Subgroups — #10804433

Order 768.

1346 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 238 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₃×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#4926	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#72136	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#71615	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#21791	—	3	1	no	maximal, Sylow
6	C₂²×C₃×#41	C₂²	1	2	yes	—
7	C₃×#532	—	2	8	no	—
8	C₂×C₃×C₄⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
9	C₂×C₃×#127	C₄	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₃×#124	C₄	1	2	yes	—
11	C₂×C₃×#121	C₄	1	4	yes	—
12	C₂×C₃×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂²×C₃×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#830	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#830	C₂²	1	16	yes	—
16	#4926	—	2	8	no	—
17	C₂×C₄⋊(C₃⋊C₈)	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#803	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#532	D₃	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#432	—	3	2	no	—
21	#1955	—	3	8	no	—
22	#1780	—	3	4	no	—
23	C₂×C₃×#41	—	2	8	no	—
24	C₂×C₃×#41	—	4	8	no	—
25	C₂²×C₃×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
26	C₂²×C₃×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
27	C₂²×C₃×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
28	C₂²×C₃×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
29	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
30	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	4	yes	—
31	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
32	C₃×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
33	C₃×#127	—	2	4	no	—
34	C₃×#124	—	2	8	no	—
35	C₃×#121	—	2	16	no	—
36	C₃×C₄×D₄	—	2	8	no	—
37	C₃×C₄×D₄	—	2	8	no	—
38	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
40	C₂×C₃×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₃×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	8	yes	—
43	C₂×C₃×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂²×C₃⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
45	#830	—	2	8	no	—
46	#830	—	4	16	no	—
47	C₄⋊(C₃⋊C₈)	—	2	8	no	—
48	#803	—	2	8	no	—
49	C₂²×#41	C₂×D₃	1	2	yes	—
50	#532	—	2	8	no	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	Dic₃	1	1	yes	characteristic
52	C₂×#127	Dic₃	1	1	yes	characteristic
53	C₂×#124	Dic₃	1	2	yes	—
54	C₂×#121	Dic₃	1	4	yes	—
55	C₂×C₄×D₄	C₂×D₃	1	4	yes	—
56	C₂²×C₄²	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
57	#432	—	6	8	no	—
58	C₂×C₄⋊C₈	—	3	4	no	—
59	C₂×C₂²⋊C₈	—	3	4	no	—
60	C₂×C₂²⋊C₈	—	3	16	no	—
61	C₂×#97	—	3	4	no	—
62	C₂⁴×C₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
63	C₂⁴×C₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₃×#41	—	4	32	no	—
65	C₂×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
66	C₂×C₃×Q₈	—	4	4	no	—
67	C₂×C₃×D₄	—	2	8	no	—
68	C₂×C₃×D₄	—	2	8	no	—
69	C₂×C₃×D₄	—	2	4	no	—
70	C₂×C₃×D₄	—	4	8	no	—
71	C₂×C₃×D₄	—	4	4	no	—
72	C₂×C₃×D₄	—	4	8	no	—
73	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
74	C₂²×C₃×C₄	—	2	8	no	—
75	C₂²×C₃×C₄	—	2	16	no	—
76	C₂²×C₃×C₄	—	4	4	no	—
77	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
78	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
79	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
81	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
82	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
83	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
84	C₃×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
85	C₃×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
86	C₃×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
87	C₃×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
88	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
89	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
90	C₂×C₃⋊C₈	—	2	8	no	—
91	C₂×C₃⋊C₈	—	2	16	no	—
92	C₂×#41	—	2	8	no	—
93	C₂×#41	—	4	8	no	—
94	C₂²×Q₈	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
95	C₂²×D₄	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
96	C₂²×D₄	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
97	C₂²×D₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
98	C₂³×C₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	4	yes	—
100	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×C₈	—	3	8	no	—
102	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
103	#127	—	2	4	no	—
104	#124	—	2	8	no	—
105	#121	—	2	16	no	—
106	C₄×D₄	—	2	8	no	—
107	C₄×D₄	—	2	8	no	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
109	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₃	1	8	yes	—
110	C₂×C₄²	C₂×Dic₃	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₄²	C₂×Dic₃	1	1	yes	characteristic
112	C₂×C₄²	#67	1	8	yes	—
113	C₂×C₄²	C₂²×D₃	1	2	yes	—
114	C₄⋊C₈	—	6	8	no	—
115	C₂²⋊C₈	—	6	8	no	—
116	C₂²⋊C₈	—	12	16	no	—
117	#97	—	6	8	no	—
118	C₂³×C₃	—	2	2	no	—
119	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
120	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
121	C₂³×C₃	—	2	8	no	—
122	C₂³×C₃	—	2	16	no	—
123	C₂³×C₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
124	C₂³×C₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₃×Q₈	—	4	8	no	—
126	C₃×D₄	—	4	16	no	—
127	C₃×D₄	—	4	8	no	—
128	C₃×D₄	—	4	16	no	—
129	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
130	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
131	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
132	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
133	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
134	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
135	C₂×C₃×C₄	—	4	8	no	—
136	C₂×C₃×C₄	—	4	16	no	—
137	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
138	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
139	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
140	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₃×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
142	C₃⋊C₈	—	4	8	no	—
143	C₂⁴	C₂²×Dic₃	1	4	yes	—
144	C₂⁴	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
145	#41	—	4	32	no	—
146	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
147	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
148	C₂×D₄	—	2	8	no	—
149	C₂×D₄	—	2	8	no	—
150	C₂×D₄	—	2	4	no	—
151	C₂×D₄	—	4	4	no	—
152	C₂×D₄	—	4	8	no	—
153	C₂×D₄	—	4	8	no	—
154	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
155	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
157	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
158	C₂²×C₄	#217	1	8	yes	—
159	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	4	yes	—
160	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	2	yes	—
162	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	2	yes	—
163	C₂²×C₄	C₂×#67	1	4	yes	—
164	C₂²×C₄	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₈	—	6	16	no	—
166	C₂×C₈	—	6	8	no	—
167	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
168	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
169	C₄²	#217	1	4	yes	—
170	C₄²	#217	1	4	yes	—
171	C₄²	C₂×#67	1	4	yes	—
172	C₄²	C₂×#67	1	4	yes	—
173	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₃	—	2	4	no	—
175	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
176	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
177	C₂²×C₃	—	4	8	no	—
178	C₂²×C₃	—	4	16	no	—
179	C₂²×C₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂²×C₃	#518	1	2	yes	—
181	C₂²×C₃	#568	1	4	yes	—
182	C₃×C₄	—	2	2	no	—
183	C₃×C₄	—	2	4	no	—
184	C₃×C₄	—	2	4	no	—
185	C₃×C₄	—	4	4	no	—
186	C₃×C₄	#535	1	4	yes	—
187	C₂³	—	2	2	no	—
188	C₂³	—	2	4	no	—
189	C₂³	—	2	8	no	—
190	C₂³	—	2	16	no	—
191	C₂³	—	2	4	no	—
192	C₂³	C₂×#217	1	2	yes	—
193	C₂³	C₂³×Dic₃	1	1	yes	characteristic
194	Q₈	—	4	8	no	—
195	D₄	—	4	8	no	—
196	D₄	—	4	16	no	—
197	D₄	—	4	16	no	—
198	C₂×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂×C₄	—	2	8	no	—
202	C₂×C₄	—	2	8	no	—
203	C₂×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂×C₄	—	4	8	no	—
205	C₂×C₄	—	4	16	no	—
206	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
207	C₂×C₄	C₂×#217	1	4	yes	—
208	C₂×C₄	C₂×#217	1	4	yes	—
209	C₂×C₄	#1004	1	4	yes	—
210	C₂×C₄	C₂²×#67	1	2	yes	—
211	C₈	—	12	8	no	—
212	C₂×C₃	—	4	2	no	—
213	C₂×C₃	—	8	4	no	—
214	C₂×C₃	#2309	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₃	#2879	1	2	yes	—
216	C₂×C₃	#2980	1	4	yes	—
217	C₂²	—	2	2	no	—
218	C₂²	—	2	4	no	—
219	C₂²	—	4	4	no	—
220	C₂²	—	4	4	no	—
221	C₂²	—	4	16	no	—
222	C₂²	—	4	8	no	—
223	C₂²	#5798	1	2	yes	—
224	C₂²	#5819	1	4	yes	—
225	C₂²	C₂²×#217	1	1	yes	characteristic
226	C₄	—	2	2	no	—
227	C₄	—	2	4	no	—
228	C₄	—	2	4	no	—
229	C₄	—	4	4	no	—
230	C₄	#5805	1	4	yes	—
231	C₃	#21791	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
232	C₂	—	4	2	no	—
233	C₂	—	8	4	no	—
234	C₂	#83279	1	4	yes	—
235	C₂	#84044	1	1	yes	characteristic
236	C₂	#84074	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₃
commutator, socle	C₂³×C₃	C₂³×C₄
Fitting, prime radical	C₂×C₃×#532	C₂
cosocle	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴
hypercenter	C₂×#532	D₃
hypocenter	C₃	#21791
LCS	G ▷ C₂³×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×#532

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#4926	C₂	semidirect
3. #72136	C₂	semidirect
4. #71615	C₂	semidirect
231. C₃	#21791	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₃×#532	2
C₂×#4926	2
#72136	2
#71615	2
#21791	3