Subgroups — #10804424

Order 768.

1374 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 352 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₃×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#4926	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#4925	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#72136	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#71615	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#71614	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#21789	—	3	1	no	maximal, Sylow
8	C₂²×C₃×#41	C₂²	1	2	yes	—
9	C₃×#532	—	2	4	no	—
10	C₃×#532	—	2	4	no	—
11	C₂×C₃×C₄⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₃×#127	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₃×#124	C₄	1	2	yes	—
14	C₂×C₃×#121	C₄	1	2	yes	—
15	C₂×C₃×#121	C₄	1	2	yes	—
16	C₂×C₃×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₃×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₃×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#830	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#830	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#830	C₂²	1	16	yes	—
22	#4926	—	2	4	no	—
23	#4925	—	2	4	no	—
24	C₂×C₄⋊(C₃⋊C₈)	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄⋊(C₃⋊C₈)	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#803	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄×C₃⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#532	D₃	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#432	—	3	1	no	—
30	C₂×#431	—	3	1	no	—
31	#1955	—	3	4	no	—
32	#1954	—	3	4	no	—
33	#1780	—	3	4	no	—
34	C₂×C₃×#41	—	2	4	no	—
35	C₂×C₃×#41	—	2	4	no	—
36	C₂×C₃×#41	—	4	8	no	—
37	C₂²×C₃×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂²×C₃×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂²×C₃×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂²×C₃×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂²×C₃×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₃×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
47	C₃×#127	—	2	4	no	—
48	C₃×#124	—	2	8	no	—
49	C₃×#121	—	2	8	no	—
50	C₃×#121	—	2	8	no	—
51	C₃×C₄×D₄	—	2	4	no	—
52	C₃×C₄×D₄	—	2	4	no	—
53	C₃×C₄×D₄	—	2	4	no	—
54	C₃×C₄×D₄	—	2	4	no	—
55	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
58	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
59	C₂×C₃×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₃×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	4	yes	—
62	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	4	yes	—
63	C₂×C₃×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₃×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₃⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂²×C₃⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
67	#830	—	2	4	no	—
68	#830	—	2	4	no	—
69	#830	—	4	16	no	—
70	C₄⋊(C₃⋊C₈)	—	2	4	no	—
71	C₄⋊(C₃⋊C₈)	—	2	4	no	—
72	#803	—	2	4	no	—
73	C₄×C₃⋊C₈	—	2	4	no	—
74	C₂²×#41	C₂×D₃	1	2	yes	—
75	#532	—	2	4	no	—
76	#532	—	2	4	no	—
77	C₂×C₄⋊Q₈	Dic₃	1	1	yes	characteristic
78	C₂×#127	Dic₃	1	1	yes	characteristic
79	C₂×#124	Dic₃	1	2	yes	—
80	C₂×#121	Dic₃	1	2	yes	—
81	C₂×#121	Dic₃	1	2	yes	—
82	C₂×C₄×D₄	C₂×D₃	1	2	yes	—
83	C₂×C₄×D₄	C₂×D₃	1	2	yes	—
84	C₂²×C₄²	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
85	#432	—	6	4	no	—
86	#431	—	6	4	no	—
87	C₂×C₄⋊C₈	—	3	2	no	—
88	C₂×C₄⋊C₈	—	3	2	no	—
89	C₂×C₂²⋊C₈	—	3	2	no	—
90	C₂×C₂²⋊C₈	—	3	2	no	—
91	C₂×C₂²⋊C₈	—	3	16	no	—
92	C₂×#97	—	3	2	no	—
93	C₂×C₄×C₈	—	3	2	no	—
94	C₂⁴×C₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
95	C₂⁴×C₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
96	C₃×#41	—	4	16	no	—
97	C₃×#41	—	4	16	no	—
98	C₂×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
99	C₂×C₃×Q₈	—	4	4	no	—
100	C₂×C₃×D₄	—	2	8	no	—
101	C₂×C₃×D₄	—	2	4	no	—
102	C₂×C₃×D₄	—	2	4	no	—
103	C₂×C₃×D₄	—	2	4	no	—
104	C₂×C₃×D₄	—	2	8	no	—
105	C₂×C₃×D₄	—	4	4	no	—
106	C₂×C₃×D₄	—	4	4	no	—
107	C₂×C₃×D₄	—	4	8	no	—
108	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
109	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
110	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
111	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
112	C₂²×C₃×C₄	—	2	16	no	—
113	C₂²×C₃×C₄	—	4	2	no	—
114	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
115	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
116	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
117	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
123	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
125	C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
127	C₃×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
128	C₃×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
129	C₃×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
130	C₃×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
131	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₃⋊C₈	—	2	4	no	—
136	C₂×C₃⋊C₈	—	2	4	no	—
137	C₂×C₃⋊C₈	—	2	8	no	—
138	C₂×C₃⋊C₈	—	2	8	no	—
139	C₂×#41	—	2	4	no	—
140	C₂×#41	—	2	4	no	—
141	C₂×#41	—	4	8	no	—
142	C₂²×Q₈	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
143	C₂²×D₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
144	C₂²×D₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
145	C₂²×D₄	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
146	C₂²×D₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
147	C₂³×C₄	C₂×Dic₃	1	1	yes	characteristic
148	C₂³×C₄	C₂×Dic₃	1	1	yes	characteristic
149	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	4	yes	—
150	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₈	—	3	4	no	—
152	C₂²×C₈	—	3	4	no	—
153	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
154	#127	—	2	4	no	—
155	#124	—	2	8	no	—
156	#121	—	2	8	no	—
157	#121	—	2	8	no	—
158	C₄×D₄	—	2	4	no	—
159	C₄×D₄	—	2	4	no	—
160	C₄×D₄	—	2	4	no	—
161	C₄×D₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
163	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂×Dic₃	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄²	C₂×Dic₃	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄²	#67	1	4	yes	—
169	C₂×C₄²	#67	1	4	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄²	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
172	C₄⋊C₈	—	6	4	no	—
173	C₄⋊C₈	—	6	4	no	—
174	C₂²⋊C₈	—	6	4	no	—
175	C₂²⋊C₈	—	6	4	no	—
176	C₂²⋊C₈	—	12	16	no	—
177	#97	—	6	4	no	—
178	C₄×C₈	—	6	4	no	—
179	C₂³×C₃	—	2	2	no	—
180	C₂³×C₃	—	2	2	no	—
181	C₂³×C₃	—	2	2	no	—
182	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
183	C₂³×C₃	—	2	8	no	—
184	C₂³×C₃	—	2	8	no	—
185	C₂³×C₃	—	2	8	no	—
186	C₂³×C₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
187	C₂³×C₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
188	C₃×Q₈	—	4	8	no	—
189	C₃×D₄	—	4	8	no	—
190	C₃×D₄	—	4	8	no	—
191	C₃×D₄	—	4	16	no	—
192	C₃×D₄	—	4	8	no	—
193	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
200	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
202	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
203	C₂×C₃×C₄	—	4	8	no	—
204	C₂×C₃×C₄	—	4	8	no	—
205	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
206	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
207	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
208	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
209	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
210	C₂×C₃×C₄	#131	1	4	yes	—
211	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂×C₃×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
214	C₃⋊C₈	—	4	4	no	—
215	C₃⋊C₈	—	4	4	no	—
216	C₂⁴	C₂²×Dic₃	1	4	yes	—
217	C₂⁴	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
218	#41	—	4	16	no	—
219	#41	—	4	16	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
221	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
222	C₂×D₄	—	2	8	no	—
223	C₂×D₄	—	2	8	no	—
224	C₂×D₄	—	2	4	no	—
225	C₂×D₄	—	2	4	no	—
226	C₂×D₄	—	2	4	no	—
227	C₂×D₄	—	4	4	no	—
228	C₂×D₄	—	4	8	no	—
229	C₂×D₄	—	4	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
236	C₂²×C₄	#217	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	#217	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	4	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
247	C₂×C₈	—	6	8	no	—
248	C₂×C₈	—	6	8	no	—
249	C₂×C₈	—	6	4	no	—
250	C₂×C₈	—	6	4	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
255	C₄²	#217	1	4	yes	—
256	C₄²	#217	1	4	yes	—
257	C₄²	C₂×#67	1	2	yes	—
258	C₄²	C₂×#67	1	2	yes	—
259	C₄²	C₂×#67	1	2	yes	—
260	C₄²	C₂×#67	1	2	yes	—
261	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
262	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
263	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
264	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
265	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
266	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
267	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
268	C₂²×C₃	—	4	16	no	—
269	C₂²×C₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₃	#518	1	2	yes	—
271	C₂²×C₃	C₂×#131	1	2	yes	—
272	C₂²×C₃	#568	1	2	yes	—
273	C₃×C₄	—	2	2	no	—
274	C₃×C₄	—	2	2	no	—
275	C₃×C₄	—	2	2	no	—
276	C₃×C₄	—	2	2	no	—
277	C₃×C₄	—	4	4	no	—
278	C₃×C₄	#408	1	4	yes	—
279	C₃×C₄	#535	1	2	yes	—
280	C₃×C₄	#535	1	2	yes	—
281	C₂³	—	2	2	no	—
282	C₂³	—	2	2	no	—
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	—	2	8	no	—
285	C₂³	—	2	8	no	—
286	C₂³	—	2	8	no	—
287	C₂³	—	2	4	no	—
288	C₂³	C₂×#217	1	2	yes	—
289	C₂³	C₂³×Dic₃	1	1	yes	characteristic
290	Q₈	—	4	8	no	—
291	D₄	—	4	8	no	—
292	D₄	—	4	8	no	—
293	D₄	—	4	16	no	—
294	D₄	—	4	8	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	8	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	8	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	4	4	no	—
305	C₂×C₄	—	4	8	no	—
306	C₂×C₄	—	4	8	no	—
307	C₂×C₄	#948	1	4	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
311	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	#1004	1	4	yes	—
314	C₂×C₄	C₂²×#67	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₂²×#67	1	1	yes	characteristic
316	C₈	—	12	4	no	—
317	C₈	—	12	4	no	—
318	C₂×C₃	—	4	2	no	—
319	C₂×C₃	—	8	4	no	—
320	C₂×C₃	#2309	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₃	C₂×#408	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₃	#2879	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₃	#2981	1	4	yes	—
324	C₂²	—	2	2	no	—
325	C₂²	—	2	2	no	—
326	C₂²	—	2	2	no	—
327	C₂²	—	4	4	no	—
328	C₂²	—	4	4	no	—
329	C₂²	—	4	16	no	—
330	C₂²	—	4	4	no	—
331	C₂²	—	4	4	no	—
332	C₂²	#5798	1	2	yes	—
333	C₂²	C₂×#948	1	2	yes	—
334	C₂²	#5819	1	2	yes	—
335	C₂²	C₂²×#217	1	1	yes	characteristic
336	C₄	—	2	2	no	—
337	C₄	—	2	2	no	—
338	C₄	—	2	2	no	—
339	C₄	—	2	2	no	—
340	C₄	—	4	4	no	—
341	C₄	#5234	1	4	yes	—
342	C₄	#5805	1	2	yes	—
343	C₄	#5805	1	2	yes	—
344	C₃	#21789	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
345	C₂	—	4	2	no	—
346	C₂	—	8	4	no	—
347	C₂	#83280	1	4	yes	—
348	C₂	#84044	1	1	yes	characteristic
349	C₂	C₂×#5234	1	1	yes	characteristic
350	C₂	#84074	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₃
commutator, socle	C₂³×C₃	C₂³×C₄
Fitting, prime radical	C₂×C₃×#532	C₂
cosocle	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴
hypercenter	C₂×#532	D₃
hypocenter	C₃	#21789
LCS	G ▷ C₂³×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×#532

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#4926	C₂	semidirect
3. C₂×#4925	C₂	semidirect
4. #72136	C₂	semidirect
5. #71615	C₂	semidirect
6. #71614	C₂	semidirect
344. C₃	#21789	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₃×#532	2
C₂×#4926	2
C₂×#4925	2
#72136	2
#71615	2
#71614	2
#21789	3