Subgroups — #10804474

Order 768.

1310 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 376 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₃×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#82049	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#82049	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#72137	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#71789	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#71766	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#71727	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#21800	—	3	1	no	maximal, Sylow
9	C₂²×C₃×#41	C₂²	1	2	yes	—
10	C₃×#532	—	2	2	no	—
11	C₃×#532	—	2	2	no	—
12	C₃×#532	—	2	2	no	—
13	C₃×#532	—	2	2	no	—
14	C₂×C₃×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₃×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₃×#124	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₃×#121	C₄	1	4	yes	—
18	C₂×C₃×C₄×D₄	C₄	1	4	yes	—
19	C₂²×C₃×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#836	C₂²	1	8	yes	—
21	C₂×#833	C₂²	1	8	yes	—
22	#5207	C₂²	1	2	yes	—
23	#5207	C₂²	1	2	yes	—
24	#4926	—	2	2	no	—
25	#4926	—	2	2	no	—
26	#4925	—	2	2	no	—
27	#4925	—	2	2	no	—
28	#4924	C₂²	1	2	yes	—
29	#4924	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄×#208	C₂²	1	2	yes	—
31	C₄×#208	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#532	D₃	1	1	yes	characteristic
33	#2920	—	3	1	no	—
34	#2920	—	3	1	no	—
35	#1967	—	3	4	no	—
36	#1966	—	3	2	no	—
37	#1965	—	3	2	no	—
38	#1785	—	3	4	no	—
39	C₂×C₃×#41	—	2	4	no	—
40	C₂×C₃×#41	—	2	4	no	—
41	C₂×C₃×#41	—	4	8	no	—
42	C₂²×C₃×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×C₃×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂²×C₃×D₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
45	C₂²×C₃×D₄	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₃×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
50	C₃×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
51	C₃×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
52	C₃×#127	—	2	1	no	—
53	C₃×#127	—	2	1	no	—
54	C₃×#127	—	2	2	no	—
55	C₃×#124	—	2	2	no	—
56	C₃×#124	—	2	2	no	—
57	C₃×#124	—	2	4	no	—
58	C₃×#121	—	2	4	no	—
59	C₃×#121	—	2	4	no	—
60	C₃×#121	—	2	4	no	—
61	C₃×#121	—	2	4	no	—
62	C₃×C₄×D₄	—	2	4	no	—
63	C₃×C₄×D₄	—	2	4	no	—
64	C₃×C₄×D₄	—	2	4	no	—
65	C₃×C₄×D₄	—	2	4	no	—
66	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
67	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
68	C₂×C₃×C₄²	C₂×C₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	2	yes	—
70	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	2	yes	—
71	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	2	yes	—
72	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₃×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₃×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×#208	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂×#208	C₂³	1	4	yes	—
77	#836	—	4	8	no	—
78	#833	—	4	8	no	—
79	#830	—	2	4	no	—
80	#830	—	2	4	no	—
81	C₄⋊(C₃⋊C₈)	—	2	4	no	—
82	C₄⋊(C₃⋊C₈)	—	2	4	no	—
83	#803	—	2	2	no	—
84	#803	—	2	2	no	—
85	C₄×C₃⋊C₈	—	2	2	no	—
86	C₄×C₃⋊C₈	—	2	2	no	—
87	C₂²×#41	C₂×D₃	1	2	yes	—
88	#532	—	2	2	no	—
89	#532	—	2	2	no	—
90	#532	—	2	2	no	—
91	#532	—	2	2	no	—
92	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
93	C₂×#127	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
94	C₂×#124	C₂×D₃	1	2	yes	—
95	C₂×#121	Dic₃	1	4	yes	—
96	C₂×C₄×D₄	Dic₃	1	4	yes	—
97	C₂²×C₄²	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
98	#432	—	6	2	no	—
99	#432	—	6	2	no	—
100	#431	—	6	2	no	—
101	#431	—	6	2	no	—
102	#423	—	3	2	no	—
103	#423	—	3	2	no	—
104	C₂×#101	—	3	8	no	—
105	C₂×#100	—	3	8	no	—
106	#407	—	3	2	no	—
107	#407	—	3	2	no	—
108	C₄×M₁₆	—	3	2	no	—
109	C₄×M₁₆	—	3	2	no	—
110	C₂⁴×C₃	C₂²×C₄	1	4	yes	—
111	C₂⁴×C₃	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₃×#41	—	4	16	no	—
113	C₃×#41	—	4	16	no	—
114	C₂×C₃×Q₈	—	2	2	no	—
115	C₂×C₃×Q₈	—	2	2	no	—
116	C₂×C₃×Q₈	—	2	8	no	—
117	C₂×C₃×D₄	—	2	8	no	—
118	C₂×C₃×D₄	—	2	4	no	—
119	C₂×C₃×D₄	—	2	4	no	—
120	C₂×C₃×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂×C₃×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂×C₃×D₄	—	2	8	no	—
123	C₂×C₃×D₄	—	4	8	no	—
124	C₂×C₃×D₄	—	4	8	no	—
125	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
126	C₂²×C₃×C₄	—	2	8	no	—
127	C₂²×C₃×C₄	—	4	4	no	—
128	C₂²×C₃×C₄	—	4	8	no	—
129	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
130	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
131	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
132	C₂²×C₃×C₄	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
133	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
134	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
136	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
137	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
140	C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
141	C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
142	C₃×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
143	C₃×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
144	C₃×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
145	C₃×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
146	C₃×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
147	C₃×C₄²	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
148	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	#208	—	2	4	no	—
155	#208	—	2	8	no	—
156	#208	—	2	4	no	—
157	C₂×C₃⋊C₈	—	2	4	no	—
158	C₂×C₃⋊C₈	—	2	4	no	—
159	C₂×#41	—	2	4	no	—
160	C₂×#41	—	2	4	no	—
161	C₂×#41	—	4	8	no	—
162	C₂²×Q₈	C₂²×D₃	1	2	yes	—
163	C₂²×D₄	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
164	C₂²×D₄	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
165	C₂²×D₄	C₂²×D₃	1	2	yes	—
166	C₂³×C₄	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
167	C₂³×C₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
168	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
169	C₂×M₁₆	—	3	4	no	—
170	C₂×M₁₆	—	3	4	no	—
171	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
172	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
173	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
174	#127	—	2	1	no	—
175	#127	—	2	1	no	—
176	#127	—	2	2	no	—
177	#124	—	2	2	no	—
178	#124	—	2	2	no	—
179	#124	—	2	4	no	—
180	#121	—	2	4	no	—
181	#121	—	2	4	no	—
182	#121	—	2	4	no	—
183	#121	—	2	4	no	—
184	C₄×D₄	—	2	4	no	—
185	C₄×D₄	—	2	4	no	—
186	C₄×D₄	—	2	4	no	—
187	C₄×D₄	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
189	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₃	1	8	yes	—
190	C₂×C₄²	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
191	C₂×C₄²	#67	1	2	yes	—
192	C₂×C₄²	#67	1	2	yes	—
193	C₂×C₄²	#67	1	2	yes	—
194	C₂×C₄²	#67	1	2	yes	—
195	C₂×C₄²	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄²	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
197	C₄⋊C₈	—	6	4	no	—
198	C₄⋊C₈	—	6	4	no	—
199	#101	—	12	8	no	—
200	#100	—	12	8	no	—
201	C₂²⋊C₈	—	6	4	no	—
202	C₂²⋊C₈	—	6	4	no	—
203	#97	—	6	2	no	—
204	#97	—	6	2	no	—
205	C₄×C₈	—	6	2	no	—
206	C₄×C₈	—	6	2	no	—
207	C₂³×C₃	—	2	2	no	—
208	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
209	C₂³×C₃	—	2	8	no	—
210	C₂³×C₃	—	4	2	no	—
211	C₂³×C₃	—	4	8	no	—
212	C₂³×C₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
213	C₂³×C₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
214	C₃×Q₈	—	4	4	no	—
215	C₃×Q₈	—	4	4	no	—
216	C₃×D₄	—	4	8	no	—
217	C₃×D₄	—	4	16	no	—
218	C₃×D₄	—	4	4	no	—
219	C₃×D₄	—	4	4	no	—
220	C₃×D₄	—	4	8	no	—
221	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
229	C₂×C₃×C₄	—	4	2	no	—
230	C₂×C₃×C₄	—	4	2	no	—
231	C₂×C₃×C₄	—	4	2	no	—
232	C₂×C₃×C₄	—	4	16	no	—
233	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
234	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
235	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
236	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
237	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
238	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂×C₃×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
241	C₃⋊C₈	—	4	4	no	—
242	C₃⋊C₈	—	4	4	no	—
243	C₂⁴	C₂²×Dic₃	1	4	yes	—
244	C₂⁴	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
245	#41	—	4	16	no	—
246	#41	—	4	16	no	—
247	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
248	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
249	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
250	C₂×D₄	—	2	8	no	—
251	C₂×D₄	—	2	4	no	—
252	C₂×D₄	—	2	4	no	—
253	C₂×D₄	—	2	8	no	—
254	C₂×D₄	—	2	2	no	—
255	C₂×D₄	—	2	2	no	—
256	C₂×D₄	—	4	8	no	—
257	C₂×D₄	—	4	8	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
262	C₂²×C₄	#217	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	#217	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	#217	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	#217	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	4	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
268	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
273	M₁₆	—	6	4	no	—
274	M₁₆	—	6	8	no	—
275	M₁₆	—	6	4	no	—
276	C₂×C₈	—	6	4	no	—
277	C₂×C₈	—	6	4	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
282	C₄²	#217	1	2	yes	—
283	C₄²	#217	1	2	yes	—
284	C₄²	#217	1	2	yes	—
285	C₄²	#217	1	2	yes	—
286	C₄²	C₂×#67	1	1	yes	characteristic
287	C₄²	C₂×#67	1	1	yes	characteristic
288	C₄²	C₂×#67	1	1	yes	characteristic
289	C₄²	C₂×#67	1	1	yes	characteristic
290	C₄²	C₂×#67	1	2	yes	—
291	C₄²	C₂×#67	1	2	yes	—
292	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
293	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
294	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
295	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
296	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
297	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
298	C₂²×C₃	—	4	8	no	—
299	C₂²×C₃	—	8	8	no	—
300	C₂²×C₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
301	C₂²×C₃	#518	1	2	yes	—
302	C₃×C₄	—	2	2	no	—
303	C₃×C₄	—	2	2	no	—
304	C₃×C₄	—	2	2	no	—
305	C₃×C₄	—	2	2	no	—
306	C₃×C₄	—	4	4	no	—
307	C₃×C₄	#413	1	4	yes	—
308	C₃×C₄	#535	1	2	yes	—
309	C₃×C₄	#535	1	2	yes	—
310	C₂³	—	2	2	no	—
311	C₂³	—	2	4	no	—
312	C₂³	—	2	8	no	—
313	C₂³	—	4	2	no	—
314	C₂³	—	4	8	no	—
315	C₂³	C₂×#217	1	2	yes	—
316	C₂³	C₂³×Dic₃	1	1	yes	characteristic
317	Q₈	—	4	4	no	—
318	Q₈	—	4	4	no	—
319	D₄	—	4	8	no	—
320	D₄	—	4	16	no	—
321	D₄	—	4	8	no	—
322	D₄	—	4	4	no	—
323	D₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	4	no	—
326	C₂×C₄	—	2	4	no	—
327	C₂×C₄	—	2	4	no	—
328	C₂×C₄	—	2	4	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	2	8	no	—
331	C₂×C₄	—	2	4	no	—
332	C₂×C₄	—	4	2	no	—
333	C₂×C₄	—	4	2	no	—
334	C₂×C₄	—	4	2	no	—
335	C₂×C₄	—	4	16	no	—
336	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	C₂×#217	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#1004	1	4	yes	—
342	C₂×C₄	C₂²×#67	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂²×#67	1	1	yes	characteristic
344	C₈	—	12	4	no	—
345	C₈	—	12	4	no	—
346	C₂×C₃	—	2	2	no	—
347	C₂×C₃	—	4	2	no	—
348	C₂×C₃	—	8	4	no	—
349	C₂×C₃	#2309	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₃	C₂×#413	1	2	yes	—
351	C₂²	—	2	2	no	—
352	C₂²	—	2	2	no	—
353	C₂²	—	2	2	no	—
354	C₂²	—	2	2	no	—
355	C₂²	—	4	4	no	—
356	C₂²	—	4	4	no	—
357	C₂²	—	4	8	no	—
358	C₂²	—	8	8	no	—
359	C₂²	#5798	1	2	yes	—
360	C₂²	C₂²×#217	1	1	yes	characteristic
361	C₄	—	2	2	no	—
362	C₄	—	2	2	no	—
363	C₄	—	2	2	no	—
364	C₄	—	2	2	no	—
365	C₄	—	4	4	no	—
366	C₄	#5237	1	4	yes	—
367	C₄	#5805	1	2	yes	—
368	C₄	#5805	1	2	yes	—
369	C₃	#21800	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
370	C₂	—	2	2	no	—
371	C₂	—	4	2	no	—
372	C₂	—	8	4	no	—
373	C₂	#84044	1	1	yes	characteristic
374	C₂	C₂×#5237	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂²×#217
commutator	C₂³×C₃	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₃
Fitting, prime radical	C₂×C₃×#532	C₂
socle	C₂²×C₃	C₂²×C₂²⋊C₄
cosocle	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴
hypercenter	C₂×#532	D₃
hypocenter	C₃	#21800
LCS	G ▷ C₂³×C₃ ▷ C₂×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂×#532

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #82049	C₂	semidirect
3. #82049	C₂	semidirect
4. #72137	C₂	semidirect
5. #71789	C₂	semidirect
6. #71766	C₂	semidirect
7. #71727	C₂	semidirect
369. C₃	#21800	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₃×#532	2
#82049	2
#72137	2
#71789	2
#71766	2
#71727	2
#21800	3