Subgroups — #10804464

Order 768.

1386 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 286 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₃×#124	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#82049	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#72133	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#72129	C₂	1	2	yes	maximal
5	#71727	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#21798	—	3	1	no	maximal, Sylow
7	C₂³×C₃×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
8	C₂³×C₃×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×C₃×#124	—	2	4	no	—
10	C₂×C₃×#124	—	2	4	no	—
11	C₂×C₃×#124	C₄	1	4	yes	—
12	C₂×C₃×#124	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂²×C₃×C₂²⋊C₄	C₄	1	4	yes	—
14	C₂²×C₃×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#836	C₂²	1	8	yes	complemented
16	C₂×#833	C₂²	1	8	yes	—
17	#5207	C₂²	1	4	yes	—
18	#4926	—	2	4	no	—
19	#4925	—	2	4	no	—
20	#4924	C₂²	1	4	yes	complemented
21	C₄×#208	C₂²	1	4	yes	complemented
22	C₂²×#124	D₃	1	1	yes	characteristic
23	#2920	—	3	2	no	—
24	#1967	—	3	8	no	—
25	#1784	—	3	2	no	—
26	#1783	—	3	2	no	—
27	C₂⁵×C₃	C₂×C₄	1	2	yes	—
28	C₂²×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
29	C₂²×C₃×Q₈	—	4	4	no	—
30	C₂²×C₃×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
31	C₂²×C₃×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
32	C₂²×C₃×D₄	—	2	4	no	—
33	C₂²×C₃×D₄	—	4	4	no	—
34	C₂²×C₃×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
35	C₂²×C₃×D₄	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₃×#124	—	2	4	no	—
40	C₃×#124	—	2	8	no	—
41	C₃×#124	—	2	4	no	—
42	C₃×#124	—	2	4	no	—
43	C₃×#124	—	2	4	no	—
44	C₃×#124	—	2	8	no	—
45	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
46	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
47	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
48	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
49	C₂×C₃×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	4	yes	—
51	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	4	yes	—
52	C₂×C₃×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×#208	C₂³	1	8	yes	—
54	#836	—	4	8	no	—
55	#833	—	4	8	no	—
56	#830	—	2	8	no	—
57	C₄⋊(C₃⋊C₈)	—	2	8	no	—
58	#803	—	2	4	no	—
59	C₄×C₃⋊C₈	—	2	4	no	—
60	C₂³×Q₈	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
61	C₂³×D₄	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
62	C₂×#124	—	2	4	no	—
63	C₂×#124	—	2	4	no	—
64	C₂×#124	Dic₃	1	4	yes	—
65	C₂×#124	C₂×D₃	1	4	yes	—
66	C₂²×C₂²⋊C₄	Dic₃	1	4	yes	—
67	C₂²×C₄²	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
68	#432	—	6	4	no	—
69	#431	—	6	4	no	—
70	#423	—	3	4	no	—
71	C₂×#101	—	3	8	no	—
72	C₂×#100	—	3	8	no	—
73	#407	—	3	4	no	—
74	C₄×M₁₆	—	3	4	no	—
75	C₂⁴×C₃	—	2	4	no	—
76	C₂⁴×C₃	—	4	4	no	—
77	C₂⁴×C₃	—	4	8	no	—
78	C₂⁴×C₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂⁴×C₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
80	C₂×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
81	C₂×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
82	C₂×C₃×Q₈	—	2	8	no	—
83	C₂×C₃×Q₈	—	4	4	no	—
84	C₂×C₃×Q₈	—	4	16	no	—
85	C₂×C₃×D₄	—	2	4	no	—
86	C₂×C₃×D₄	—	2	4	no	—
87	C₂×C₃×D₄	—	2	8	no	—
88	C₂×C₃×D₄	—	4	4	no	—
89	C₂×C₃×D₄	—	4	16	no	—
90	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
91	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
92	C₂²×C₃×C₄	—	4	4	no	—
93	C₂²×C₃×C₄	—	4	4	no	—
94	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
95	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
96	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
97	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
98	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
100	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
101	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
102	C₃×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
103	C₃×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
104	C₃×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
105	C₃×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
106	C₃×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
107	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
109	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
110	#208	—	2	16	no	—
111	C₂×C₃⋊C₈	—	2	8	no	—
112	C₂⁵	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
113	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
114	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
115	C₂²×Q₈	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
116	C₂²×Q₈	C₂²×D₃	1	2	yes	—
117	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
118	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
119	C₂²×D₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
120	C₂²×D₄	C₂²×D₃	1	2	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
123	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
124	C₂×M₁₆	—	3	8	no	—
125	#124	—	2	4	no	—
126	#124	—	2	8	no	—
127	#124	—	2	4	no	—
128	#124	—	2	4	no	—
129	#124	—	2	4	no	—
130	#124	—	2	8	no	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₃	1	16	yes	—
135	C₂×C₄²	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
136	C₂×C₄²	#67	1	4	yes	—
137	C₂×C₄²	#67	1	4	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂²×D₃	1	2	yes	—
139	C₄⋊C₈	—	6	8	no	—
140	#101	—	12	8	no	—
141	#100	—	12	8	no	—
142	C₂²⋊C₈	—	6	8	no	—
143	#97	—	6	4	no	—
144	C₄×C₈	—	6	4	no	—
145	C₂³×C₃	—	2	2	no	—
146	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
147	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
148	C₂³×C₃	—	2	8	no	—
149	C₂³×C₃	—	4	8	no	—
150	C₂³×C₃	—	4	8	no	—
151	C₂³×C₃	—	4	8	no	—
152	C₂³×C₃	—	4	8	no	—
153	C₂³×C₃	—	8	16	no	—
154	C₂³×C₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
155	C₂³×C₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
156	C₃×Q₈	—	4	8	no	—
157	C₃×Q₈	—	4	8	no	—
158	C₃×D₄	—	4	8	no	—
159	C₃×D₄	—	4	8	no	—
160	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
162	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
163	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
164	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
165	C₂×C₃×C₄	—	4	2	no	—
166	C₂×C₃×C₄	—	4	2	no	—
167	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
168	C₂×C₃×C₄	—	4	8	no	—
169	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
171	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
172	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₃×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
174	C₃⋊C₈	—	4	8	no	—
175	C₂⁴	—	2	4	no	—
176	C₂⁴	—	4	4	no	—
177	C₂⁴	—	4	8	no	—
178	C₂⁴	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
179	C₂⁴	C₂²×Dic₃	1	4	yes	—
180	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
181	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
182	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
183	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
184	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
185	C₂×D₄	—	2	4	no	—
186	C₂×D₄	—	2	8	no	—
187	C₂×D₄	—	2	4	no	—
188	C₂×D₄	—	4	4	no	—
189	C₂×D₄	—	4	16	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
194	C₂²×C₄	#217	1	4	yes	—
195	C₂²×C₄	#217	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	#217	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	4	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	4	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂×#67	1	4	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
202	M₁₆	—	6	16	no	—
203	C₂×C₈	—	6	8	no	—
204	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
205	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
206	C₄²	#217	1	2	yes	—
207	C₄²	#217	1	4	yes	—
208	C₄²	#217	1	2	yes	—
209	C₄²	C₂×#67	1	2	yes	—
210	C₄²	C₂×#67	1	2	yes	—
211	C₄²	C₂×#67	1	4	yes	—
212	C₂²×C₃	—	2	8	no	—
213	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
217	C₂²×C₃	—	4	8	no	—
218	C₂²×C₃	—	8	8	no	—
219	C₂²×C₃	—	8	16	no	—
220	C₂²×C₃	#413	1	4	yes	—
221	C₂²×C₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₃	#518	1	2	yes	—
223	C₃×C₄	—	2	2	no	—
224	C₃×C₄	—	2	4	no	—
225	C₃×C₄	—	2	4	no	—
226	C₃×C₄	—	4	4	no	—
227	C₃×C₄	#535	1	4	yes	—
228	C₂³	—	2	4	no	—
229	C₂³	—	2	2	no	—
230	C₂³	—	2	4	no	—
231	C₂³	—	2	8	no	—
232	C₂³	—	4	8	no	—
233	C₂³	—	4	8	no	—
234	C₂³	—	4	8	no	—
235	C₂³	—	4	8	no	—
236	C₂³	—	8	16	no	—
237	C₂³	C₂×#217	1	2	yes	—
238	C₂³	C₂³×Dic₃	1	1	yes	characteristic
239	Q₈	—	4	8	no	—
240	Q₈	—	4	8	no	—
241	D₄	—	4	8	no	—
242	D₄	—	4	8	no	—
243	C₂×C₄	—	2	8	no	—
244	C₂×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂×C₄	—	2	8	no	—
246	C₂×C₄	—	2	8	no	—
247	C₂×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂×C₄	—	4	2	no	—
249	C₂×C₄	—	4	2	no	—
250	C₂×C₄	—	4	4	no	—
251	C₂×C₄	—	4	8	no	—
252	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
253	C₂×C₄	C₂×#217	1	4	yes	—
254	C₂×C₄	C₂×#217	1	4	yes	—
255	C₂×C₄	#1004	1	4	yes	—
256	C₂×C₄	C₂²×#67	1	2	yes	—
257	C₈	—	12	8	no	—
258	C₂×C₃	—	2	2	no	—
259	C₂×C₃	—	2	4	no	—
260	C₂×C₃	—	8	4	no	—
261	C₂×C₃	#2309	1	1	yes	characteristic
262	C₂×C₃	C₂×#413	1	2	yes	—
263	C₂²	—	2	8	no	—
264	C₂²	—	2	2	no	—
265	C₂²	—	2	2	no	—
266	C₂²	—	2	2	no	—
267	C₂²	—	4	4	no	—
268	C₂²	—	4	8	no	—
269	C₂²	—	8	8	no	—
270	C₂²	—	8	16	no	—
271	C₂²	#5237	1	4	yes	—
272	C₂²	#5798	1	2	yes	—
273	C₂²	C₂²×#217	1	1	yes	characteristic
274	C₄	—	2	2	no	—
275	C₄	—	2	4	no	—
276	C₄	—	2	4	no	—
277	C₄	—	4	4	no	—
278	C₄	#5805	1	4	yes	—
279	C₃	#21798	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
280	C₂	—	2	4	no	—
281	C₂	—	2	2	no	—
282	C₂	—	8	4	no	—
283	C₂	#84044	1	1	yes	characteristic
284	C₂	C₂×#5237	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂²×#217
commutator	C₂³×C₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₃
Fitting	C₂²×C₃×#124	C₂
socle	C₂²×C₃	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂³×C₃×D₄	C₂²
cosocle	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴
hypercenter	C₂²×#124	D₃
hypocenter	C₃	#21798
LCS	G ▷ C₂³×C₃ ▷ C₂×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂²×#124

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #82049	C₂	semidirect
3. #72133	C₂	semidirect
5. #71727	C₂	semidirect
15. C₂×#836	C₂²	semidirect
20. #4924	C₂²	semidirect
21. C₄×#208	C₂²	semidirect
279. C₃	#21798	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₃×#124	2
#82049	2
#72133	2
#72129	2
#71727	2
#21798	3