Subgroups — #10813627

Order 768.

910 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 312 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₃×C₄×Q₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×Dic₃×Q₁₆	C₂	1	2	yes	maximal
3	#82460	C₂	1	2	yes	maximal
4	#71627	C₂	1	2	yes	maximal
5	#70612	C₂	1	2	yes	maximal
6	#70238	C₂	1	4	yes	maximal
7	#69766	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₈×C₄⋊Dic₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#22685	—	3	1	no	maximal, Sylow
10	C₂²×C₃×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₃×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×Q₈×Dic₃	C₂²	1	4	yes	—
13	C₃×C₄×Q₁₆	C₄	1	8	yes	complemented
14	C₂×C₃×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×C₃×#103	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₃×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#835	C₂²	1	4	yes	—
18	Dic₃×Q₁₆	—	2	8	no	—
19	C₂×#818	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#817	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₈×Dic₃	C₂²	1	2	yes	—
22	#4984	—	2	4	no	—
23	#4984	C₂²	1	4	yes	—
24	#4936	—	2	2	no	—
25	#4936	C₂²	1	2	yes	—
26	C₄×C₄⋊Dic₃	—	2	2	no	—
27	C₄×C₄⋊Dic₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₄⋊(C₃⋊C₈)	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#4550	C₂²	1	2	yes	—
30	#4529	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×C₄×Q₁₆	—	3	2	no	—
32	C₂×C₄×Q₁₆	D₃	1	1	yes	characteristic
33	#2351	—	3	2	no	—
34	#1942	—	3	2	no	—
35	#1865	—	3	4	no	—
36	#1846	—	3	1	no	—
37	#1805	—	3	2	no	—
38	C₈×C₄⋊C₄	—	3	1	no	—
39	C₂²×C₃×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂×C₃×Q₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
41	C₂×C₃×Q₁₆	D₄	1	4	yes	—
42	C₂×C₃×Q₁₆	Q₈	1	4	yes	—
43	C₂²×C₃×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×C₃×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₃×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
46	C₃×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
47	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
48	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×C₃×C₄²	—	2	2	no	—
50	C₂×C₃×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	Q₈×Dic₃	—	2	8	no	—
52	Q₈×Dic₃	—	4	4	no	—
53	C₂×C₄⋊Dic₃	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄⋊Dic₃	—	2	4	no	—
55	C₂×C₄⋊Dic₃	D₄	1	2	yes	—
56	C₂×C₄⋊Dic₃	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂×C₄×Dic₃	—	2	4	no	—
58	C₂×C₄×Dic₃	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂²×C₃⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
60	C₃×#107	C₂×C₄	1	4	yes	—
61	C₃×#103	C₂×C₄	1	8	yes	—
62	C₃×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	#835	—	2	8	no	—
64	C₃⋊#95	—	2	2	no	—
65	C₃⋊#95	—	2	2	no	—
66	C₃⋊#95	—	2	4	no	—
67	C₃⋊#95	D₄	1	1	yes	characteristic
68	C₃⋊#95	D₄	1	1	yes	characteristic
69	#818	—	2	4	no	—
70	#817	—	4	2	no	—
71	C₈×Dic₃	—	2	4	no	—
72	C₄⋊(C₃⋊C₈)	—	2	2	no	—
73	C₂²×Q₁₆	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄×Q₈	—	3	4	no	—
75	C₂×C₄×Q₈	C₂×D₃	1	2	yes	—
76	C₄×Q₁₆	—	6	8	no	—
77	C₄×Q₁₆	Dic₃	1	8	yes	complemented
78	C₂×#107	—	3	2	no	—
79	C₂×#107	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
80	C₂×#106	—	3	2	no	—
81	C₂×C₄⋊C₈	—	3	1	no	—
82	C₂×#103	—	3	4	no	—
83	C₂×#103	C₂×D₃	1	2	yes	—
84	C₂×C₄×C₈	—	3	2	no	—
85	C₂×C₄×C₈	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
86	#389	—	3	4	no	—
87	#389	—	6	4	no	—
88	#382	—	3	2	no	—
89	#382	—	6	2	no	—
90	C₄×C₄⋊C₄	—	3	1	no	—
91	C₄×C₄⋊C₄	—	6	2	no	—
92	#340	—	3	4	no	—
93	#336	—	3	2	no	—
94	C₂×C₃×Q₈	—	2	2	no	—
95	C₂×C₃×Q₈	—	2	2	no	—
96	C₂×C₃×Q₈	—	2	2	no	—
97	C₂×C₃×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
98	C₂×C₃×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
99	C₂×C₃×Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
100	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
101	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
102	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
106	C₂²×Dic₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
107	C₂²×Dic₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₃×Q₁₆	C₄⋊C₄	1	16	yes	complemented
109	C₂×C₃×C₈	—	2	1	no	—
110	C₂×C₃×C₈	—	2	1	no	—
111	C₂×C₃×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
112	C₂×C₃×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
113	C₂×C₃×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
114	C₂×C₃×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
115	C₃×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
116	C₃×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
117	C₃×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
118	C₃×C₄²	—	2	8	no	—
119	C₃×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
120	C₃×C₄²	#41	1	2	yes	—
121	C₄⋊Dic₃	—	2	4	no	—
122	C₄⋊Dic₃	—	2	4	no	—
123	C₄⋊Dic₃	—	2	4	no	—
124	C₄⋊Dic₃	—	4	8	no	—
125	C₄⋊Dic₃	—	4	8	no	—
126	C₄×Dic₃	—	2	2	no	—
127	C₄×Dic₃	—	2	2	no	—
128	C₄×Dic₃	—	4	8	no	—
129	C₂×C₃⋊C₈	—	2	2	no	—
130	C₂×C₃⋊C₈	—	2	2	no	—
131	C₂×C₃⋊C₈	—	2	2	no	—
132	C₂²×Q₈	C₂²×D₃	1	2	yes	—
133	C₂×Q₁₆	Dic₆	1	4	yes	—
134	C₂×Q₁₆	D₁₂	1	4	yes	—
135	C₂×Q₁₆	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
136	C₂²×C₈	—	3	2	no	—
137	C₂²×C₈	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₈	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
139	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
140	C₄×Q₈	—	6	8	no	—
141	C₄×Q₈	—	12	4	no	—
142	C₄×Q₈	C₂×Dic₃	1	8	yes	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	3	2	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	3	4	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₃	1	2	yes	—
149	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄²	—	3	2	no	—
151	C₂×C₄²	—	6	4	no	—
152	C₂×C₄²	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
153	#107	—	6	4	no	—
154	#107	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
155	#106	—	12	2	no	—
156	C₄⋊C₈	—	6	2	no	—
157	#103	—	6	8	no	—
158	#103	C₂×Dic₃	1	8	yes	—
159	C₄×C₈	—	6	4	no	—
160	C₄×C₈	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
161	#95	—	3	1	no	—
162	#95	—	3	1	no	—
163	#95	—	6	4	no	—
164	#95	—	6	2	no	—
165	#95	—	6	2	no	—
166	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₃×Q₈	—	2	4	no	—
168	C₃×Q₈	—	2	4	no	—
169	C₃×Q₈	—	2	4	no	—
170	C₃×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
171	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
172	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
173	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
174	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
175	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
178	C₂×C₃×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
179	C₂×C₃×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₃×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₃×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₃×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₃×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₃×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
186	C₂×Dic₃	—	2	2	no	—
187	C₂×Dic₃	—	2	2	no	—
188	C₂×Dic₃	—	2	2	no	—
189	C₂×Dic₃	—	2	2	no	—
190	C₂×Dic₃	—	2	2	no	—
191	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
192	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
193	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
194	C₂×Dic₃	#135	1	4	yes	—
195	C₃×C₈	—	2	2	no	—
196	C₃×C₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
197	C₃⋊C₈	—	4	2	no	—
198	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
199	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
200	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
201	C₂×Q₈	C₂×Dic₆	1	4	yes	—
202	C₂×Q₈	C₂×D₁₂	1	4	yes	—
203	C₂×Q₈	C₂²×Dic₃	1	4	yes	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	3	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	3	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
209	C₂²×C₄	D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
212	Q₁₆	C₄⋊Dic₃	1	16	yes	complemented
213	C₂×C₈	—	2	1	no	—
214	C₂×C₈	—	2	1	no	—
215	C₂×C₈	—	6	2	no	—
216	C₂×C₈	—	6	2	no	—
217	C₂×C₈	—	6	2	no	—
218	C₂×C₈	C₂×Dic₆	1	2	yes	—
219	C₂×C₈	C₂×D₁₂	1	2	yes	—
220	C₂×C₈	C₂²×Dic₃	1	2	yes	—
221	C₂×C₈	C₂²×Dic₃	1	2	yes	—
222	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
223	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
224	C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
225	C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
226	C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
227	C₄⋊C₄	—	12	8	no	—
228	C₄⋊C₄	—	12	8	no	—
229	C₄⋊C₄	C₂²×Dic₃	1	4	yes	—
230	C₄²	—	2	8	no	—
231	C₄²	—	6	2	no	—
232	C₄²	—	6	2	no	—
233	C₄²	—	12	8	no	—
234	C₄²	#237	1	2	yes	—
235	C₄²	C₂²×Dic₃	1	2	yes	—
236	C₂²×C₃	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₃	D₄²	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₃	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₃	C₂×#135	1	2	yes	—
240	C₂²×C₃	#578	1	2	yes	—
241	C₃×C₄	—	2	8	no	—
242	C₃×C₄	—	2	2	no	—
243	C₃×C₄	—	2	2	no	—
244	C₃×C₄	—	4	4	no	—
245	C₃×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
246	C₃×C₄	#520	1	1	yes	characteristic
247	C₃×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
248	C₃×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
249	Dic₃	—	2	4	no	—
250	Dic₃	—	4	2	no	—
251	Dic₃	—	8	4	no	—
252	C₂³	C₂×D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
253	Q₈	—	2	4	no	—
254	Q₈	—	2	4	no	—
255	Q₈	—	2	4	no	—
256	Q₈	C₂×C₄⋊Dic₃	1	8	yes	—
257	C₂×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂×C₄	—	3	4	no	—
264	C₂×C₄	—	4	4	no	—
265	C₂×C₄	—	6	2	no	—
266	C₂×C₄	—	6	2	no	—
267	C₂×C₄	—	6	2	no	—
268	C₂×C₄	—	6	2	no	—
269	C₂×C₄	—	6	2	no	—
270	C₂×C₄	—	12	4	no	—
271	C₂×C₄	—	12	4	no	—
272	C₂×C₄	—	12	4	no	—
273	C₂×C₄	D₄×Dic₃	1	2	yes	—
274	C₂×C₄	D₄×Dic₃	1	2	yes	—
275	C₂×C₄	C₂²×Dic₆	1	1	yes	characteristic
276	C₂×C₄	C₂²×D₁₂	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₄	C₂×#237	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₄	#1009	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₄	#1010	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₄	C₂³×Dic₃	1	1	yes	characteristic
281	C₈	—	2	2	no	—
282	C₈	—	12	2	no	—
283	C₈	C₂×C₄⋊Dic₃	1	4	yes	—
284	C₂×C₃	D₄×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₃	C₄×#135	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₃	#2950	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₃	#3285	1	2	yes	—
288	C₂×C₃	#3383	1	2	yes	—
289	C₂²	D₄×Dic₆	1	1	yes	characteristic
290	C₂²	D₄×D₁₂	1	1	yes	characteristic
291	C₂²	#5766	1	2	yes	—
292	C₂²	D₃×#135	1	2	yes	—
293	C₂²	C₂×D₄×Dic₃	1	1	yes	characteristic
294	C₄	—	2	8	no	—
295	C₄	—	2	2	no	—
296	C₄	—	2	2	no	—
297	C₄	—	4	4	no	—
298	C₄	—	6	4	no	—
299	C₄	—	12	2	no	—
300	C₄	—	24	4	no	—
301	C₄	#5543	1	1	yes	characteristic
302	C₄	#5555	1	1	yes	characteristic
303	C₄	C₂²×C₄⋊Dic₃	1	1	yes	characteristic
304	C₄	#5827	1	1	yes	characteristic
305	C₃	#22685	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
306	C₂	#79707	1	2	yes	—
307	C₂	#79732	1	2	yes	—
308	C₂	D₄×C₄⋊Dic₃	1	1	yes	characteristic
309	C₂	#83874	1	1	yes	characteristic
310	C₂	Dic₃×#135	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂×D₃×D₄
commutator	C₂×C₃×C₄	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₃
Fitting	C₂×C₃×C₄×Q₁₆	C₂
socle, prime radical	C₂³×C₃	C₂²×D₄
cosocle	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴
hypercenter	C₂×C₄×Q₁₆	D₃
hypocenter	C₃	#22685
LCS	G ▷ C₂×C₃×C₄ ▷ C₂×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ C₂×C₄×Q₁₆

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
13. C₃×C₄×Q₁₆	C₄	semidirect
77. C₄×Q₁₆	Dic₃	semidirect
108. C₃×Q₁₆	C₄⋊C₄	semidirect
212. Q₁₆	C₄⋊Dic₃	semidirect
305. C₃	#22685	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₃×C₄×Q₁₆	2
C₂×Dic₃×Q₁₆	2
#82460	2
#71627	2
#70612	2
#70238	2
#69766	2
C₈×C₄⋊Dic₃	2
#22685	3