Subgroups — #10804409

Order 768.

1818 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 294 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₃×C₄×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#4925	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#72126	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#71614	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#21786	—	3	1	no	maximal, Sylow
6	C₂³×C₃×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
7	C₂⁴×C₃×C₄	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂×C₃×C₄×D₄	—	2	8	no	—
9	C₂×C₃×C₄×D₄	C₄	1	4	yes	—
10	C₂×C₃×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂²×C₃×C₄⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×C₃×C₂²⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
13	C₂²×C₃×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#830	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#830	C₂²	1	16	yes	complemented
16	#4925	—	2	8	no	—
17	C₂×C₄⋊(C₃⋊C₈)	C₂²	1	4	yes	complemented
18	C₂×C₄×C₃⋊C₈	C₂²	1	4	yes	complemented
19	C₂²×C₄×D₄	D₃	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#431	—	3	2	no	—
21	#1954	—	3	8	no	—
22	#1779	—	3	4	no	—
23	C₂⁵×C₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
24	C₂²×C₃×D₄	—	2	4	no	—
25	C₂²×C₃×D₄	—	2	4	no	—
26	C₂²×C₃×D₄	C₈	1	8	yes	complemented
27	C₂²×C₃×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
28	C₂³×C₃×C₄	—	2	8	no	—
29	C₂³×C₃×C₄	—	4	8	no	—
30	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
31	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
32	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
34	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	4	yes	—
35	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₃×C₄×D₄	—	2	16	no	—
37	C₃×C₄×D₄	—	2	8	no	—
38	C₃×C₄×D₄	—	2	8	no	—
39	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
40	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
42	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
43	C₂×C₃×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	8	yes	—
45	C₂×C₃×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×C₃⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
47	#830	—	2	8	no	—
48	#830	—	4	16	no	—
49	C₄⋊(C₃⋊C₈)	—	2	8	no	—
50	C₄×C₃⋊C₈	—	2	8	no	—
51	C₂³×D₄	Dic₃	1	1	yes	characteristic
52	C₂⁴×C₄	C₂×D₃	1	2	yes	—
53	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
54	C₂×C₄×D₄	Dic₃	1	4	yes	—
55	C₂×C₄×D₄	C₂×D₃	1	4	yes	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	Dic₃	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₂²⋊C₄	Dic₃	1	2	yes	—
58	C₂²×C₄²	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
59	#431	—	6	8	no	—
60	C₂×C₄⋊C₈	—	3	4	no	—
61	C₂×C₂²⋊C₈	—	3	4	no	—
62	C₂×C₂²⋊C₈	—	3	16	no	—
63	C₂×C₄×C₈	—	3	4	no	—
64	C₂⁴×C₃	—	2	4	no	—
65	C₂⁴×C₃	—	2	4	no	—
66	C₂⁴×C₃	—	4	4	no	—
67	C₂⁴×C₃	—	4	4	no	—
68	C₂⁴×C₃	C₂×C₈	1	8	yes	—
69	C₂⁴×C₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
70	C₂⁴×C₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₃×D₄	—	2	32	no	—
72	C₂×C₃×D₄	—	2	8	no	—
73	C₂×C₃×D₄	—	2	8	no	—
74	C₂×C₃×D₄	C₂×C₈	1	16	yes	—
75	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
76	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
77	C₂²×C₃×C₄	—	2	8	no	—
78	C₂²×C₃×C₄	—	2	8	no	—
79	C₂²×C₃×C₄	—	2	16	no	—
80	C₂²×C₃×C₄	—	4	8	no	—
81	C₂²×C₃×C₄	—	4	4	no	—
82	C₂²×C₃×C₄	—	4	2	no	—
83	C₂²×C₃×C₄	—	4	32	no	—
84	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
85	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
86	C₂²×C₃×C₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
87	C₂²×C₃×C₄	M₁₆	1	4	yes	—
88	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
89	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
91	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
92	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
93	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
94	C₃×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
95	C₃×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
96	C₃×C₄²	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
97	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
98	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
99	C₂×C₃⋊C₈	—	2	8	no	—
100	C₂×C₃⋊C₈	—	2	16	no	—
101	C₂⁵	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
102	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
104	C₂²×D₄	C₃⋊C₈	1	8	yes	complemented
105	C₂²×D₄	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
106	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
107	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
108	C₂³×C₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
110	C₂³×C₄	C₂×Dic₃	1	1	yes	characteristic
111	C₂³×C₄	C₂×Dic₃	1	1	yes	characteristic
112	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	4	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×C₈	—	3	8	no	—
115	C₄×D₄	—	2	16	no	—
116	C₄×D₄	—	2	8	no	—
117	C₄×D₄	—	2	8	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₃	1	8	yes	—
122	C₂×C₄²	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
123	C₂×C₄²	#67	1	8	yes	—
124	C₂×C₄²	C₂²×D₃	1	2	yes	—
125	C₄⋊C₈	—	6	8	no	—
126	C₂²⋊C₈	—	6	8	no	—
127	C₂²⋊C₈	—	12	16	no	—
128	C₄×C₈	—	6	8	no	—
129	C₂³×C₃	—	2	2	no	—
130	C₂³×C₃	—	2	2	no	—
131	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
132	C₂³×C₃	—	2	8	no	—
133	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
134	C₂³×C₃	—	2	8	no	—
135	C₂³×C₃	—	2	16	no	—
136	C₂³×C₃	—	4	16	no	—
137	C₂³×C₃	—	4	8	no	—
138	C₂³×C₃	—	4	8	no	—
139	C₂³×C₃	—	4	16	no	—
140	C₂³×C₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
141	C₂³×C₃	C₂²×C₈	1	8	yes	—
142	C₂³×C₃	C₂²×C₈	1	2	yes	—
143	C₂³×C₃	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
144	C₂³×C₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₃×D₄	—	2	32	no	—
146	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
148	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
149	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
150	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
151	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
152	C₂×C₃×C₄	—	4	16	no	—
153	C₂×C₃×C₄	—	4	8	no	—
154	C₂×C₃×C₄	—	4	16	no	—
155	C₂×C₃×C₄	C₂²⋊C₈	1	16	yes	complemented
156	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
158	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
159	C₂×C₃×C₄	C₂²×C₈	1	4	yes	—
160	C₂×C₃×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
161	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₃×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
163	C₃⋊C₈	—	4	8	no	—
164	C₂⁴	—	2	4	no	—
165	C₂⁴	—	2	4	no	—
166	C₂⁴	—	4	4	no	—
167	C₂⁴	—	4	4	no	—
168	C₂⁴	C₂×C₃⋊C₈	1	8	yes	—
169	C₂⁴	C₂²×Dic₃	1	4	yes	—
170	C₂⁴	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
171	C₂×D₄	—	2	32	no	—
172	C₂×D₄	—	2	8	no	—
173	C₂×D₄	—	2	8	no	—
174	C₂×D₄	C₂×C₃⋊C₈	1	16	yes	—
175	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
181	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
184	C₂²×C₄	C₂×C₃⋊C₈	1	4	yes	—
185	C₂²×C₄	#208	1	4	yes	—
186	C₂²×C₄	#217	1	4	yes	—
187	C₂²×C₄	#217	1	4	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	4	yes	—
189	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	2	yes	—
191	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂×#67	1	4	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₈	—	6	16	no	—
195	C₂×C₈	—	6	8	no	—
196	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
197	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
198	C₄²	#217	1	8	yes	—
199	C₄²	C₂×#67	1	4	yes	—
200	C₄²	C₂×#67	1	4	yes	—
201	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₃	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₃	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₃	—	2	8	no	—
206	C₂²×C₃	—	2	16	no	—
207	C₂²×C₃	—	4	32	no	—
208	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
209	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
210	C₂²×C₃	—	4	8	no	—
211	C₂²×C₃	C₂×C₂²⋊C₈	1	4	yes	—
212	C₂²×C₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₃	#518	1	2	yes	—
214	C₂²×C₃	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₃	C₂²×M₁₆	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₃	#568	1	2	yes	—
217	C₃×C₄	—	2	2	no	—
218	C₃×C₄	—	2	4	no	—
219	C₃×C₄	—	4	4	no	—
220	C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₈	1	8	yes	—
221	C₃×C₄	#535	1	4	yes	—
222	C₂³	—	2	2	no	—
223	C₂³	—	2	2	no	—
224	C₂³	—	2	16	no	—
225	C₂³	—	2	4	no	—
226	C₂³	—	2	8	no	—
227	C₂³	—	2	8	no	—
228	C₂³	—	2	4	no	—
229	C₂³	—	4	16	no	—
230	C₂³	—	4	8	no	—
231	C₂³	—	4	8	no	—
232	C₂³	—	4	16	no	—
233	C₂³	C₂²×C₃⋊C₈	1	8	yes	—
234	C₂³	C₂²×C₃⋊C₈	1	2	yes	—
235	C₂³	C₂×#208	1	2	yes	—
236	C₂³	C₂×#217	1	2	yes	—
237	C₂³	C₂³×Dic₃	1	1	yes	characteristic
238	D₄	—	2	32	no	—
239	C₂×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂×C₄	—	2	8	no	—
242	C₂×C₄	—	2	8	no	—
243	C₂×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂×C₄	—	4	4	no	—
245	C₂×C₄	—	4	16	no	—
246	C₂×C₄	—	4	8	no	—
247	C₂×C₄	—	4	16	no	—
248	C₂×C₄	#830	1	16	yes	complemented
249	C₂×C₄	C₂²×C₃⋊C₈	1	4	yes	—
250	C₂×C₄	C₂×#208	1	4	yes	—
251	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
252	C₂×C₄	C₂×#217	1	4	yes	—
253	C₂×C₄	C₂×#217	1	4	yes	—
254	C₂×C₄	#1004	1	4	yes	—
255	C₂×C₄	C₂²×#67	1	2	yes	—
256	C₈	—	12	8	no	—
257	C₂×C₃	—	2	4	no	—
258	C₂×C₃	—	4	8	no	—
259	C₂×C₃	#2309	1	1	yes	characteristic
260	C₂×C₃	C₂²×C₂²⋊C₈	1	1	yes	characteristic
261	C₂×C₃	#2879	1	1	yes	characteristic
262	C₂×C₃	#2972	1	2	yes	—
263	C₂×C₃	#2975	1	2	yes	—
264	C₂²	—	2	2	no	—
265	C₂²	—	2	2	no	—
266	C₂²	—	2	4	no	—
267	C₂²	—	2	4	no	—
268	C₂²	—	2	8	no	—
269	C₂²	—	2	16	no	—
270	C₂²	—	4	32	no	—
271	C₂²	—	4	4	no	—
272	C₂²	—	4	4	no	—
273	C₂²	—	4	8	no	—
274	C₂²	C₂×#830	1	4	yes	—
275	C₂²	C₂³×C₃⋊C₈	1	1	yes	characteristic
276	C₂²	C₂²×#208	1	1	yes	characteristic
277	C₂²	#5798	1	2	yes	—
278	C₂²	#5819	1	2	yes	—
279	C₂²	C₂²×#217	1	1	yes	characteristic
280	C₄	—	2	2	no	—
281	C₄	—	2	4	no	—
282	C₄	—	4	4	no	—
283	C₄	C₂×#830	1	8	yes	—
284	C₄	#5805	1	4	yes	—
285	C₃	#21786	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
286	C₂	—	2	4	no	—
287	C₂	—	4	8	no	—
288	C₂	#82301	1	2	yes	—
289	C₂	#82304	1	2	yes	—
290	C₂	C₂²×#830	1	1	yes	characteristic
291	C₂	#84044	1	1	yes	characteristic
292	C₂	#84074	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₃
commutator	C₂²×C₃	C₂³×C₈
Fitting	C₂²×C₃×C₄×D₄	C₂
socle	C₂³×C₃	C₂³×C₄
prime radical	C₂³×C₃×D₄	C₄
cosocle	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴
hypercenter	C₂²×C₄×D₄	D₃
hypocenter	C₃	#21786
LCS	G ▷ C₂²×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄×D₄

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#4925	C₂	semidirect
3. #72126	C₂	semidirect
4. #71614	C₂	semidirect
15. C₂×#830	C₂²	semidirect
17. C₂×C₄⋊(C₃⋊C₈)	C₂²	semidirect
18. C₂×C₄×C₃⋊C₈	C₂²	semidirect
26. C₂²×C₃×D₄	C₈	semidirect
104. C₂²×D₄	C₃⋊C₈	semidirect
155. C₂×C₃×C₄	C₂²⋊C₈	semidirect
248. C₂×C₄	#830	semidirect
285. C₃	#21786	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₃×C₄×D₄	2
C₂×#4925	2
#72126	2
#71614	2
#21786	3