Subgroups — #10804149

Order 768.

1606 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 304 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₃×#535	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#84043	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#72139	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#71670	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#71594	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#21750	—	3	1	no	maximal, Sylow
7	C₂²×C₃×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂³×C₃×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₃×#535	—	2	8	no	—
10	C₂×C₃×#127	C₄	1	2	yes	complemented
11	C₂×C₃×#124	C₄	1	2	yes	complemented
12	C₂×C₃×#121	C₄	1	4	yes	complemented
13	C₂×C₃×#120	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂×C₃×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#217	C₂²	1	4	yes	—
16	#5247	C₂²	1	4	yes	—
17	#5220	—	2	8	no	—
18	C₂×#834	C₂²	1	8	yes	—
19	#5211	C₂²	1	4	yes	—
20	#4526	C₂²	1	8	yes	—
21	C₂×#535	D₃	1	1	yes	characteristic
22	#2308	—	3	2	no	—
23	#1898	—	3	8	no	—
24	#1820	—	3	2	no	—
25	#1782	—	3	2	no	—
26	C₂⁵×C₃	C₂³	1	2	yes	—
27	C₂×C₃×#41	—	2	4	no	—
28	C₂×C₃×#41	—	4	4	no	—
29	C₂²×C₃×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
30	C₂²×C₃×D₄	—	4	4	no	—
31	C₂²×C₃×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
32	C₂²×C₃×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
33	C₂²×C₃×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
34	C₂²×C₃×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
35	C₂²×C₃×D₄	D₄	1	8	yes	—
36	C₂²×C₃×D₄	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
38	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×Dic₃	—	2	4	no	—
40	C₃×#127	—	2	8	no	—
41	C₃×#124	—	2	8	no	—
42	C₃×#121	—	2	16	no	—
43	C₃×#120	—	2	8	no	—
44	C₃×#120	—	2	8	no	—
45	C₃×#117	—	2	4	no	—
46	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
47	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
48	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×C₃×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	complemented
50	C₂×#217	—	2	4	no	—
51	C₂×#217	—	2	8	no	—
52	C₂×#217	—	4	8	no	—
53	C₂×#217	C₂³	1	8	yes	—
54	#834	—	4	8	no	—
55	C₃⋊#95	—	2	8	no	—
56	C₂²×#41	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
57	C₂³×D₄	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
58	#535	—	2	8	no	—
59	C₂×#127	Dic₃	1	2	yes	complemented
60	C₂×#124	Dic₃	1	2	yes	complemented
61	C₂×#121	Dic₃	1	4	yes	complemented
62	C₂×#120	C₂×D₃	1	4	yes	—
63	C₂×#117	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₂²⋊C₄	—	3	4	no	—
65	C₂×#99	—	3	8	no	—
66	#386	—	6	8	no	—
67	#381	—	3	4	no	—
68	#379	—	3	4	no	—
69	#342	—	3	8	no	—
70	C₂⁴×C₃	—	2	8	no	—
71	C₂⁴×C₃	—	8	4	no	—
72	C₂⁴×C₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
73	C₂⁴×C₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
74	C₂⁴×C₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
75	C₂⁴×C₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
76	C₂⁴×C₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
77	C₃×#41	—	4	16	no	—
78	C₂×C₃×Q₈	—	2	2	no	—
79	C₂×C₃×Q₈	—	4	2	no	—
80	C₂×C₃×D₄	—	2	4	no	—
81	C₂×C₃×D₄	—	2	8	no	—
82	C₂×C₃×D₄	—	2	16	no	—
83	C₂×C₃×D₄	—	2	2	no	—
84	C₂×C₃×D₄	—	4	4	no	—
85	C₂×C₃×D₄	—	4	4	no	—
86	C₂×C₃×D₄	—	4	8	no	—
87	C₂×C₃×D₄	—	4	8	no	—
88	C₂×C₃×D₄	—	4	2	no	—
89	C₂×C₃×D₄	—	8	8	no	—
90	C₂×C₃×D₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
91	C₂×C₃×D₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
92	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
93	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
94	C₂²×C₃×C₄	—	4	4	no	—
95	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
96	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
99	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
100	C₂²×Dic₃	—	2	8	no	—
101	C₂²×Dic₃	—	4	8	no	—
102	C₂²×Dic₃	—	8	8	no	—
103	C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
104	C₃×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
105	C₃×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
106	C₃×C₄²	—	2	4	no	—
107	#217	—	2	16	no	—
108	#217	—	4	8	no	—
109	#217	—	8	8	no	—
110	C₂⁵	C₂²×D₃	1	2	yes	—
111	C₂×#41	—	2	4	no	—
112	C₂×#41	—	4	4	no	—
113	C₂²×Q₈	C₂×Dic₃	1	1	yes	characteristic, complemented
114	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
115	C₂²×D₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
116	C₂²×D₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
117	C₂²×D₄	C₂×Dic₃	1	1	yes	characteristic, complemented
118	C₂²×D₄	C₂×Dic₃	1	8	yes	complemented
119	C₂²×D₄	#67	1	8	yes	—
120	C₂²×D₄	C₂²×D₃	1	2	yes	—
121	C₂³×C₄	—	6	4	no	—
122	C₂³×C₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	complemented
123	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
124	#127	—	2	8	no	—
125	#124	—	2	8	no	—
126	#121	—	2	16	no	—
127	#120	—	2	8	no	—
128	#120	—	2	8	no	—
129	#117	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	complemented
131	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	8	no	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	—	6	4	no	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	—	6	8	no	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	—	12	8	no	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₃	1	8	yes	complemented
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×D₃	1	2	yes	—
137	C₂×C₄²	C₂×Dic₃	1	2	yes	complemented
138	#99	—	12	8	no	—
139	#95	—	6	8	no	—
140	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
141	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
142	C₂³×C₃	—	2	8	no	—
143	C₂³×C₃	—	2	8	no	—
144	C₂³×C₃	—	2	2	no	—
145	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
146	C₂³×C₃	—	4	8	no	—
147	C₂³×C₃	—	4	2	no	—
148	C₂³×C₃	—	4	8	no	—
149	C₂³×C₃	—	4	8	no	—
150	C₂³×C₃	—	4	4	no	—
151	C₂³×C₃	—	8	16	no	—
152	C₂³×C₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
153	C₂³×C₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
155	C₂³×C₃	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
156	C₃×Q₈	—	4	4	no	—
157	C₃×D₄	—	4	8	no	—
158	C₃×D₄	—	4	8	no	—
159	C₃×D₄	—	4	4	no	—
160	C₃×D₄	—	4	8	no	—
161	C₃×D₄	—	8	16	no	—
162	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
165	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₃×C₄	—	4	8	no	—
169	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
170	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
172	C₂×Dic₃	—	4	16	no	—
173	C₂×Dic₃	—	4	8	no	—
174	C₂×Dic₃	—	8	16	no	—
175	C₂⁴	—	2	8	no	—
176	C₂⁴	—	8	4	no	—
177	C₂⁴	C₂²×Dic₃	1	2	yes	—
178	C₂⁴	C₂²×Dic₃	1	4	yes	—
179	C₂⁴	C₂×#67	1	4	yes	—
180	C₂⁴	C₂×#67	1	4	yes	—
181	C₂⁴	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
182	#41	—	4	16	no	—
183	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
184	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
185	C₂×D₄	—	2	8	no	—
186	C₂×D₄	—	2	4	no	—
187	C₂×D₄	—	2	16	no	—
188	C₂×D₄	—	2	2	no	—
189	C₂×D₄	—	4	4	no	—
190	C₂×D₄	—	4	4	no	—
191	C₂×D₄	—	4	8	no	—
192	C₂×D₄	—	4	8	no	—
193	C₂×D₄	—	4	2	no	—
194	C₂×D₄	—	8	8	no	—
195	C₂×D₄	#217	1	8	yes	—
196	C₂×D₄	#217	1	8	yes	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	6	8	no	—
201	C₂²×C₄	—	12	8	no	—
202	C₂²×C₄	—	24	8	no	—
203	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	4	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂×#67	1	4	yes	—
208	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
210	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²⋊C₄	—	6	16	no	—
212	C₂²⋊C₄	—	12	8	no	—
213	C₂²⋊C₄	—	24	8	no	—
214	C₄²	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₃	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₃	—	2	8	no	—
218	C₂²×C₃	—	2	16	no	—
219	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
220	C₂²×C₃	—	4	8	no	—
221	C₂²×C₃	—	4	8	no	—
222	C₂²×C₃	—	4	2	no	—
223	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
224	C₂²×C₃	—	8	8	no	—
225	C₂²×C₃	—	8	8	no	—
226	C₂²×C₃	—	8	4	no	—
227	C₂²×C₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₃	#518	1	2	yes	—
229	C₂²×C₃	#534	1	4	yes	—
230	C₃×C₄	—	2	2	no	—
231	C₃×C₄	—	2	2	no	—
232	C₃×C₄	—	4	2	no	—
233	C₃×C₄	—	4	4	no	—
234	Dic₃	—	8	8	no	—
235	C₂³	—	2	4	no	—
236	C₂³	—	2	4	no	—
237	C₂³	—	2	8	no	—
238	C₂³	—	2	8	no	—
239	C₂³	—	2	2	no	—
240	C₂³	—	2	4	no	—
241	C₂³	—	4	8	no	—
242	C₂³	—	4	2	no	—
243	C₂³	—	4	8	no	—
244	C₂³	—	4	8	no	—
245	C₂³	—	4	4	no	—
246	C₂³	—	8	16	no	—
247	C₂³	C₂×#217	1	8	yes	—
248	C₂³	#1004	1	4	yes	—
249	C₂³	C₂³×Dic₃	1	1	yes	characteristic
250	C₂³	C₂²×#67	1	2	yes	—
251	Q₈	—	4	4	no	—
252	D₄	—	4	8	no	—
253	D₄	—	4	8	no	—
254	D₄	—	4	4	no	—
255	D₄	—	4	8	no	—
256	D₄	—	8	16	no	—
257	C₂×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂×C₄	—	2	8	no	—
260	C₂×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂×C₄	—	4	8	no	—
264	C₂×C₄	—	4	4	no	—
265	C₂×C₄	—	12	16	no	—
266	C₂×C₄	—	12	8	no	—
267	C₂×C₄	—	24	16	no	—
268	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
269	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
270	C₂×C₃	—	2	4	no	—
271	C₂×C₃	—	2	2	no	—
272	C₂×C₃	—	4	8	no	—
273	C₂×C₃	—	8	2	no	—
274	C₂×C₃	#2308	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₃	#2883	1	2	yes	—
276	C₂²	—	2	2	no	—
277	C₂²	—	2	4	no	—
278	C₂²	—	2	8	no	—
279	C₂²	—	2	16	no	—
280	C₂²	—	4	4	no	—
281	C₂²	—	4	8	no	—
282	C₂²	—	4	8	no	—
283	C₂²	—	4	2	no	—
284	C₂²	—	4	4	no	—
285	C₂²	—	8	8	no	—
286	C₂²	—	8	8	no	—
287	C₂²	—	8	4	no	—
288	C₂²	#5798	1	2	yes	—
289	C₂²	#5804	1	4	yes	—
290	C₂²	C₂²×#217	1	1	yes	characteristic
291	C₄	—	2	2	no	—
292	C₄	—	2	2	no	—
293	C₄	—	4	2	no	—
294	C₄	—	4	4	no	—
295	C₄	—	24	8	no	—
296	C₃	#21750	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
297	C₂	—	2	4	no	—
298	C₂	—	2	2	no	—
299	C₂	—	4	8	no	—
300	C₂	—	8	2	no	—
301	C₂	#84043	1	1	yes	characteristic
302	C₂	#84107	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂²×#217
commutator	C₂³×C₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂⁴	C₂³×D₃
Fitting, prime radical	C₂×C₃×#535	C₂
socle	C₂²×C₃	C₂²×C₂²⋊C₄
cosocle	C₂⁴×C₃	C₂⁴
hypercenter	C₂×#535	D₃
hypocenter	C₃	#21750
LCS	G ▷ C₂³×C₃ ▷ C₂×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×D₄ ◁ C₂×#535

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #84043	C₂	semidirect
3. #72139	C₂	semidirect
4. #71670	C₂	semidirect
5. #71594	C₂	semidirect
10. C₂×C₃×#127	C₄	semidirect
11. C₂×C₃×#124	C₄	semidirect
12. C₂×C₃×#121	C₄	semidirect
29. C₂²×C₃×Q₈	C₂×C₄	semidirect
33. C₂²×C₃×D₄	C₂×C₄	semidirect
34. C₂²×C₃×D₄	C₂×C₄	semidirect
37. C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	semidirect
46. C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
47. C₂×C₃×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	semidirect
49. C₂×C₃×C₄²	C₂×C₄	semidirect
59. C₂×#127	Dic₃	semidirect
60. C₂×#124	Dic₃	semidirect
61. C₂×#121	Dic₃	semidirect
113. C₂²×Q₈	C₂×Dic₃	semidirect
117. C₂²×D₄	C₂×Dic₃	semidirect
118. C₂²×D₄	C₂×Dic₃	semidirect
122. C₂³×C₄	C₂×Dic₃	semidirect
130. C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₃	semidirect
135. C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₃	semidirect
137. C₂×C₄²	C₂×Dic₃	semidirect
296. C₃	#21750	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₃×#535	2
#84043	2
#72139	2
#71670	2
#71594	2
#21750	3