Subgroups — #10822357

Order 768.

2018 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 402 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₃×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#942	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#5225	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#82070	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#71793	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#71791	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#71527	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#23432	—	3	1	no	maximal, Sylow
9	C₂³×C₃×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×#235	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₃×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
12	C₂×C₃×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
13	C₂×C₃×C₄⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂²×C₃×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
15	C₂²×C₃×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×#216	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#942	—	2	8	no	—
18	C₂×#942	—	2	8	no	—
19	C₂×#942	—	2	8	no	—
20	C₂²×#215	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#926	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×#208	C₂²	1	2	yes	—
23	#5225	—	2	8	no	—
24	C₂×#835	C₂²	1	8	yes	—
25	#5213	—	2	2	no	—
26	#4939	C₂²	1	2	yes	—
27	C₄×(C₂×D₃)⋊C₄	—	2	2	no	—
28	#4929	C₂²	1	2	yes	—
29	#4524	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂²×#137	—	3	2	no	—
31	C₂²×C₄⋊Q₈	D₃	1	1	yes	characteristic, complemented
32	C₂×#419	—	3	2	no	—
33	#2297	—	3	1	no	—
34	#2016	—	3	4	no	—
35	#2013	—	3	4	no	—
36	#1728	—	3	1	no	—
37	C₂²×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
38	C₂²×C₃×Q₈	—	2	2	no	—
39	C₂²×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
40	C₂²×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
41	C₂²×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
42	C₂²×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
43	C₂²×C₃×Q₈	D₄	1	8	yes	—
44	C₂²×C₃×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂³×C₃×C₄	—	2	2	no	—
46	C₂³×C₃×C₄	D₄	1	2	yes	—
47	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×#67	—	2	1	no	—
49	C₂×#235	—	2	2	no	—
50	C₂×#235	—	2	4	no	—
51	C₂×#235	—	2	4	no	—
52	C₂×#235	D₄	1	4	yes	—
53	C₂²×D₁₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₄×D₃	—	2	1	no	—
55	C₂²×Dic₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₃×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
57	C₃×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
58	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
59	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
60	C₂×C₃×C₄²	—	2	4	no	—
61	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	2	yes	—
62	C₂×C₃×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×#217	—	2	1	no	—
64	C₂×#216	—	2	8	no	—
65	C₂×#216	—	2	8	no	—
66	C₂×#216	—	2	8	no	—
67	#942	—	2	64	no	—
68	C₂×#215	—	2	8	no	—
69	C₂×#215	—	2	8	no	—
70	C₂×#215	—	2	8	no	—
71	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	—	2	4	no	—
72	#926	—	2	4	no	—
73	C₂×C₄⋊Dic₃	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×C₄×Dic₃	—	2	1	no	—
75	C₂×#208	—	2	4	no	—
76	C₂×#208	—	2	4	no	—
77	C₂×#208	D₄	1	8	yes	—
78	C₂²×C₃⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
79	#835	—	2	16	no	—
80	C₃⋊#95	—	2	4	no	—
81	C₂²×#41	—	3	1	no	—
82	C₂³×Q₈	C₂×D₃	1	2	yes	—
83	C₂×#137	—	6	8	no	—
84	C₂×#137	—	6	8	no	—
85	C₂×#137	—	6	8	no	—
86	C₂²×Q₁₆	—	3	4	no	—
87	C₂²×SD₁₆	—	3	4	no	—
88	C₂²×M₁₆	—	3	2	no	—
89	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
90	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
91	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₃	1	4	yes	—
92	C₂×#117	—	3	1	no	—
93	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
94	C₂²×C₄²	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
95	#419	—	6	8	no	—
96	C₂×#103	—	3	8	no	—
97	#391	—	3	2	no	—
98	#390	—	3	2	no	—
99	#386	—	6	2	no	—
100	C₄×C₂²⋊C₄	—	6	2	no	—
101	#336	—	3	4	no	—
102	C₂⁴×C₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂³×D₃	—	2	1	no	—
104	C₂×C₃×Q₈	—	2	8	no	—
105	C₂×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
106	C₂×C₃×Q₈	—	2	16	no	—
107	C₂×C₃×Q₈	—	2	16	no	—
108	C₂×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
109	C₂×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
110	C₂×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
111	C₂×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
112	C₂×C₃×Q₈	—	4	8	no	—
113	C₂×C₃×Q₈	—	4	4	no	—
114	C₂×C₃×Q₈	—	4	8	no	—
115	C₂×C₃×Q₈	—	4	4	no	—
116	C₂×C₃×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
117	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
118	C₂²×C₃×C₄	—	2	8	no	—
119	C₂²×C₃×C₄	—	2	8	no	—
120	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
121	C₂²×C₃×C₄	—	4	4	no	—
122	C₂²×C₃×C₄	—	4	4	no	—
123	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
125	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
126	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
127	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²×C₃×C₄	#41	1	2	yes	—
129	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
130	C₂×#67	—	2	4	no	—
131	C₂×#67	—	4	2	no	—
132	C₂×#67	—	4	2	no	—
133	C₂²×Dic₃	—	2	1	no	—
134	C₂²×Dic₃	—	2	2	no	—
135	#235	—	2	16	no	—
136	#235	—	4	8	no	—
137	C₂×D₁₂	—	2	2	no	—
138	C₂×D₁₂	—	2	2	no	—
139	C₂×D₁₂	—	2	1	no	—
140	C₂×D₁₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₄×D₃	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄×D₃	—	4	2	no	—
143	C₂×C₄×D₃	—	4	2	no	—
144	C₂×Dic₆	—	2	2	no	—
145	C₂×Dic₆	—	2	2	no	—
146	C₂×Dic₆	—	2	1	no	—
147	C₂×Dic₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₃×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
149	C₃×C₄²	—	2	4	no	—
150	C₃×C₄²	—	2	4	no	—
151	#217	—	4	2	no	—
152	#216	—	2	32	no	—
153	#215	—	2	32	no	—
154	(C₂×D₃)⋊C₄	—	4	8	no	—
155	C₄⋊Dic₃	—	2	4	no	—
156	C₄×Dic₃	—	4	2	no	—
157	#208	—	2	16	no	—
158	C₂×C₃⋊C₈	—	2	4	no	—
159	C₂×C₃⋊C₈	—	2	4	no	—
160	C₂×C₃⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
161	C₂×#41	—	3	4	no	—
162	C₂×#41	—	6	2	no	—
163	C₂×#41	—	6	4	no	—
164	C₂×#41	—	6	4	no	—
165	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
166	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
167	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
168	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
169	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
170	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
171	C₂²×Q₈	—	3	1	no	—
172	C₂²×Q₈	#67	1	8	yes	—
173	C₂²×Q₈	C₂²×D₃	1	4	yes	—
174	C₂²×D₄	—	3	1	no	—
175	C₂²×D₄	—	6	1	no	—
176	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
177	C₂³×C₄	—	6	1	no	—
178	C₂³×C₄	#67	1	2	yes	—
179	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
180	#137	—	6	64	no	—
181	C₂×Q₁₆	—	6	8	no	—
182	C₂×Q₁₆	—	6	8	no	—
183	C₂×Q₁₆	—	6	8	no	—
184	C₂×SD₁₆	—	6	8	no	—
185	C₂×SD₁₆	—	6	8	no	—
186	C₂×SD₁₆	—	6	8	no	—
187	C₂×M₁₆	—	3	8	no	—
188	C₂×M₁₆	—	6	4	no	—
189	C₂×M₁₆	—	6	4	no	—
190	C₂²×C₈	—	3	4	no	—
191	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
192	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
193	#117	—	6	4	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	3	2	no	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	6	1	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	6	4	no	—
199	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
200	C₂×C₄²	—	6	1	no	—
201	C₂×C₄²	#67	1	2	yes	—
202	C₂×C₄²	C₂²×D₃	1	2	yes	—
203	#103	—	6	16	no	—
204	#95	—	6	4	no	—
205	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
206	C₂³×C₃	#120	1	2	yes	—
207	C₂³×C₃	#121	1	2	yes	—
208	C₂³×C₃	#127	1	2	yes	—
209	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×D₃	—	2	2	no	—
211	C₂²×D₃	—	4	1	no	—
212	C₂²×D₃	—	4	1	no	—
213	C₂²×D₃	—	4	4	no	—
214	C₃×Q₈	—	2	8	no	—
215	C₃×Q₈	—	2	8	no	—
216	C₃×Q₈	—	4	4	no	—
217	C₃×Q₈	—	4	4	no	—
218	C₃×Q₈	—	4	16	no	—
219	C₂×C₃×C₄	—	2	16	no	—
220	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
223	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
224	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
225	C₂×C₃×C₄	—	4	16	no	—
226	C₂×C₃×C₄	#120	1	8	yes	—
227	C₂×C₃×C₄	#120	1	2	yes	—
228	C₂×C₃×C₄	#121	1	2	yes	—
229	C₂×C₃×C₄	#121	1	8	yes	—
230	C₂×C₃×C₄	#127	1	2	yes	—
231	C₂×C₃×C₄	#137	1	8	yes	complemented
232	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
234	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
235	C₂×C₃×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
236	#67	—	4	8	no	—
237	C₂×Dic₃	—	2	2	no	—
238	C₂×Dic₃	—	4	1	no	—
239	C₂×Dic₃	—	4	1	no	—
240	C₂×Dic₃	—	4	2	no	—
241	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
242	D₁₂	—	2	4	no	—
243	D₁₂	—	4	2	no	—
244	C₄×D₃	—	4	8	no	—
245	Dic₆	—	2	4	no	—
246	Dic₆	—	4	2	no	—
247	C₃⋊C₈	—	2	8	no	—
248	C₂⁴	—	6	1	no	—
249	C₂⁴	C₂×#67	1	1	yes	characteristic
250	#41	—	6	16	no	—
251	#41	—	12	8	no	—
252	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
253	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
254	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
255	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
256	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
257	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
258	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
259	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
260	C₂×Q₈	—	3	2	no	—
261	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
262	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
263	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
264	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
265	C₂×Q₈	—	6	1	no	—
266	C₂×Q₈	—	6	2	no	—
267	C₂×Q₈	—	6	2	no	—
268	C₂×Q₈	C₂×#67	1	8	yes	—
269	C₂×D₄	—	3	2	no	—
270	C₂×D₄	—	6	4	no	—
271	C₂×D₄	—	6	2	no	—
272	C₂×D₄	—	6	1	no	—
273	C₂×D₄	—	6	2	no	—
274	C₂×D₄	—	12	2	no	—
275	C₂×D₄	—	12	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
278	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
279	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
281	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
282	C₂²×C₄	—	6	1	no	—
283	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
284	C₂²×C₄	—	6	2	no	—
285	C₂²×C₄	—	12	2	no	—
286	C₂²×C₄	—	12	2	no	—
287	C₂²×C₄	D₃×D₄	1	2	yes	—
288	C₂²×C₄	D₃×D₄	1	4	yes	—
289	C₂²×C₄	#237	1	2	yes	—
290	C₂²×C₄	C₂×#67	1	4	yes	—
291	C₂²×C₄	C₂×#67	1	4	yes	—
292	C₂²×C₄	C₂×#67	1	1	yes	characteristic
293	C₂²×C₄	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
294	Q₁₆	—	6	32	no	—
295	SD₁₆	—	6	32	no	—
296	M₁₆	—	6	16	no	—
297	C₂×C₈	—	3	8	no	—
298	C₂×C₈	—	6	4	no	—
299	C₂×C₈	—	6	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
301	C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	12	2	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	12	8	no	—
304	C₄²	—	2	4	no	—
305	C₄²	—	2	4	no	—
306	C₄²	—	12	2	no	—
307	C₂²×C₃	—	2	4	no	—
308	C₂²×C₃	—	2	4	no	—
309	C₂²×C₃	—	2	4	no	—
310	C₂²×C₃	#392	1	4	yes	—
311	C₂²×C₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
312	C₂²×C₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
313	C₂²×C₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
314	C₂²×C₃	C₂×#137	1	4	yes	—
315	C₂×D₃	—	4	2	no	—
316	C₂×D₃	—	4	4	no	—
317	C₂×D₃	—	8	2	no	—
318	C₂×D₃	—	8	2	no	—
319	C₃×C₄	—	2	8	no	—
320	C₃×C₄	—	4	8	no	—
321	C₃×C₄	#392	1	4	yes	—
322	C₃×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
323	C₃×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
324	Dic₃	—	4	2	no	—
325	Dic₃	—	8	2	no	—
326	C₂³	—	2	4	no	—
327	C₂³	—	6	2	no	—
328	C₂³	—	12	1	no	—
329	C₂³	—	12	4	no	—
330	C₂³	—	12	1	no	—
331	C₂³	#938	1	2	yes	—
332	C₂³	#940	1	2	yes	—
333	C₂³	#953	1	2	yes	—
334	C₂³	C₂²×#67	1	1	yes	characteristic
335	Q₈	—	2	8	no	—
336	Q₈	—	2	8	no	—
337	Q₈	—	4	16	no	—
338	Q₈	—	4	4	no	—
339	Q₈	—	4	4	no	—
340	Q₈	—	6	4	no	—
341	Q₈	—	12	2	no	—
342	D₄	—	6	4	no	—
343	D₄	—	12	8	no	—
344	D₄	—	12	2	no	—
345	C₂×C₄	—	2	16	no	—
346	C₂×C₄	—	2	4	no	—
347	C₂×C₄	—	2	4	no	—
348	C₂×C₄	—	2	8	no	—
349	C₂×C₄	—	4	16	no	—
350	C₂×C₄	—	4	4	no	—
351	C₂×C₄	—	4	4	no	—
352	C₂×C₄	—	6	2	no	—
353	C₂×C₄	—	12	1	no	—
354	C₂×C₄	—	12	1	no	—
355	C₂×C₄	—	12	8	no	—
356	C₂×C₄	—	12	2	no	—
357	C₂×C₄	—	12	4	no	—
358	C₂×C₄	#937	1	8	yes	—
359	C₂×C₄	#938	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	#939	1	8	yes	—
361	C₂×C₄	#940	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	#942	1	8	yes	complemented
363	C₂×C₄	#953	1	2	yes	—
364	C₂×C₄	C₂×D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	C₂×D₃×D₄	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	C₂×#237	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	C₂²×#67	1	2	yes	—
368	C₈	—	6	8	no	—
369	C₂×C₃	—	2	4	no	—
370	C₂×C₃	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₃	#3004	1	2	yes	—
372	C₂×C₃	#3039	1	2	yes	—
373	C₂×C₃	#3152	1	2	yes	—
374	D₃	—	8	2	no	—
375	C₂²	—	2	4	no	—
376	C₂²	—	2	4	no	—
377	C₂²	—	2	4	no	—
378	C₂²	—	12	4	no	—
379	C₂²	—	12	2	no	—
380	C₂²	—	24	2	no	—
381	C₂²	—	24	2	no	—
382	C₂²	#5223	1	4	yes	—
383	C₂²	C₂×#938	1	1	yes	characteristic
384	C₂²	C₂×#940	1	1	yes	characteristic
385	C₂²	C₂×#942	1	4	yes	—
386	C₂²	C₂×#953	1	1	yes	characteristic
387	C₄	—	2	8	no	—
388	C₄	—	4	8	no	—
389	C₄	—	12	2	no	—
390	C₄	—	24	2	no	—
391	C₄	#5223	1	4	yes	—
392	C₄	C₂×#937	1	2	yes	—
393	C₄	C₂×#939	1	2	yes	—
394	C₃	#23432	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
395	C₂	—	2	4	no	—
396	C₂	—	24	2	no	—
397	C₂	#83203	1	2	yes	—
398	C₂	#83209	1	2	yes	—
399	C₂	C₂×#5223	1	1	yes	characteristic
400	C₂	#84059	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×#67
commutator, cosocle	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₃
Fitting	C₂²×C₃×C₄⋊Q₈	C₂
socle	C₂³×C₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂²×#235	C₂²
hypercenter	C₂²×C₄⋊Q₈	D₃
hypocenter	C₃	#23432
LCS	G ▷ C₂²×C₃×C₄ ▷ C₂×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂²×C₄⋊Q₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×C₃×C₄⋊Q₈	C₂	semidirect
3. C₂×#5225	C₂	semidirect
5. #71793	C₂	semidirect
6. #71791	C₂	semidirect
7. #71527	C₂	semidirect
31. C₂²×C₄⋊Q₈	D₃	semidirect
231. C₂×C₃×C₄	#137	semidirect
362. C₂×C₄	#942	semidirect
394. C₃	#23432	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₃×C₄⋊Q₈	2
C₂²×#942	2
C₂×#5225	2
#82070	2
#71793	2
#71791	2
#71527	2
#23432	3