Subgroups — #10819929

Order 768.

914 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 412 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#79168	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#78573	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#78561	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#4696	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₃×#1772	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#70708	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#69904	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#69903	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#69779	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#68766	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#68759	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#23199	—	3	1	no	maximal, Sylow
13	C₂²×Dic₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×D₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#204	C₂²	1	2	yes	—
16	#5521	C₂²	1	2	yes	—
17	#5516	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#875	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₃×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₃×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₃×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₃×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₃×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#824	C₂²	1	2	yes	—
25	#5131	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#823	C₂²	1	2	yes	—
27	#5120	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#819	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#5106	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#5101	C₂²	1	2	yes	—
31	#5004	C₂²	1	2	yes	—
32	#5001	C₂²	1	2	yes	—
33	#4889	—	2	4	no	—
34	#4852	—	2	4	no	—
35	#4716	—	2	2	no	—
36	#4711	—	2	2	no	—
37	C₄×Dic₁₂	—	2	2	no	—
38	#4696	C₄	1	8	yes	complemented
39	C₄×D₂₄	—	2	2	no	—
40	C₃×#339	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₃×#339	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#4523	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×#495	—	3	1	no	—
44	#2950	—	3	1	no	—
45	#2949	—	3	2	no	—
46	#2948	—	3	1	no	—
47	#1979	—	3	1	no	—
48	#1978	—	3	1	no	—
49	#1977	—	3	2	no	—
50	#1888	—	3	2	no	—
51	#1885	—	3	2	no	—
52	#1772	—	3	1	no	—
53	#1772	D₃	1	1	yes	characteristic, complemented
54	C₂²×D₁₂	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×Dic₆	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×C₃×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₃×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₃×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₃×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₃×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₃×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₃×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	—	4	2	no	—
64	#926	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×#208	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×Dic₁₂	—	2	1	no	—
67	C₂×Dic₁₂	—	2	1	no	—
68	C₂×Dic₁₂	—	2	2	no	—
69	C₂×Dic₁₂	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
70	C₂×D₂₄	—	2	1	no	—
71	C₂×D₂₄	—	2	1	no	—
72	C₂×D₂₄	—	2	2	no	—
73	C₂×D₂₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
74	C₂×#204	—	2	2	no	—
75	C₂×#204	—	2	2	no	—
76	C₂×#204	—	2	4	no	—
77	C₂×#204	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
78	#893	—	2	4	no	—
79	#887	—	2	4	no	—
80	D₃×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
81	#877	—	4	2	no	—
82	#875	—	4	2	no	—
83	#875	C₂×C₄	1	8	yes	complemented
84	C₄×D₁₂	—	2	4	no	—
85	C₄×Dic₆	—	2	4	no	—
86	C₃×#108	—	2	2	no	—
87	C₃×#107	D₄	1	2	yes	—
88	C₃×#106	D₄	1	2	yes	—
89	C₃×#97	—	2	1	no	—
90	C₃×#97	—	2	1	no	—
91	C₃×C₄×C₈	—	2	1	no	—
92	C₃×C₄×C₈	—	2	1	no	—
93	C₃×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	complemented
94	#824	—	4	2	no	—
95	#823	—	4	2	no	—
96	#821	—	2	4	no	—
97	#819	—	2	2	no	—
98	#818	D₄	1	2	yes	—
99	#817	D₄	1	2	yes	—
100	#816	—	2	4	no	—
101	#815	—	2	2	no	—
102	C₈×Dic₃	—	2	2	no	—
103	#810	—	2	4	no	—
104	#809	—	2	4	no	—
105	C₂²×Q₁₆	—	3	1	no	—
106	C₂²×SD₁₆	—	3	2	no	—
107	C₂²×D₈	—	3	1	no	—
108	C₂×#124	—	3	2	no	—
109	#519	—	3	2	no	—
110	#518	—	3	2	no	—
111	#495	—	3	8	no	—
112	#442	—	6	2	no	—
113	#441	—	6	2	no	—
114	#440	—	6	4	no	—
115	C₄×Q₁₆	—	6	2	no	—
116	C₄×SD₁₆	—	6	4	no	—
117	C₄×D₈	—	6	2	no	—
118	C₂×#108	—	3	1	no	—
119	C₂×#108	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
120	#427	—	3	1	no	—
121	#427	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
122	#419	—	3	2	no	—
123	#419	—	3	2	no	—
124	#418	—	3	2	no	—
125	#418	—	3	2	no	—
126	C₂×#101	—	3	2	no	—
127	C₂×#100	—	3	2	no	—
128	#405	—	3	2	no	—
129	#405	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
130	#405	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄×C₈	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
132	#339	—	3	2	no	—
133	#339	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
134	#339	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
135	C₂³×D₃	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₃×C₄	—	2	1	no	—
137	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×Dic₃	—	2	2	no	—
139	C₂×D₁₂	—	2	2	no	—
140	C₂×D₁₂	—	2	2	no	—
141	C₂×D₁₂	—	2	2	no	—
142	C₂×D₁₂	—	2	2	no	—
143	C₂×D₁₂	—	2	2	no	—
144	C₂×D₁₂	C₂²×C₄	1	4	yes	—
145	C₂×C₄×D₃	—	4	4	no	—
146	C₂×Dic₆	—	2	2	no	—
147	C₂×Dic₆	—	2	2	no	—
148	C₂×Dic₆	—	2	2	no	—
149	C₂×Dic₆	—	2	2	no	—
150	C₂×Dic₆	—	2	2	no	—
151	C₂×Dic₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
152	C₃×M₁₆	—	2	1	no	—
153	C₃×M₁₆	—	2	1	no	—
154	C₃×M₁₆	—	2	1	no	—
155	C₃×M₁₆	—	2	1	no	—
156	C₂×C₃×C₈	—	2	1	no	—
157	C₂×C₃×C₈	—	2	1	no	—
158	C₂×C₃×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₃×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₃×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₃×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₃×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₃×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₃×C₈	#41	1	2	yes	—
165	C₂×C₃×C₈	#41	1	2	yes	—
166	C₃×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₃×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₃×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
169	C₃×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
170	C₃×C₄²	—	2	1	no	—
171	C₃×C₄²	—	2	1	no	—
172	C₃×C₄²	—	2	1	no	—
173	C₃×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
174	#217	—	2	2	no	—
175	(C₂×D₃)⋊C₄	—	4	8	no	—
176	(C₂×D₃)⋊C₄	—	4	4	no	—
177	C₄⋊Dic₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
178	Dic₃⋊C₄	—	4	4	no	—
179	C₄×Dic₃	—	2	2	no	—
180	C₄×Dic₃	—	4	4	no	—
181	#208	—	2	2	no	—
182	#208	—	2	2	no	—
183	C₂×C₃⋊C₈	—	2	2	no	—
184	Dic₁₂	—	2	4	no	—
185	Dic₁₂	—	2	4	no	—
186	D₂₄	—	2	4	no	—
187	D₂₄	—	2	4	no	—
188	#204	—	2	8	no	—
189	#204	—	2	8	no	—
190	C₂²×Q₈	—	3	2	no	—
191	C₂²×D₄	—	3	2	no	—
192	C₂×Q₁₆	—	3	4	no	—
193	C₂×Q₁₆	—	6	1	no	—
194	C₂×Q₁₆	—	6	1	no	—
195	C₂×Q₁₆	—	6	2	no	—
196	C₂×SD₁₆	—	3	8	no	—
197	C₂×SD₁₆	—	6	2	no	—
198	C₂×SD₁₆	—	6	2	no	—
199	C₂×SD₁₆	—	6	4	no	—
200	C₂×D₈	—	3	4	no	—
201	C₂×D₈	—	6	1	no	—
202	C₂×D₈	—	6	1	no	—
203	C₂×D₈	—	6	2	no	—
204	C₂×M₁₆	—	3	2	no	—
205	C₂×M₁₆	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
206	C₂×M₁₆	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₈	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₈	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
209	#124	—	3	8	no	—
210	#124	—	12	2	no	—
211	C₄×Q₈	—	6	4	no	—
212	C₄×Q₈	—	6	4	no	—
213	C₄×D₄	—	6	4	no	—
214	C₄×D₄	—	6	4	no	—
215	#117	—	3	2	no	—
216	#117	—	12	2	no	—
217	#117	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
218	#117	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₂²⋊C₄	—	12	2	no	—
220	C₂×C₂²⋊C₄	—	12	2	no	—
221	C₂×C₄²	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
222	#108	—	2	2	no	—
223	#108	—	6	2	no	—
224	#107	—	3	2	no	—
225	#107	D₁₂	1	2	yes	—
226	#106	—	3	2	no	—
227	#106	D₁₂	1	2	yes	—
228	#103	—	6	4	no	—
229	#103	—	6	4	no	—
230	#102	—	6	4	no	—
231	#102	—	6	4	no	—
232	#101	—	12	2	no	—
233	#100	—	12	2	no	—
234	#97	—	2	1	no	—
235	#97	—	2	1	no	—
236	#97	—	6	2	no	—
237	C₄×C₈	—	2	1	no	—
238	C₄×C₈	—	2	1	no	—
239	C₄×C₈	—	6	2	no	—
240	C₄×C₈	C₄×D₃	1	4	yes	complemented
241	C₂³×C₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×D₃	—	2	4	no	—
243	C₂²×D₃	—	4	2	no	—
244	C₂²×D₃	—	4	2	no	—
245	C₂²×D₃	—	8	4	no	—
246	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂×C₃×C₄	—	4	2	no	—
250	C₂×C₃×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂×C₃×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
254	C₂×C₃×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
255	C₂×C₃×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
256	C₂×Dic₃	—	2	4	no	—
257	C₂×Dic₃	—	2	4	no	—
258	C₂×Dic₃	—	4	2	no	—
259	C₂×Dic₃	—	4	2	no	—
260	D₁₂	—	2	4	no	—
261	D₁₂	—	2	4	no	—
262	D₁₂	—	4	2	no	—
263	D₁₂	—	4	2	no	—
264	C₄×D₃	—	16	4	no	—
265	Dic₆	—	2	4	no	—
266	Dic₆	—	2	4	no	—
267	Dic₆	—	4	2	no	—
268	Dic₆	—	4	2	no	—
269	C₃×C₈	—	4	1	no	—
270	C₃×C₈	—	4	1	no	—
271	C₃×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
272	C₃×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
273	C₃×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
274	C₃×C₈	C₄×D₄	1	2	yes	—
275	C₃⋊C₈	—	4	2	no	—
276	C₂⁴	—	6	2	no	—
277	C₂×Q₈	—	3	4	no	—
278	C₂×Q₈	—	6	2	no	—
279	C₂×Q₈	—	6	2	no	—
280	C₂×Q₈	—	6	2	no	—
281	C₂×Q₈	—	6	2	no	—
282	C₂×Q₈	—	6	2	no	—
283	C₂×D₄	—	3	4	no	—
284	C₂×D₄	—	6	2	no	—
285	C₂×D₄	—	6	2	no	—
286	C₂×D₄	—	6	2	no	—
287	C₂×D₄	—	6	2	no	—
288	C₂×D₄	—	6	2	no	—
289	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
290	C₂²×C₄	—	6	2	no	—
291	C₂²×C₄	—	12	4	no	—
292	C₂²×C₄	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
293	Q₁₆	—	6	4	no	—
294	Q₁₆	—	6	4	no	—
295	SD₁₆	—	6	8	no	—
296	SD₁₆	—	6	8	no	—
297	D₈	—	6	4	no	—
298	D₈	—	6	4	no	—
299	M₁₆	—	2	1	no	—
300	M₁₆	—	2	1	no	—
301	M₁₆	—	2	1	no	—
302	M₁₆	—	2	1	no	—
303	M₁₆	—	6	2	no	—
304	M₁₆	—	6	2	no	—
305	C₂×C₈	—	2	1	no	—
306	C₂×C₈	—	2	1	no	—
307	C₂×C₈	—	6	2	no	—
308	C₂×C₈	C₂×C₄×D₃	1	2	yes	—
309	C₂×C₈	C₂×C₄×D₃	1	2	yes	—
310	C₂×C₈	C₂×D₁₂	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₈	C₂×D₁₂	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₈	#235	1	2	yes	—
313	C₂×C₈	D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₈	D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₈	#239	1	2	yes	—
316	C₄⋊C₄	—	3	4	no	—
317	C₄⋊C₄	—	12	4	no	—
318	C₄⋊C₄	C₂×D₁₂	1	2	yes	—
319	C₄⋊C₄	C₂×D₁₂	1	2	yes	—
320	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
321	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
322	C₂²⋊C₄	—	6	2	no	—
323	C₂²⋊C₄	—	12	8	no	—
324	C₂²⋊C₄	—	12	4	no	—
325	C₄²	—	2	1	no	—
326	C₄²	—	2	1	no	—
327	C₄²	—	2	1	no	—
328	C₄²	—	6	2	no	—
329	C₄²	—	12	4	no	—
330	C₄²	C₂×C₄×D₃	1	2	yes	—
331	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
332	C₂²×C₃	#518	1	1	yes	characteristic
333	C₂²×C₃	D₄²	1	1	yes	characteristic
334	C₂²×C₃	#559	1	1	yes	characteristic
335	C₂×D₃	—	4	4	no	—
336	C₂×D₃	—	8	4	no	—
337	C₂×D₃	—	8	4	no	—
338	C₂×D₃	—	16	2	no	—
339	C₃×C₄	—	4	2	no	—
340	C₃×C₄	—	4	2	no	—
341	C₃×C₄	—	4	2	no	—
342	C₃×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
343	C₃×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
344	C₃×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
345	C₃×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
346	Dic₃	—	4	4	no	—
347	Dic₃	—	4	4	no	—
348	C₂³	—	6	4	no	—
349	C₂³	—	12	2	no	—
350	C₂³	—	12	2	no	—
351	C₂³	—	24	4	no	—
352	C₂³	#1009	1	1	yes	characteristic
353	Q₈	—	6	4	no	—
354	Q₈	—	6	4	no	—
355	Q₈	—	12	2	no	—
356	Q₈	—	12	2	no	—
357	D₄	—	6	4	no	—
358	D₄	—	6	4	no	—
359	D₄	—	12	2	no	—
360	D₄	—	12	2	no	—
361	C₂×C₄	—	2	2	no	—
362	C₂×C₄	—	2	2	no	—
363	C₂×C₄	—	2	2	no	—
364	C₂×C₄	—	4	2	no	—
365	C₂×C₄	—	6	4	no	—
366	C₂×C₄	—	6	4	no	—
367	C₂×C₄	—	12	2	no	—
368	C₂×C₄	—	12	2	no	—
369	C₂×C₄	—	48	4	no	—
370	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	C₂²×D₁₂	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	C₂×#235	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	C₂×D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	C₂×#239	1	1	yes	characteristic
375	C₂×C₄	#1009	1	1	yes	characteristic
376	C₈	—	4	1	no	—
377	C₈	—	4	1	no	—
378	C₈	—	12	2	no	—
379	C₈	C₄×D₁₂	1	2	yes	—
380	C₈	C₄×D₁₂	1	2	yes	—
381	C₈	#893	1	2	yes	—
382	C₈	#893	1	2	yes	—
383	C₂×C₃	—	2	1	no	—
384	C₂×C₃	—	2	1	no	—
385	C₂×C₃	#2366	1	1	yes	characteristic
386	C₂×C₃	#3290	1	2	yes	—
387	D₃	—	8	4	no	—
388	C₂²	—	2	2	no	—
389	C₂²	—	12	4	no	—
390	C₂²	—	24	4	no	—
391	C₂²	—	24	4	no	—
392	C₂²	—	48	2	no	—
393	C₂²	#5521	1	1	yes	characteristic
394	C₂²	D₄×D₁₂	1	1	yes	characteristic
395	C₂²	#5585	1	1	yes	characteristic
396	C₄	—	4	2	no	—
397	C₄	—	4	2	no	—
398	C₄	—	4	2	no	—
399	C₄	—	12	4	no	—
400	C₄	—	12	4	no	—
401	C₄	C₂×C₄×D₁₂	1	1	yes	characteristic
402	C₄	C₂×#893	1	1	yes	characteristic
403	C₄	#5553	1	1	yes	characteristic
404	C₄	#5577	1	1	yes	characteristic
405	C₃	#23199	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
406	C₂	—	2	1	no	—
407	C₂	—	2	1	no	—
408	C₂	—	24	4	no	—
409	C₂	#73653	1	1	yes	characteristic
410	C₂	#79891	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	D₄×D₁₂
commutator	C₂×C₃×C₄	C₂³×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₃
Fitting	C₃×#1772	C₂
socle	C₂²×C₃	D₄²
prime radical	C₂²×D₂₄	C₂²
cosocle	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴
hypercenter	#1772	D₃
hypocenter	C₃	#23199
LCS	G ▷ C₂×C₃×C₄ ▷ C₂×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄ ◁ #1772

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #79168	C₂	semidirect
2. #78573	C₂	semidirect
5. C₃×#1772	C₂	semidirect
6. #70708	C₂	semidirect
7. #69904	C₂	semidirect
9. #69779	C₂	semidirect
10. #68766	C₂	semidirect
11. #68759	C₂	semidirect
38. #4696	C₄	semidirect
53. #1772	D₃	semidirect
69. C₂×Dic₁₂	C₂×C₄	semidirect
77. C₂×#204	C₂×C₄	semidirect
83. #875	C₂×C₄	semidirect
93. C₃×C₄×C₈	C₂×C₄	semidirect
240. C₄×C₈	C₄×D₃	semidirect
405. C₃	#23199	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#79168	2
#78573	2
#78561	2
C₂×#4696	2
C₃×#1772	2
#70708	2
#69904	2
#69903	2
#69779	2
#68766	2
#68759	2
#23199	3