Subgroups — #10804154

Order 768.

1294 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 272 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₃×#536	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#84062	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#72139	C₂	1	2	yes	maximal
4	#71705	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#71594	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#21751	—	3	1	no	maximal, Sylow
7	C₂²×C₃×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂³×C₃×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₃×#536	—	2	8	no	—
10	C₂×C₃×C₄⋊Q₈	C₄	1	2	yes	complemented
11	C₂×C₃×#124	C₄	1	2	yes	complemented
12	C₂×C₃×#123	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×C₃×C₂²⋊Q₈	C₄	1	4	yes	complemented
14	C₂×C₃×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#926	C₂²	1	4	yes	—
16	#5229	—	2	8	no	—
17	C₂×#834	C₂²	1	8	yes	—
18	#5211	C₂²	1	4	yes	—
19	#5211	C₂²	1	4	yes	—
20	#4526	C₂²	1	8	yes	—
21	C₂×#536	D₃	1	1	yes	characteristic
22	#2310	—	3	2	no	—
23	#1899	—	3	8	no	—
24	#1820	—	3	2	no	—
25	#1782	—	3	2	no	—
26	C₂×C₃×#41	—	2	4	no	—
27	C₂×C₃×#41	—	4	4	no	—
28	C₂²×C₃×Q₈	—	4	4	no	—
29	C₂²×C₃×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×C₃×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
31	C₂²×C₃×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
32	C₂²×C₃×Q₈	D₄	1	8	yes	—
33	C₂²×C₃×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×C₃×D₄	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
36	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	2	yes	—
38	C₃×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
39	C₃×#124	—	2	8	no	—
40	C₃×#123	—	2	8	no	—
41	C₃×#123	—	2	8	no	—
42	C₃×C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
43	C₃×#117	—	2	4	no	—
44	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
46	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
47	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×C₃×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂×#217	C₂³	1	8	yes	—
50	#926	—	4	8	no	—
51	C₂×C₄⋊Dic₃	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄×Dic₃	—	2	4	no	—
53	#834	—	4	8	no	—
54	C₃⋊#95	—	2	8	no	—
55	C₃⋊#95	—	2	8	no	—
56	C₂²×#41	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
57	C₂³×Q₈	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
58	#536	—	2	8	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	Dic₃	1	2	yes	complemented
60	C₂×#124	Dic₃	1	2	yes	complemented
61	C₂×#123	C₂×D₃	1	4	yes	—
62	C₂×C₂²⋊Q₈	Dic₃	1	4	yes	complemented
63	C₂×#117	—	3	4	no	—
64	C₂×#117	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
65	C₂×#99	—	3	8	no	—
66	#391	—	6	8	no	—
67	#381	—	3	4	no	—
68	#381	—	3	4	no	—
69	#342	—	3	8	no	—
70	C₂⁴×C₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
71	C₂⁴×C₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
72	C₃×#41	—	4	16	no	—
73	C₂×C₃×Q₈	—	2	2	no	—
74	C₂×C₃×Q₈	—	4	4	no	—
75	C₂×C₃×Q₈	—	4	4	no	—
76	C₂×C₃×Q₈	—	4	8	no	—
77	C₂×C₃×Q₈	—	4	8	no	—
78	C₂×C₃×Q₈	—	4	2	no	—
79	C₂×C₃×Q₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
80	C₂×C₃×Q₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
81	C₂×C₃×D₄	—	2	4	no	—
82	C₂×C₃×D₄	—	2	8	no	—
83	C₂×C₃×D₄	—	2	2	no	—
84	C₂×C₃×D₄	—	4	2	no	—
85	C₂²×C₃×C₄	—	2	8	no	—
86	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
87	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
88	C₂²×C₃×C₄	—	4	4	no	—
89	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
90	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
92	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
94	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
95	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
96	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
97	C₂²×Dic₃	—	2	8	no	—
98	C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
99	C₃×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
100	C₃×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
101	C₃×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
102	C₃×C₄²	—	2	4	no	—
103	#217	—	2	16	no	—
104	C₄⋊Dic₃	—	4	8	no	—
105	C₄×Dic₃	—	4	8	no	—
106	C₂×#41	—	2	4	no	—
107	C₂×#41	—	4	4	no	—
108	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
109	C₂²×Q₈	C₂×Dic₃	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×Q₈	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
111	C₂²×Q₈	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
112	C₂²×Q₈	#67	1	8	yes	—
113	C₂²×D₄	C₂×Dic₃	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×D₄	C₂²×D₃	1	2	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	2	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
118	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
119	#124	—	2	8	no	—
120	#123	—	2	8	no	—
121	#123	—	2	8	no	—
122	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
123	#117	—	2	4	no	—
124	#117	—	12	8	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₃	1	8	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	8	no	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₃	1	8	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²×D₃	1	2	yes	—
131	C₂×C₄²	—	6	4	no	—
132	C₂×C₄²	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
133	#99	—	12	8	no	—
134	#95	—	6	8	no	—
135	#95	—	6	8	no	—
136	C₂³×C₃	—	2	2	no	—
137	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
138	C₂³×C₃	—	4	2	no	—
139	C₂³×C₃	—	4	4	no	—
140	C₂³×C₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
142	C₂³×C₃	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
143	C₃×Q₈	—	4	8	no	—
144	C₃×Q₈	—	4	8	no	—
145	C₃×Q₈	—	4	4	no	—
146	C₃×D₄	—	4	4	no	—
147	C₃×D₄	—	4	8	no	—
148	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
149	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
151	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
152	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
154	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
155	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
156	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
158	C₂×C₃×C₄	—	4	8	no	—
159	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
160	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
162	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
163	C₂×Dic₃	—	4	16	no	—
164	C₂×Dic₃	—	4	8	no	—
165	C₂⁴	C₂²×Dic₃	1	2	yes	—
166	C₂⁴	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
167	#41	—	4	16	no	—
168	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
169	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
170	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
171	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
172	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
173	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
174	C₂×Q₈	#217	1	8	yes	—
175	C₂×Q₈	#217	1	8	yes	—
176	C₂×D₄	—	2	8	no	—
177	C₂×D₄	—	2	4	no	—
178	C₂×D₄	—	2	2	no	—
179	C₂×D₄	—	4	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	6	8	no	—
185	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	2	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	4	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	4	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂×#67	1	4	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂×#67	1	4	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂×#67	1	4	yes	—
193	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
194	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
195	C₄⋊C₄	—	12	8	no	—
196	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
198	C₂²⋊C₄	—	6	16	no	—
199	C₄²	—	2	4	no	—
200	C₄²	—	12	8	no	—
201	C₂²×C₃	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
204	C₂²×C₃	—	4	2	no	—
205	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
206	C₂²×C₃	—	8	4	no	—
207	C₂²×C₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₃	#518	1	2	yes	—
209	C₂²×C₃	#534	1	4	yes	—
210	C₃×C₄	—	2	2	no	—
211	C₃×C₄	—	2	2	no	—
212	C₃×C₄	—	2	8	no	—
213	C₃×C₄	—	4	2	no	—
214	C₃×C₄	—	4	4	no	—
215	Dic₃	—	8	8	no	—
216	C₂³	—	2	2	no	—
217	C₂³	—	2	4	no	—
218	C₂³	—	4	2	no	—
219	C₂³	—	4	4	no	—
220	C₂³	#1004	1	4	yes	—
221	C₂³	C₂³×Dic₃	1	1	yes	characteristic
222	C₂³	C₂²×#67	1	2	yes	—
223	Q₈	—	4	8	no	—
224	Q₈	—	4	8	no	—
225	Q₈	—	4	4	no	—
226	D₄	—	4	4	no	—
227	D₄	—	4	8	no	—
228	C₂×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂×C₄	—	2	8	no	—
231	C₂×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂×C₄	—	2	8	no	—
234	C₂×C₄	—	2	8	no	—
235	C₂×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂×C₄	—	4	8	no	—
239	C₂×C₄	—	4	4	no	—
240	C₂×C₄	—	12	16	no	—
241	C₂×C₄	—	12	8	no	—
242	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
243	C₂×C₄	C₂×#217	1	8	yes	—
244	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
245	C₂×C₃	—	2	4	no	—
246	C₂×C₃	—	2	2	no	—
247	C₂×C₃	—	8	2	no	—
248	C₂×C₃	#2308	1	1	yes	characteristic
249	C₂×C₃	#2884	1	2	yes	—
250	C₂²	—	2	2	no	—
251	C₂²	—	2	4	no	—
252	C₂²	—	4	4	no	—
253	C₂²	—	4	2	no	—
254	C₂²	—	4	4	no	—
255	C₂²	—	8	4	no	—
256	C₂²	#5798	1	2	yes	—
257	C₂²	#5804	1	4	yes	—
258	C₂²	C₂²×#217	1	1	yes	characteristic
259	C₄	—	2	2	no	—
260	C₄	—	2	2	no	—
261	C₄	—	2	8	no	—
262	C₄	—	4	2	no	—
263	C₄	—	4	4	no	—
264	C₄	—	24	8	no	—
265	C₃	#21751	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
266	C₂	—	2	4	no	—
267	C₂	—	2	2	no	—
268	C₂	—	8	2	no	—
269	C₂	#84043	1	1	yes	characteristic
270	C₂	#84119	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂²×#217
commutator	C₂³×C₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂⁴	C₂³×D₃
Fitting	C₂×C₃×#536	C₂
socle	C₂²×C₃	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂²×C₃×#41	C₂²
cosocle	C₂⁴×C₃	C₂⁴
hypercenter	C₂×#536	D₃
hypocenter	C₃	#21751
LCS	G ▷ C₂³×C₃ ▷ C₂×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×Q₈ ◁ C₂×#536

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #84062	C₂	semidirect
4. #71705	C₂	semidirect
5. #71594	C₂	semidirect
10. C₂×C₃×C₄⋊Q₈	C₄	semidirect
11. C₂×C₃×#124	C₄	semidirect
13. C₂×C₃×C₂²⋊Q₈	C₄	semidirect
59. C₂×C₄⋊Q₈	Dic₃	semidirect
60. C₂×#124	Dic₃	semidirect
62. C₂×C₂²⋊Q₈	Dic₃	semidirect
265. C₃	#21751	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₃×#536	2
#84062	2
#72139	2
#71705	2
#71594	2
#21751	3