²×C₃×C₄⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₃×C₄²	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₃×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×#208	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×#208	C₂²	1	2	yes	—
21	#4924	—	2	4	no	—
22	C₂×C₄⋊(C₃⋊C₈)	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄⋊(C₃⋊C₈)	C₂²	1	2	yes	—
24	C₄×#208	—	2	4	no	—
25	C₂×#803	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄×C₃⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
27	#4524	C₂²	1	16	yes	—
28	C₂²×C₄×Q₈	D₃	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#423	—	3	1	no	—
30	C₂×C₄×M₁₆	—	3	1	no	—
31	#1985	—	3	4	no	—
32	#1984	—	3	4	no	—
33	#1728	—	3	4	no	—
34	C₂²×C₃×Q₈	—	2	8	no	—
35	C₂²×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
36	C₂²×C₃×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂²×C₃×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₃×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
44	C₃×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
45	C₃×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
46	C₃×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
47	C₃×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
48	C₃×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
49	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
50	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
51	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
52	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
54	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
55	C₂×C₃×C₄²	—	2	4	no	—
56	C₂×C₃×C₄²	—	2	4	no	—
57	C₂×C₃×C₄²	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂×C₃×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₃×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	4	yes	—
61	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	4	yes	—
62	C₂×C₃×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂×C₃×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₃×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂×#208	—	2	4	no	—
66	C₂×#208	—	2	4	no	—
67	C₂×#208	—	2	4	no	—
68	C₂×#208	—	2	8	no	—
69	C₂×#208	Q₈	1	8	yes	complemented
70	C₂²×C₃⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂²×C₃⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
72	C₄⋊(C₃⋊C₈)	—	2	4	no	—
73	C₄⋊(C₃⋊C₈)	—	2	4	no	—
74	#803	—	2	4	no	—
75	C₄×C₃⋊C₈	—	2	4	no	—
76	C₂³×Q₈	Dic₃	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×M₁₆	—	3	2	no	—
78	C₂²×M₁₆	—	3	2	no	—
79	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
80	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
81	C₂×C₄×Q₈	Dic₃	1	2	yes	—
82	C₂×C₄×Q₈	Dic₃	1	2	yes	—
83	C₂×C₄×Q₈	C₂×D₃	1	2	yes	—
84	C₂×C₄×Q₈	C₂×D₃	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄⋊C₄	Dic₃	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄⋊C₄	Dic₃	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×C₄²	C₂×D₃	1	2	yes	—
88	C₂²×C₄²	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
89	#423	—	6	4	no	—
90	C₂×C₄⋊C₈	—	3	2	no	—
91	C₂×C₄⋊C₈	—	3	2	no	—
92	C₄×M₁₆	—	6	4	no	—
93	C₂×#97	—	3	2	no	—
94	C₂×C₄×C₈	—	3	2	no	—
95	#336	—	3	16	no	—
96	C₂⁴×C₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₃×Q₈	—	2	32	no	—
98	C₂×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
99	C₂×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
100	C₂×C₃×Q₈	—	2	8	no	—
101	C₂×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
102	C₂×C₃×Q₈	M₁₆	1	8	yes	complemented
103	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
104	C₂²×C₃×C₄	—	2	8	no	—
105	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
106	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
107	C₂²×C₃×C₄	—	4	2	no	—
108	C₂²×C₃×C₄	—	4	4	no	—
109	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
110	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
111	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
112	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
116	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₂²×C₃×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
121	C₂²×C₃×C₄	#41	1	4	yes	—
122	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
123	C₃×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
124	C₃×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
125	C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
127	C₃×C₄²	—	2	8	no	—
128	C₃×C₄²	—	2	4	no	—
129	C₃×C₄²	—	2	4	no	—
130	C₃×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
131	C₃×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
132	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	#208	—	2	16	no	—
137	#208	—	4	8	no	—
138	C₂×C₃⋊C₈	—	2	4	no	—
139	C₂×C₃⋊C₈	—	2	4	no	—
140	C₂×C₃⋊C₈	—	2	4	no	—
141	C₂×C₃⋊C₈	—	2	8	no	—
142	C₂×C₃⋊C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	complemented
143	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
144	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
145	C₂²×Q₈	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
146	C₂²×Q₈	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
147	C₂³×C₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
148	C₂³×C₄	C₂×Dic₃	1	1	yes	characteristic
149	C₂³×C₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
150	C₂³×C₄	C₂×Dic₃	1	1	yes	characteristic
151	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
152	C₂×M₁₆	—	3	8	no	—
153	C₂×M₁₆	—	6	4	no	—
154	C₂×M₁₆	—	6	4	no	—
155	C₂×M₁₆	—	6	8	no	—
156	C₂×M₁₆	—	6	4	no	—
157	C₂²×C₈	—	3	4	no	—
158	C₂²×C₈	—	3	4	no	—
159	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
160	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
161	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
162	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
163	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
164	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
170	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
171	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
173	C₂×C₄²	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂×Dic₃	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₄²	C₂×Dic₃	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄²	#67	1	4	yes	—
177	C₂×C₄²	#67	1	4	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂²×D₃	1	4	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄²	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
181	C₄⋊C₈	—	6	4	no	—
182	C₄⋊C₈	—	6	4	no	—
183	#97	—	6	4	no	—
184	C₄×C₈	—	6	4	no	—
185	C₂³×C₃	—	2	2	no	—
186	C₂³×C₃	—	2	2	no	—
187	C₂³×C₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
188	C₂³×C₃	C₄×Q₈	1	4	yes	—
189	C₂³×C₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
190	C₃×Q₈	—	2	16	no	—
191	C₃×Q₈	—	2	16	no	—
192	C₂×C₃×C₄	—	2	16	no	—
193	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
199	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
201	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
202	C₂×C₃×C₄	—	4	8	no	—
203	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
204	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
205	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
206	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
207	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
208	C₂×C₃×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
209	C₂×C₃×C₄	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
210	C₂×C₃×C₄	#124	1	4	yes	—
211	C₂×C₃×C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
212	C₂×C₃×C₄	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
213	C₂×C₃×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
214	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂×C₃×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
217	C₂×C₃×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
218	C₃⋊C₈	—	2	8	no	—
219	C₃⋊C₈	—	4	4	no	—
220	C₂⁴	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
221	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
225	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
226	C₂×Q₈	#208	1	8	yes	complemented
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
233	C₂²×C₄	#217	1	4	yes	—
234	C₂²×C₄	#217	1	4	yes	—
235	C₂²×C₄	D₃×Q₈	1	4	yes	—
236	C₂²×C₄	#239	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	4	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
247	M₁₆	—	6	16	no	—
248	M₁₆	—	12	8	no	—
249	C₂×C₈	—	3	8	no	—
250	C₂×C₈	—	6	4	no	—
251	C₂×C₈	—	6	4	no	—
252	C₂×C₈	—	6	8	no	—
253	C₂×C₈	—	6	4	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
258	C₄²	—	2	8	no	—
259	C₄²	—	2	4	no	—
260	C₄²	—	2	4	no	—
261	C₄²	#217	1	4	yes	—
262	C₄²	#217	1	4	yes	—
263	C₄²	C₂×#67	1	2	yes	—
264	C₄²	C₂×#67	1	2	yes	—
265	C₄²	C₂×#67	1	2	yes	—
266	C₄²	C₂×#67	1	2	yes	—
267	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
268	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
269	C₂²×C₃	—	2	8	no	—
270	C₂²×C₃	#391	1	4	yes	—
271	C₂²×C₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
272	C₂²×C₃	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
273	C₂²×C₃	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
274	C₂²×C₃	#568	1	2	yes	—
275	C₃×C₄	—	2	2	no	—
276	C₃×C₄	—	2	8	no	—
277	C₃×C₄	—	2	2	no	—
278	C₃×C₄	—	2	2	no	—
279	C₃×C₄	—	4	4	no	—
280	C₃×C₄	#391	1	4	yes	—
281	C₃×C₄	#407	1	4	yes	—
282	C₃×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
283	C₃×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
284	C₃×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
285	C₂³	—	2	2	no	—
286	C₂³	—	2	2	no	—
287	C₂³	Q₈×Dic₃	1	4	yes	—
288	C₂³	C₂×#217	1	2	yes	—
289	C₂³	C₂³×Dic₃	1	1	yes	characteristic
290	Q₈	—	2	16	no	—
291	Q₈	—	2	16	no	—
292	C₂×C₄	—	2	16	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	8	no	—
299	C₂×C₄	—	2	8	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	4	4	no	—
302	C₂×C₄	—	4	8	no	—
303	C₂×C₄	C₂×#208	1	8	yes	—
304	C₂×C₄	C₂×#208	1	4	yes	—
305	C₂×C₄	#944	1	4	yes	—
306	C₂×C₄	Q₈×Dic₃	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	#946	1	8	yes	—
308	C₂×C₄	#947	1	4	yes	—
309	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×D₃×Q₈	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×#239	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	C₂²×#67	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	C₂²×#67	1	1	yes	characteristic
318	C₈	—	6	8	no	—
319	C₈	—	12	4	no	—
320	C₂×C₃	—	2	4	no	—
321	C₂×C₃	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₃	C₂×#407	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₃	#2879	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₃	Q₈×M₁₆	1	4	yes	—
325	C₂²	—	2	8	no	—
326	C₂²	—	2	2	no	—
327	C₂²	—	2	2	no	—
328	C₂²	#5229	1	4	yes	—
329	C₂²	C₂²×#208	1	2	yes	—
330	C₂²	C₂×Q₈×Dic₃	1	2	yes	—
331	C₂²	#5819	1	2	yes	—
332	C₂²	C₂²×#217	1	1	yes	characteristic
333	C₄	—	2	8	no	—
334	C₄	—	2	2	no	—
335	C₄	—	2	2	no	—
336	C₄	—	2	2	no	—
337	C₄	—	4	4	no	—
338	C₄	#5207	1	4	yes	—
339	C₄	#5229	1	4	yes	—
340	C₄	C₂×#944	1	1	yes	characteristic
341	C₄	C₂×#946	1	2	yes	—
342	C₄	C₂×#947	1	1	yes	characteristic
343	C₃	#21303	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
344	C₂	—	2	4	no	—
345	C₂	Q₈×#208	1	4	yes	—
346	C₂	C₂×#5207	1	1	yes	characteristic
347	C₂	C₂×#5229	1	1	yes	characteristic
348	C₂	#84074	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₃
commutator, socle	C₂³×C₃	C₂³×C₄
Fitting	C₂²×C₃×C₄×Q₈	C₂
prime radical	C₂⁴×C₃	C₂²×C₄
cosocle	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴
hypercenter	C₂²×C₄×Q₈	D₃
hypocenter	C₃	#21303
LCS	G ▷ C₂³×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄×Q₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #71635	C₂	semidirect
5. #71634	C₂	semidirect
69. C₂×#208	Q₈	semidirect
102. C₂×C₃×Q₈	M₁₆	semidirect
142. C₂×C₃⋊C₈	C₂×Q₈	semidirect
226. C₂×Q₈	#208	semidirect
343. C₃	#21303	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₃×C₄×Q₈	2
C₂×#4924	2
C₂×C₄×#208	2
#71635	2
#71634	2
#71527	2
#21303	3