Subgroups — #10804108

Order 768.

1470 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 312 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₃×#525	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#5207	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#72136	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#71611	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#71584	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#21743	—	3	1	no	maximal, Sylow
7	C₂²×C₃×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂⁴×C₃×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₃×#525	—	2	8	no	—
10	C₂×C₃×#123	C₄	1	2	yes	—
11	C₂×C₃×C₂²⋊Q₈	C₄	1	2	yes	—
12	C₂×C₃×#121	C₄	1	2	yes	—
13	C₂×C₃×#120	C₄	1	2	yes	—
14	C₂×C₃×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×C₃×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×#208	C₂²	1	4	yes	—
17	#5207	—	2	8	no	—
18	C₂×#830	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#830	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#830	C₂²	1	8	yes	complemented
21	#4524	C₂²	1	8	yes	complemented
22	C₂×#525	D₃	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#407	—	3	2	no	—
24	#1870	—	3	8	no	—
25	#1818	—	3	2	no	—
26	#1780	—	3	2	no	—
27	C₂⁵×C₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₃×#41	—	2	4	no	—
29	C₂×C₃×#41	—	4	4	no	—
30	C₂²×C₃×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×C₃×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
32	C₂²×C₃×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×C₃×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
34	C₂³×C₃×C₄	—	4	4	no	—
35	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
36	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×C₃×C₄	D₄	1	8	yes	—
38	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	2	yes	—
41	C₃×#123	—	2	8	no	—
42	C₃×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
43	C₃×#121	—	2	8	no	—
44	C₃×#120	—	2	8	no	—
45	C₃×C₄×D₄	—	2	8	no	—
46	C₃×C₄×D₄	—	2	8	no	—
47	C₃×#117	—	2	4	no	—
48	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
50	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
52	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
53	C₂×C₃×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×#208	—	2	8	no	—
55	C₂×#208	—	4	8	no	—
56	C₂²×C₃⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
57	#830	—	2	8	no	—
58	#830	—	2	8	no	—
59	#830	—	4	8	no	—
60	C₂²×#41	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
61	C₂⁴×C₄	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×M₁₆	—	3	4	no	—
63	#525	—	2	8	no	—
64	C₂×#123	Dic₃	1	2	yes	—
65	C₂×C₂²⋊Q₈	Dic₃	1	2	yes	—
66	C₂×#121	Dic₃	1	2	yes	—
67	C₂×#120	Dic₃	1	2	yes	—
68	C₂×C₄×D₄	C₂×D₃	1	4	yes	—
69	C₂×#117	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
70	#407	—	6	8	no	—
71	C₂×C₂²⋊C₈	—	3	4	no	—
72	C₂×C₂²⋊C₈	—	3	4	no	—
73	C₂×C₂²⋊C₈	—	3	8	no	—
74	#336	—	3	8	no	—
75	C₂⁴×C₃	—	4	4	no	—
76	C₂⁴×C₃	—	4	2	no	—
77	C₂⁴×C₃	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
78	C₂⁴×C₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
79	C₂⁴×C₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂⁴×C₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
81	C₃×#41	—	4	16	no	—
82	C₂×C₃×Q₈	—	2	2	no	—
83	C₂×C₃×Q₈	—	4	2	no	—
84	C₂×C₃×D₄	—	2	8	no	—
85	C₂×C₃×D₄	—	2	4	no	—
86	C₂×C₃×D₄	—	2	2	no	—
87	C₂×C₃×D₄	—	4	8	no	—
88	C₂×C₃×D₄	—	4	2	no	—
89	C₂×C₃×D₄	—	4	4	no	—
90	C₂²×C₃×C₄	—	2	8	no	—
91	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
92	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
93	C₂²×C₃×C₄	—	2	8	no	—
94	C₂²×C₃×C₄	—	4	16	no	—
95	C₂²×C₃×C₄	—	4	2	no	—
96	C₂²×C₃×C₄	—	4	4	no	—
97	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
98	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
99	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
100	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
101	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
102	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
104	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
105	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
106	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
107	C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
108	C₃×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
109	C₃×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
110	C₃×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
111	C₃×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
112	C₃×C₄²	—	2	4	no	—
113	#208	—	4	16	no	—
114	C₂×C₃⋊C₈	—	2	8	no	—
115	C₂×C₃⋊C₈	—	2	16	no	—
116	C₂⁵	C₂×Dic₃	1	1	yes	characteristic
117	C₂×#41	—	2	4	no	—
118	C₂×#41	—	4	4	no	—
119	C₂²×Q₈	C₂×Dic₃	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×D₄	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
121	C₂²×D₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
122	C₂²×D₄	C₂×Dic₃	1	1	yes	characteristic
123	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
124	C₂³×C₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂×Dic₃	1	1	yes	characteristic
126	C₂³×C₄	#67	1	8	yes	—
127	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	2	yes	—
128	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
129	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	2	yes	—
130	C₂×M₁₆	—	6	8	no	—
131	C₂×M₁₆	—	12	8	no	—
132	C₂²×C₈	—	3	8	no	—
133	#123	—	2	8	no	—
134	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
135	#121	—	2	8	no	—
136	#120	—	2	8	no	—
137	C₄×D₄	—	2	8	no	—
138	C₄×D₄	—	2	8	no	—
139	#117	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂²×D₃	1	2	yes	—
146	C₂²⋊C₈	—	6	8	no	—
147	C₂²⋊C₈	—	6	8	no	—
148	C₂²⋊C₈	—	12	8	no	—
149	C₂³×C₃	—	2	2	no	—
150	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
151	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
152	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
153	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
154	C₂³×C₃	—	2	2	no	—
155	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
156	C₂³×C₃	—	2	8	no	—
157	C₂³×C₃	—	4	4	no	—
158	C₂³×C₃	—	4	8	no	—
159	C₂³×C₃	—	4	16	no	—
160	C₂³×C₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
161	C₂³×C₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
162	C₂³×C₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
163	C₃×Q₈	—	4	4	no	—
164	C₃×D₄	—	4	4	no	—
165	C₃×D₄	—	4	16	no	—
166	C₃×D₄	—	4	8	no	—
167	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
170	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
171	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
172	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
175	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
176	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
177	C₂×C₃×C₄	—	4	8	no	—
178	C₂×C₃×C₄	—	4	8	no	—
179	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
180	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₃×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
183	C₃⋊C₈	—	4	8	no	—
184	C₂⁴	—	4	2	no	—
185	C₂⁴	—	4	4	no	—
186	C₂⁴	#217	1	4	yes	—
187	C₂⁴	C₂²×Dic₃	1	2	yes	—
188	C₂⁴	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
189	C₂⁴	C₂²×Dic₃	1	2	yes	—
190	#41	—	4	16	no	—
191	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
192	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
193	C₂×D₄	—	2	8	no	—
194	C₂×D₄	—	2	4	no	—
195	C₂×D₄	—	2	2	no	—
196	C₂×D₄	—	4	2	no	—
197	C₂×D₄	—	4	4	no	—
198	C₂×D₄	—	4	8	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂²×C₄	#217	1	8	yes	—
207	C₂²×C₄	#217	1	4	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	4	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂×#67	1	4	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×#67	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂×#67	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
216	M₁₆	—	12	16	no	—
217	C₂×C₈	—	6	16	no	—
218	C₂×C₈	—	6	8	no	—
219	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
220	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
221	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
223	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
224	C₄²	—	2	4	no	—
225	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
226	C₂²×C₃	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₃	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₃	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₃	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₃	—	4	16	no	—
231	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
232	C₂²×C₃	—	4	8	no	—
233	C₂²×C₃	—	4	2	no	—
234	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
235	C₂²×C₃	—	4	8	no	—
236	C₂²×C₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₃	#518	1	2	yes	—
238	C₂²×C₃	#568	1	4	yes	—
239	C₃×C₄	—	2	4	no	—
240	C₃×C₄	—	2	2	no	—
241	C₃×C₄	—	4	2	no	—
242	C₃×C₄	—	4	4	no	—
243	C₃×C₄	#534	1	4	yes	—
244	C₂³	—	2	2	no	—
245	C₂³	—	2	4	no	—
246	C₂³	—	2	4	no	—
247	C₂³	—	2	4	no	—
248	C₂³	—	2	4	no	—
249	C₂³	—	2	4	no	—
250	C₂³	—	2	8	no	—
251	C₂³	—	2	2	no	—
252	C₂³	—	4	4	no	—
253	C₂³	—	4	8	no	—
254	C₂³	—	4	16	no	—
255	C₂³	C₂×#217	1	2	yes	—
256	C₂³	C₂×#217	1	4	yes	—
257	C₂³	C₂³×Dic₃	1	1	yes	characteristic
258	Q₈	—	4	4	no	—
259	D₄	—	4	4	no	—
260	D₄	—	4	8	no	—
261	D₄	—	4	16	no	—
262	C₂×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂×C₄	—	2	8	no	—
265	C₂×C₄	—	2	8	no	—
266	C₂×C₄	—	2	8	no	—
267	C₂×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂×C₄	—	2	8	no	—
269	C₂×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	4	8	no	—
272	C₂×C₄	—	4	4	no	—
273	C₂×C₄	—	4	8	no	—
274	C₂×C₄	C₂×#217	1	4	yes	—
275	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
276	C₂×C₄	#1004	1	4	yes	—
277	C₂×C₄	C₂²×#67	1	2	yes	—
278	C₈	—	12	8	no	—
279	C₂×C₃	—	4	2	no	—
280	C₂×C₃	—	4	4	no	—
281	C₂×C₃	—	8	2	no	—
282	C₂×C₃	#2308	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₃	#2879	1	2	yes	—
284	C₂×C₃	#2978	1	4	yes	—
285	C₂²	—	2	2	no	—
286	C₂²	—	2	4	no	—
287	C₂²	—	2	4	no	—
288	C₂²	—	2	4	no	—
289	C₂²	—	2	4	no	—
290	C₂²	—	4	16	no	—
291	C₂²	—	4	4	no	—
292	C₂²	—	4	8	no	—
293	C₂²	—	4	2	no	—
294	C₂²	—	4	4	no	—
295	C₂²	—	4	8	no	—
296	C₂²	#5798	1	2	yes	—
297	C₂²	#5819	1	4	yes	—
298	C₂²	C₂²×#217	1	1	yes	characteristic
299	C₄	—	2	2	no	—
300	C₄	—	2	4	no	—
301	C₄	—	4	2	no	—
302	C₄	—	4	4	no	—
303	C₄	#5804	1	4	yes	—
304	C₃	#21743	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
305	C₂	—	4	2	no	—
306	C₂	—	4	4	no	—
307	C₂	—	8	2	no	—
308	C₂	#82921	1	4	yes	—
309	C₂	#84043	1	1	yes	characteristic
310	C₂	#84074	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₃
commutator, socle	C₂³×C₃	C₂³×C₄
Fitting, prime radical	C₂×C₃×#525	C₂
cosocle	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴
hypercenter	C₂×#525	D₃
hypocenter	C₃	#21743
LCS	G ▷ C₂³×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×#525

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#5207	C₂	semidirect
3. #72136	C₂	semidirect
4. #71611	C₂	semidirect
5. #71584	C₂	semidirect
20. C₂×#830	C₂²	semidirect
21. #4524	C₂²	semidirect
304. C₃	#21743	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₃×#525	2
C₂×#5207	2
#72136	2
#71611	2
#71584	2
#21743	3