Subgroups — #10804418

Order 768.

1782 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 374 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₃×C₄×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#4926	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#4925	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#72126	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#71615	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#71614	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#21788	—	3	1	no	maximal, Sylow
8	C₂³×C₃×D₄	C₄	1	1	yes	characteristic
9	C₂⁴×C₃×C₄	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×C₃×C₄×D₄	—	2	4	no	—
11	C₂×C₃×C₄×D₄	—	2	4	no	—
12	C₂×C₃×C₄×D₄	C₄	1	2	yes	—
13	C₂×C₃×C₄×D₄	C₄	1	2	yes	—
14	C₂×C₃×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₃×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₃×C₄⋊C₄	C₄	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₃×C₂²⋊C₄	C₄	1	2	yes	—
18	C₂²×C₃×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#830	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#830	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#830	C₂²	1	16	yes	complemented
22	#4926	—	2	4	no	—
23	#4925	—	2	4	no	—
24	C₂×C₄⋊(C₃⋊C₈)	C₂²	1	2	yes	complemented
25	C₂×C₄⋊(C₃⋊C₈)	C₂²	1	2	yes	complemented
26	C₂×#803	C₂²	1	2	yes	complemented
27	C₂×C₄×C₃⋊C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
28	C₂²×C₄×D₄	D₃	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#432	—	3	1	no	—
30	C₂×#431	—	3	1	no	—
31	#1955	—	3	4	no	—
32	#1954	—	3	4	no	—
33	#1779	—	3	4	no	—
34	C₂⁵×C₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
35	C₂²×C₃×D₄	—	2	8	no	—
36	C₂²×C₃×D₄	—	2	4	no	—
37	C₂²×C₃×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂²×C₃×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂³×C₃×C₄	—	2	4	no	—
40	C₂³×C₃×C₄	—	2	4	no	—
41	C₂³×C₃×C₄	—	4	8	no	—
42	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₃×C₄×D₄	—	2	8	no	—
49	C₃×C₄×D₄	—	2	8	no	—
50	C₃×C₄×D₄	—	2	4	no	—
51	C₃×C₄×D₄	—	2	4	no	—
52	C₃×C₄×D₄	—	2	4	no	—
53	C₃×C₄×D₄	—	2	4	no	—
54	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
55	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
58	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	C₂×C₃×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₃×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	4	yes	—
63	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	4	yes	—
64	C₂×C₃×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₃×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₃⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂²×C₃⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
68	#830	—	2	4	no	—
69	#830	—	2	4	no	—
70	#830	—	4	16	no	—
71	C₄⋊(C₃⋊C₈)	—	2	4	no	—
72	C₄⋊(C₃⋊C₈)	—	2	4	no	—
73	#803	—	2	4	no	—
74	C₄×C₃⋊C₈	—	2	4	no	—
75	C₂³×D₄	Dic₃	1	1	yes	characteristic
76	C₂⁴×C₄	C₂×D₃	1	2	yes	—
77	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
78	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
79	C₂×C₄×D₄	Dic₃	1	2	yes	—
80	C₂×C₄×D₄	Dic₃	1	2	yes	—
81	C₂×C₄×D₄	C₂×D₃	1	2	yes	—
82	C₂×C₄×D₄	C₂×D₃	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄⋊C₄	Dic₃	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₂²⋊C₄	Dic₃	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄²	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
86	#432	—	6	4	no	—
87	#431	—	6	4	no	—
88	C₂×C₄⋊C₈	—	3	2	no	—
89	C₂×C₄⋊C₈	—	3	2	no	—
90	C₂×C₂²⋊C₈	—	3	2	no	—
91	C₂×C₂²⋊C₈	—	3	2	no	—
92	C₂×C₂²⋊C₈	—	3	16	no	—
93	C₂×#97	—	3	2	no	—
94	C₂×C₄×C₈	—	3	2	no	—
95	C₂⁴×C₃	—	2	4	no	—
96	C₂⁴×C₃	—	2	8	no	—
97	C₂⁴×C₃	—	2	8	no	—
98	C₂⁴×C₃	—	4	4	no	—
99	C₂⁴×C₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
100	C₂⁴×C₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₃×D₄	—	2	32	no	—
102	C₂×C₃×D₄	—	2	8	no	—
103	C₂×C₃×D₄	—	2	4	no	—
104	C₂×C₃×D₄	—	2	4	no	—
105	C₂×C₃×D₄	—	2	4	no	—
106	C₂×C₃×D₄	M₁₆	1	8	yes	—
107	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
108	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
109	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
110	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
111	C₂²×C₃×C₄	—	2	8	no	—
112	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
113	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
114	C₂²×C₃×C₄	—	2	16	no	—
115	C₂²×C₃×C₄	—	4	8	no	—
116	C₂²×C₃×C₄	—	4	4	no	—
117	C₂²×C₃×C₄	—	4	16	no	—
118	C₂²×C₃×C₄	—	4	16	no	—
119	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
120	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
121	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
122	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
130	C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
131	C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
132	C₃×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
133	C₃×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
134	C₃×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
135	C₃×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
136	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₃⋊C₈	—	2	4	no	—
141	C₂×C₃⋊C₈	—	2	4	no	—
142	C₂×C₃⋊C₈	—	2	8	no	—
143	C₂×C₃⋊C₈	—	2	8	no	—
144	C₂⁵	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
145	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
146	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
147	C₂²×D₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
148	C₂²×D₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
149	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
150	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
151	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
152	C₂³×C₄	C₂×Dic₃	1	1	yes	characteristic
153	C₂³×C₄	C₂×Dic₃	1	1	yes	characteristic
154	C₂³×C₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
155	C₂³×C₄	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
156	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	4	yes	—
157	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₈	—	3	4	no	—
159	C₂²×C₈	—	3	4	no	—
160	C₄×D₄	—	2	8	no	—
161	C₄×D₄	—	2	8	no	—
162	C₄×D₄	—	2	4	no	—
163	C₄×D₄	—	2	4	no	—
164	C₄×D₄	—	2	4	no	—
165	C₄×D₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂×Dic₃	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₄²	C₂×Dic₃	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄²	#67	1	4	yes	—
175	C₂×C₄²	#67	1	4	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₄²	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
178	C₄⋊C₈	—	6	4	no	—
179	C₄⋊C₈	—	6	4	no	—
180	C₂²⋊C₈	—	6	4	no	—
181	C₂²⋊C₈	—	6	4	no	—
182	C₂²⋊C₈	—	12	16	no	—
183	#97	—	6	4	no	—
184	C₄×C₈	—	6	4	no	—
185	C₂³×C₃	—	2	2	no	—
186	C₂³×C₃	—	2	2	no	—
187	C₂³×C₃	—	2	16	no	—
188	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
189	C₂³×C₃	—	2	8	no	—
190	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
191	C₂³×C₃	—	2	8	no	—
192	C₂³×C₃	—	4	32	no	—
193	C₂³×C₃	—	4	8	no	—
194	C₂³×C₃	—	4	8	no	—
195	C₂³×C₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
196	C₂³×C₃	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
197	C₂³×C₃	#131	1	4	yes	—
198	C₂³×C₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
199	C₃×D₄	—	2	16	no	—
200	C₃×D₄	—	2	16	no	—
201	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
206	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
209	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
211	C₂×C₃×C₄	—	4	16	no	—
212	C₂×C₃×C₄	—	4	8	no	—
213	C₂×C₃×C₄	—	4	8	no	—
214	C₂×C₃×C₄	—	4	8	no	—
215	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
216	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
217	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
218	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
219	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
220	C₂×C₃×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
221	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₃×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
224	C₃⋊C₈	—	4	4	no	—
225	C₃⋊C₈	—	4	4	no	—
226	C₂⁴	—	2	8	no	—
227	C₂⁴	—	2	4	no	—
228	C₂⁴	—	2	8	no	—
229	C₂⁴	—	4	4	no	—
230	C₂⁴	C₂²×Dic₃	1	4	yes	—
231	C₂⁴	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
232	C₂×D₄	—	2	32	no	—
233	C₂×D₄	—	2	8	no	—
234	C₂×D₄	—	2	4	no	—
235	C₂×D₄	—	2	4	no	—
236	C₂×D₄	—	2	4	no	—
237	C₂×D₄	#208	1	8	yes	—
238	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
250	C₂²×C₄	#217	1	4	yes	—
251	C₂²×C₄	#217	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
261	C₂×C₈	—	6	8	no	—
262	C₂×C₈	—	6	8	no	—
263	C₂×C₈	—	6	4	no	—
264	C₂×C₈	—	6	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
269	C₄²	#217	1	4	yes	—
270	C₄²	#217	1	4	yes	—
271	C₄²	C₂×#67	1	2	yes	—
272	C₄²	C₂×#67	1	2	yes	—
273	C₄²	C₂×#67	1	2	yes	—
274	C₄²	C₂×#67	1	2	yes	—
275	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
276	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
277	C₂²×C₃	—	2	8	no	—
278	C₂²×C₃	—	2	8	no	—
279	C₂²×C₃	—	2	16	no	—
280	C₂²×C₃	—	4	32	no	—
281	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
282	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
283	C₂²×C₃	—	4	8	no	—
284	C₂²×C₃	#408	1	4	yes	—
285	C₂²×C₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
286	C₂²×C₃	#518	1	2	yes	—
287	C₂²×C₃	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
288	C₂²×C₃	C₂×#131	1	2	yes	—
289	C₃×C₄	—	2	2	no	—
290	C₃×C₄	—	2	2	no	—
291	C₃×C₄	—	2	2	no	—
292	C₃×C₄	—	2	2	no	—
293	C₃×C₄	—	4	4	no	—
294	C₃×C₄	#407	1	4	yes	—
295	C₃×C₄	#535	1	2	yes	—
296	C₃×C₄	#535	1	2	yes	—
297	C₂³	—	2	2	no	—
298	C₂³	—	2	2	no	—
299	C₂³	—	2	16	no	—
300	C₂³	—	2	4	no	—
301	C₂³	—	2	8	no	—
302	C₂³	—	2	8	no	—
303	C₂³	—	2	4	no	—
304	C₂³	—	4	32	no	—
305	C₂³	—	4	8	no	—
306	C₂³	—	4	8	no	—
307	C₂³	C₂×#208	1	8	yes	—
308	C₂³	#948	1	4	yes	—
309	C₂³	C₂×#217	1	2	yes	—
310	C₂³	C₂³×Dic₃	1	1	yes	characteristic
311	D₄	—	2	16	no	—
312	D₄	—	2	16	no	—
313	C₂×C₄	—	2	8	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	8	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	8	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	4	16	no	—
324	C₂×C₄	—	4	8	no	—
325	C₂×C₄	—	4	8	no	—
326	C₂×C₄	—	4	8	no	—
327	C₂×C₄	C₂×#208	1	4	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#1004	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	C₂²×#67	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₂²×#67	1	1	yes	characteristic
336	C₈	—	12	4	no	—
337	C₈	—	12	4	no	—
338	C₂×C₃	—	2	4	no	—
339	C₂×C₃	—	4	8	no	—
340	C₂×C₃	#2309	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₃	C₂×#407	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₃	C₂×#408	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₃	#2974	1	4	yes	—
344	C₂²	—	2	2	no	—
345	C₂²	—	2	2	no	—
346	C₂²	—	2	8	no	—
347	C₂²	—	2	8	no	—
348	C₂²	—	2	16	no	—
349	C₂²	—	4	32	no	—
350	C₂²	—	4	4	no	—
351	C₂²	—	4	4	no	—
352	C₂²	—	4	8	no	—
353	C₂²	#5234	1	4	yes	—
354	C₂²	C₂²×#208	1	2	yes	—
355	C₂²	#5798	1	2	yes	—
356	C₂²	C₂×#948	1	2	yes	—
357	C₂²	C₂²×#217	1	1	yes	characteristic
358	C₄	—	2	2	no	—
359	C₄	—	2	2	no	—
360	C₄	—	2	2	no	—
361	C₄	—	2	2	no	—
362	C₄	—	4	4	no	—
363	C₄	#5207	1	4	yes	—
364	C₄	#5805	1	2	yes	—
365	C₄	#5805	1	2	yes	—
366	C₃	#21788	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
367	C₂	—	2	4	no	—
368	C₂	—	4	8	no	—
369	C₂	#82303	1	4	yes	—
370	C₂	C₂×#5207	1	1	yes	characteristic
371	C₂	#84044	1	1	yes	characteristic
372	C₂	C₂×#5234	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₃
commutator, socle	C₂³×C₃	C₂³×C₄
Fitting	C₂²×C₃×C₄×D₄	C₂
prime radical	C₂³×C₃×D₄	C₄
cosocle	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴
hypercenter	C₂²×C₄×D₄	D₃
hypocenter	C₃	#21788
LCS	G ▷ C₂³×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄×D₄

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#4926	C₂	semidirect
3. C₂×#4925	C₂	semidirect
4. #72126	C₂	semidirect
5. #71615	C₂	semidirect
6. #71614	C₂	semidirect
21. C₂×#830	C₂²	semidirect
24. C₂×C₄⋊(C₃⋊C₈)	C₂²	semidirect
25. C₂×C₄⋊(C₃⋊C₈)	C₂²	semidirect
26. C₂×#803	C₂²	semidirect
27. C₂×C₄×C₃⋊C₈	C₂²	semidirect
366. C₃	#21788	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₃×C₄×D₄	2
C₂×#4926	2
C₂×#4925	2
#72126	2
#71615	2
#71614	2
#21788	3