Subgroups — #10804468

Order 768.

1258 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 222 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₃×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#82049	C₂	1	2	yes	maximal
3	#72133	C₂	1	4	yes	maximal
4	#71789	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#21799	—	3	1	no	maximal, Sylow
6	C₂³×C₃×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
7	C₂×C₃×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
8	C₂×C₃×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
9	C₂×C₃×C₄⋊Q₈	C₄	1	4	yes	—
10	C₂×C₃×C₄⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂²×C₃×C₄⋊C₄	C₄	1	4	yes	—
12	C₂²×C₃×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#836	C₂²	1	16	yes	—
14	#5207	C₂²	1	4	yes	—
15	#4926	—	2	4	no	—
16	#4925	—	2	4	no	—
17	#4924	C₂²	1	4	yes	—
18	C₄×#208	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂²×C₄⋊Q₈	D₃	1	1	yes	characteristic
20	#2920	—	3	2	no	—
21	#1966	—	3	8	no	—
22	#1784	—	3	4	no	—
23	C₂²×C₃×Q₈	—	2	8	no	—
24	C₂²×C₃×Q₈	—	4	8	no	—
25	C₂²×C₃×Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
26	C₂²×C₃×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
27	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
28	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
29	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
30	C₃×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
31	C₃×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
32	C₃×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
33	C₃×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
34	C₃×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
35	C₃×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
36	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
37	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
38	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
39	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
40	C₂×C₃×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	4	yes	—
42	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	4	yes	—
43	C₂×C₃×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×#208	C₂³	1	8	yes	—
45	#836	—	4	16	no	—
46	#830	—	2	8	no	—
47	C₄⋊(C₃⋊C₈)	—	2	8	no	—
48	#803	—	2	4	no	—
49	C₄×C₃⋊C₈	—	2	4	no	—
50	C₂³×Q₈	C₂×D₃	1	2	yes	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	Dic₃	1	4	yes	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₃	1	4	yes	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	Dic₃	1	4	yes	—
56	C₂²×C₄²	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
57	#432	—	6	4	no	—
58	#431	—	6	4	no	—
59	#423	—	3	4	no	—
60	C₂×#101	—	3	16	no	—
61	#407	—	3	4	no	—
62	C₄×M₁₆	—	3	4	no	—
63	C₂⁴×C₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₃×Q₈	—	2	8	no	—
65	C₂×C₃×Q₈	—	2	8	no	—
66	C₂×C₃×Q₈	—	2	16	no	—
67	C₂×C₃×Q₈	—	4	8	no	—
68	C₂×C₃×Q₈	—	4	32	no	—
69	C₂²×C₃×C₄	—	2	8	no	—
70	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
71	C₂²×C₃×C₄	—	2	8	no	—
72	C₂²×C₃×C₄	—	4	8	no	—
73	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
74	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
75	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
76	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
77	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
79	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
80	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
81	C₃×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
82	C₃×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
83	C₃×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
84	C₃×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
85	C₃×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
86	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
87	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
88	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
89	#208	—	2	16	no	—
90	C₂×C₃⋊C₈	—	2	8	no	—
91	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
92	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
93	C₂²×Q₈	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
94	C₂²×Q₈	C₂²×D₃	1	4	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
98	C₂×M₁₆	—	3	8	no	—
99	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
100	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
101	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
102	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
103	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
104	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
105	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
107	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₃	1	16	yes	—
109	C₂×C₄²	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
110	C₂×C₄²	#67	1	4	yes	—
111	C₂×C₄²	#67	1	4	yes	—
112	C₂×C₄²	C₂²×D₃	1	2	yes	—
113	C₄⋊C₈	—	6	8	no	—
114	#101	—	12	16	no	—
115	C₂²⋊C₈	—	6	8	no	—
116	#97	—	6	4	no	—
117	C₄×C₈	—	6	4	no	—
118	C₂³×C₃	—	2	2	no	—
119	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
120	C₂³×C₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
121	C₂³×C₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₃×Q₈	—	4	16	no	—
123	C₃×Q₈	—	4	16	no	—
124	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
125	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
127	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
128	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
129	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
130	C₂×C₃×C₄	—	2	16	no	—
131	C₂×C₃×C₄	—	4	16	no	—
132	C₂×C₃×C₄	#101	1	8	yes	complemented
133	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
135	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
136	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₃×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
138	C₃⋊C₈	—	4	8	no	—
139	C₂⁴	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
140	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
141	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
142	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
143	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
144	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
147	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
148	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
149	C₂²×C₄	#217	1	2	yes	—
150	C₂²×C₄	#217	1	4	yes	—
151	C₂²×C₄	#217	1	2	yes	—
152	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	8	yes	—
153	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	4	yes	—
155	C₂²×C₄	C₂×#67	1	4	yes	—
156	C₂²×C₄	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
157	M₁₆	—	6	16	no	—
158	C₂×C₈	—	6	8	no	—
159	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
160	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
161	C₄²	#217	1	2	yes	—
162	C₄²	#217	1	4	yes	—
163	C₄²	#217	1	2	yes	—
164	C₄²	C₂×#67	1	2	yes	—
165	C₄²	C₂×#67	1	2	yes	—
166	C₄²	C₂×#67	1	4	yes	—
167	C₂²×C₃	—	2	8	no	—
168	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
170	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₃	C₂×#101	1	4	yes	—
172	C₂²×C₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₃	#518	1	2	yes	—
174	C₃×C₄	—	2	2	no	—
175	C₃×C₄	—	2	4	no	—
176	C₃×C₄	—	4	8	no	—
177	C₃×C₄	C₂×#101	1	8	yes	—
178	C₃×C₄	#535	1	4	yes	—
179	C₂³	—	2	4	no	—
180	C₂³	—	2	2	no	—
181	C₂³	C₂×#217	1	2	yes	—
182	C₂³	C₂³×Dic₃	1	1	yes	characteristic
183	Q₈	—	4	16	no	—
184	Q₈	—	4	16	no	—
185	C₂×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄	—	2	8	no	—
188	C₂×C₄	—	2	8	no	—
189	C₂×C₄	—	2	8	no	—
190	C₂×C₄	—	2	16	no	—
191	C₂×C₄	—	2	8	no	—
192	C₂×C₄	—	4	16	no	—
193	C₂×C₄	#836	1	8	yes	complemented
194	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
195	C₂×C₄	C₂×#217	1	4	yes	—
196	C₂×C₄	C₂×#217	1	4	yes	—
197	C₂×C₄	#1004	1	4	yes	—
198	C₂×C₄	C₂²×#67	1	2	yes	—
199	C₈	—	12	8	no	—
200	C₂×C₃	—	2	2	no	—
201	C₂×C₃	—	2	4	no	—
202	C₂×C₃	#2309	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₃	C₂²×#101	1	2	yes	—
204	C₂²	—	2	8	no	—
205	C₂²	—	2	2	no	—
206	C₂²	—	2	2	no	—
207	C₂²	—	2	2	no	—
208	C₂²	C₂×#836	1	4	yes	—
209	C₂²	#5798	1	2	yes	—
210	C₂²	C₂²×#217	1	1	yes	characteristic
211	C₄	—	2	2	no	—
212	C₄	—	2	4	no	—
213	C₄	—	4	8	no	—
214	C₄	C₂×#836	1	8	yes	—
215	C₄	#5805	1	4	yes	—
216	C₃	#21799	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
217	C₂	—	2	4	no	—
218	C₂	—	2	2	no	—
219	C₂	#84044	1	1	yes	characteristic
220	C₂	C₂²×#836	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂²×#217
commutator	C₂³×C₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₃
Fitting	C₂²×C₃×C₄⋊Q₈	C₂
socle	C₂²×C₃	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂⁴×C₃	C₂²×C₄
cosocle	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴
hypercenter	C₂²×C₄⋊Q₈	D₃
hypocenter	C₃	#21799
LCS	G ▷ C₂³×C₃ ▷ C₂×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂²×C₄⋊Q₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #71789	C₂	semidirect
132. C₂×C₃×C₄	#101	semidirect
193. C₂×C₄	#836	semidirect
216. C₃	#21799	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₃×C₄⋊Q₈	2
#82049	2
#72133	2
#71789	2
#21799	3