Subgroups — #10822574

Order 768.

1306 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 356 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#85725	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#5131	C₂	1	2	yes	maximal
3	#82269	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₃×#1742	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#71982	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#68995	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#23463	—	3	1	no	maximal, Sylow
8	C₂³×D₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂²×C₃×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×C₃×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#926	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#926	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#5519	—	2	4	no	—
14	#5517	—	2	4	no	—
15	#5500	C₂²	1	4	yes	complemented
16	#5483	—	2	2	no	—
17	#5470	—	2	2	no	—
18	#5131	—	2	4	no	—
19	#5131	C₂²	1	8	yes	—
20	C₂×#821	—	2	4	no	—
21	#4988	C₂²	1	4	yes	—
22	#4955	—	2	2	no	—
23	#4939	—	2	2	no	—
24	C₃×#343	C₂²	1	4	yes	complemented
25	#4555	C₂²	1	8	yes	complemented
26	#3458	—	3	1	no	—
27	C₂×#418	—	3	2	no	—
28	#2309	—	3	1	no	—
29	#2027	—	3	8	no	—
30	#1742	D₃	1	1	yes	characteristic, complemented
31	#1733	—	3	2	no	—
32	C₂⁴×D₃	—	2	1	no	—
33	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×D₁₂	—	2	2	no	—
35	C₂²×D₁₂	—	2	2	no	—
36	C₂²×D₁₂	—	2	4	no	—
37	C₂²×D₁₂	—	2	1	no	—
38	C₂²×D₁₂	—	2	2	no	—
39	C₂²×D₁₂	Q₈	1	4	yes	complemented
40	C₂²×D₁₂	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂×C₃×M₁₆	—	2	2	no	—
42	C₂×C₃×M₁₆	—	2	4	no	—
43	C₂×C₃×M₁₆	—	2	4	no	—
44	C₂×C₃×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂²×C₃×C₈	—	2	2	no	—
46	C₃×#117	—	2	2	no	—
47	C₃×#117	—	2	2	no	—
48	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×C₃×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
50	C₂×C₃×C₄²	D₄	1	2	yes	—
51	C₂×#217	—	2	2	no	—
52	C₂×#217	—	2	1	no	—
53	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	—	2	8	no	—
54	#926	—	2	2	no	—
55	#926	—	2	2	no	—
56	#926	—	2	4	no	—
57	#926	D₄	1	4	yes	—
58	#926	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂×C₄⋊Dic₃	—	2	1	no	—
60	C₂×C₄⋊Dic₃	D₄	1	4	yes	—
61	#924	—	2	8	no	—
62	C₂×C₄×Dic₃	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄×Dic₃	C₂³	1	2	yes	—
64	#890	—	2	8	no	—
65	#888	—	2	8	no	—
66	#878	—	2	16	no	—
67	#870	—	2	4	no	—
68	#869	—	2	4	no	—
69	C₄×Dic₆	—	2	8	no	—
70	#821	—	2	16	no	—
71	C₂³×D₄	—	3	1	no	—
72	C₂²×M₁₆	C₂×D₃	1	2	yes	—
73	#544	—	3	4	no	—
74	#544	—	6	4	no	—
75	#543	—	6	2	no	—
76	#533	—	6	4	no	—
77	#533	—	6	2	no	—
78	C₂×#117	—	3	1	no	—
79	C₂×#117	—	3	2	no	—
80	C₂×#117	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
81	#418	—	3	8	no	—
82	#418	—	6	4	no	—
83	C₂×#102	—	6	4	no	—
84	#390	—	3	4	no	—
85	#390	—	6	2	no	—
86	#379	—	6	2	no	—
87	#343	C₂×D₃	1	4	yes	complemented
88	#339	—	3	8	no	—
89	C₂⁴×C₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×D₃	—	2	2	no	—
91	C₂³×D₃	—	2	4	no	—
92	C₂³×D₃	—	4	2	no	—
93	C₂³×D₃	—	4	2	no	—
94	C₂³×D₃	—	8	4	no	—
95	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
96	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
98	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
99	C₂²×C₃×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
100	C₂²×C₃×C₄	#41	1	4	yes	—
101	C₂²×C₃×C₄	#41	1	2	yes	—
102	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
104	C₂²×Dic₃	—	2	2	no	—
105	C₂×D₁₂	—	2	8	no	—
106	C₂×D₁₂	—	2	8	no	—
107	C₂×D₁₂	—	2	4	no	—
108	C₂×D₁₂	—	2	4	no	—
109	C₂×D₁₂	—	2	4	no	—
110	C₂×D₁₂	—	2	2	no	—
111	C₂×D₁₂	—	4	1	no	—
112	C₂×D₁₂	—	4	1	no	—
113	C₂×D₁₂	—	4	2	no	—
114	C₂×D₁₂	—	4	4	no	—
115	C₂×D₁₂	—	4	4	no	—
116	C₂×D₁₂	C₂×Q₈	1	4	yes	—
117	C₂×Dic₆	—	2	8	no	—
118	C₃×M₁₆	—	2	4	no	—
119	C₃×M₁₆	—	2	4	no	—
120	C₃×M₁₆	—	4	4	no	—
121	C₂×C₃×C₈	—	2	4	no	—
122	C₂×C₃×C₈	—	4	4	no	—
123	C₃×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
124	C₃×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
125	C₃×C₄²	—	2	2	no	—
126	C₃×C₄²	—	2	2	no	—
127	#217	—	2	4	no	—
128	#217	—	2	4	no	—
129	#217	—	4	2	no	—
130	(C₂×D₃)⋊C₄	—	8	8	no	—
131	C₄⋊Dic₃	—	2	8	no	—
132	C₄⋊Dic₃	—	2	4	no	—
133	C₄⋊Dic₃	—	4	2	no	—
134	C₄⋊Dic₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
135	Dic₃⋊C₄	—	2	16	no	—
136	C₄×Dic₃	—	2	4	no	—
137	C₄×Dic₃	—	2	4	no	—
138	C₄×Dic₃	—	2	4	no	—
139	C₂⁵	—	6	1	no	—
140	C₂²×D₄	—	3	4	no	—
141	C₂²×D₄	—	3	2	no	—
142	C₂²×D₄	—	6	1	no	—
143	C₂²×D₄	—	6	4	no	—
144	C₂²×D₄	—	6	2	no	—
145	C₂²×D₄	—	6	2	no	—
146	C₂²×D₄	—	6	2	no	—
147	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
148	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
149	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
150	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
151	C₂×M₁₆	C₂²×D₃	1	4	yes	—
152	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
153	C₄⋊Q₈	—	6	4	no	—
154	C₄⋊Q₈	—	6	8	no	—
155	#125	—	6	4	no	—
156	#125	—	6	8	no	—
157	C₂²⋊Q₈	—	6	16	no	—
158	C₂²⋊Q₈	—	6	8	no	—
159	C₄×Q₈	—	6	8	no	—
160	#117	—	2	2	no	—
161	#117	—	2	2	no	—
162	#117	—	3	4	no	—
163	#117	—	3	4	no	—
164	#117	—	6	2	no	—
165	#117	—	6	2	no	—
166	#117	—	6	4	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	3	4	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	6	1	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₃	1	2	yes	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	6	2	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	6	1	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	6	8	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	D₁₂	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	—	3	2	no	—
175	C₂×C₄²	—	6	2	no	—
176	C₂×C₄²	D₁₂	1	2	yes	—
177	#102	—	6	16	no	—
178	C₂³×C₃	—	4	2	no	—
179	C₂³×C₃	#120	1	2	yes	—
180	C₂³×C₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
181	C₂³×C₃	#124	1	2	yes	—
182	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×D₃	—	2	4	no	—
184	C₂²×D₃	—	4	8	no	—
185	C₂²×D₃	—	4	2	no	—
186	C₂²×D₃	—	4	2	no	—
187	C₂²×D₃	—	4	8	no	—
188	C₂²×D₃	—	8	8	no	—
189	C₂²×D₃	—	8	8	no	—
190	C₂²×D₃	—	8	8	no	—
191	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂×C₃×C₄	—	4	4	no	—
193	C₂×C₃×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₃×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₃×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
196	C₂×C₃×C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
197	C₂×C₃×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
198	C₂×C₃×C₄	#124	1	2	yes	—
199	C₂×C₃×C₄	#124	1	4	yes	—
200	C₂×C₃×C₄	#124	1	4	yes	—
201	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
202	C₂×C₃×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₃×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
204	C₂×C₃×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
205	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
206	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
207	C₂×Dic₃	—	4	2	no	—
208	C₂×Dic₃	—	8	4	no	—
209	D₁₂	—	2	8	no	—
210	D₁₂	—	4	4	no	—
211	D₁₂	—	4	4	no	—
212	D₁₂	—	4	4	no	—
213	Dic₆	—	8	8	no	—
214	C₃×C₈	—	4	4	no	—
215	C₂⁴	—	6	2	no	—
216	C₂⁴	—	6	4	no	—
217	C₂⁴	—	12	2	no	—
218	C₂⁴	—	12	2	no	—
219	C₂⁴	—	24	4	no	—
220	C₂⁴	C₂×D₁₂	1	1	yes	characteristic
221	C₂×Q₈	—	6	8	no	—
222	C₂×D₄	—	3	4	no	—
223	C₂×D₄	—	6	8	no	—
224	C₂×D₄	—	6	8	no	—
225	C₂×D₄	—	6	4	no	—
226	C₂×D₄	—	6	4	no	—
227	C₂×D₄	—	6	4	no	—
228	C₂×D₄	—	6	2	no	—
229	C₂×D₄	—	12	2	no	—
230	C₂×D₄	—	12	1	no	—
231	C₂×D₄	—	12	1	no	—
232	C₂×D₄	—	12	4	no	—
233	C₂×D₄	—	12	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	6	2	no	—
236	C₂²×C₄	C₂×D₁₂	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂×D₁₂	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	#235	1	4	yes	—
239	C₂²×C₄	D₃×D₄	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	D₃×D₄	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	#237	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	D₃×Q₈	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
244	M₁₆	—	2	4	no	—
245	M₁₆	—	2	4	no	—
246	M₁₆	—	4	4	no	—
247	C₂×C₈	—	2	4	no	—
248	C₂×C₈	—	4	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	3	8	no	—
251	C₄⋊C₄	—	6	16	no	—
252	C₄⋊C₄	—	6	8	no	—
253	C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
254	C₄⋊C₄	—	12	2	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	6	4	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	6	4	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	12	2	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	24	8	no	—
260	C₄²	—	2	2	no	—
261	C₄²	—	2	2	no	—
262	C₄²	—	6	4	no	—
263	C₄²	—	6	4	no	—
264	C₄²	—	6	4	no	—
265	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
266	C₂²×C₃	—	2	4	no	—
267	C₂²×C₃	—	4	2	no	—
268	C₂²×C₃	—	4	2	no	—
269	C₂²×C₃	#393	1	4	yes	—
270	C₂²×C₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
272	C₂²×C₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
273	C₂×D₃	—	4	8	no	—
274	C₂×D₃	—	4	4	no	—
275	C₂×D₃	—	8	4	no	—
276	C₂×D₃	—	8	16	no	—
277	C₂×D₃	—	8	4	no	—
278	C₃×C₄	—	4	4	no	—
279	C₃×C₄	#393	1	2	yes	—
280	C₃×C₄	#393	1	2	yes	—
281	C₃×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
282	C₃×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
283	Dic₃	—	4	8	no	—
284	Dic₃	—	8	2	no	—
285	C₂³	—	4	2	no	—
286	C₂³	—	6	4	no	—
287	C₂³	—	12	8	no	—
288	C₂³	—	12	8	no	—
289	C₂³	—	12	2	no	—
290	C₂³	—	12	2	no	—
291	C₂³	—	24	8	no	—
292	C₂³	—	24	8	no	—
293	C₂³	—	24	8	no	—
294	C₂³	#875	1	2	yes	—
295	C₂³	#882	1	2	yes	—
296	C₂³	#897	1	2	yes	—
297	C₂³	C₂²×D₁₂	1	1	yes	characteristic
298	Q₈	—	24	8	no	—
299	D₄	—	6	8	no	—
300	D₄	—	12	4	no	—
301	D₄	—	12	4	no	—
302	D₄	—	12	4	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	4	4	no	—
305	C₂×C₄	—	6	8	no	—
306	C₂×C₄	—	12	4	no	—
307	C₂×C₄	—	12	2	no	—
308	C₂×C₄	—	24	4	no	—
309	C₂×C₄	#875	1	2	yes	—
310	C₂×C₄	#882	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	#882	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	#885	1	4	yes	—
313	C₂×C₄	#885	1	4	yes	—
314	C₂×C₄	#896	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	#896	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	#897	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×#235	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×D₃×D₄	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×#237	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	C₂×D₃×Q₈	1	1	yes	characteristic
321	C₈	—	4	4	no	—
322	C₂×C₃	—	2	1	no	—
323	C₂×C₃	—	2	1	no	—
324	C₂×C₃	—	2	4	no	—
325	C₂×C₃	C₂×#393	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₃	#3021	1	2	yes	—
327	D₃	—	8	4	no	—
328	C₂²	—	2	2	no	—
329	C₂²	—	2	4	no	—
330	C₂²	—	4	2	no	—
331	C₂²	—	4	2	no	—
332	C₂²	—	12	8	no	—
333	C₂²	—	12	4	no	—
334	C₂²	—	24	4	no	—
335	C₂²	—	24	16	no	—
336	C₂²	—	24	4	no	—
337	C₂²	#4673	1	4	yes	—
338	C₂²	C₂×#875	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	C₂×#882	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	C₂×#897	1	1	yes	characteristic
341	C₄	—	4	4	no	—
342	C₄	—	12	8	no	—
343	C₄	—	24	2	no	—
344	C₄	#4673	1	2	yes	—
345	C₄	#4673	1	2	yes	—
346	C₄	C₂×#885	1	2	yes	—
347	C₄	C₂×#896	1	2	yes	—
348	C₃	#23463	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
349	C₂	—	2	1	no	—
350	C₂	—	2	1	no	—
351	C₂	—	2	4	no	—
352	C₂	—	24	4	no	—
353	C₂	C₂×#4673	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#78717	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#882
commutator, cosocle	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₃
Fitting	C₃×#1742	C₂
socle	C₂²×C₃	C₂×#120
prime radical	C₂³×D₁₂	C₂²
hypercenter	#1742	D₃
hypocenter	C₃	#23463
LCS	G ▷ C₂²×C₃×C₄ ▷ C₂×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ #1742

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #85725	C₂	semidirect
4. C₃×#1742	C₂	semidirect
5. #71982	C₂	semidirect
6. #68995	C₂	semidirect
15. #5500	C₂²	semidirect
24. C₃×#343	C₂²	semidirect
25. #4555	C₂²	semidirect
30. #1742	D₃	semidirect
39. C₂²×D₁₂	Q₈	semidirect
87. #343	C₂×D₃	semidirect
348. C₃	#23463	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#85725	2
C₂×#5131	2
#82269	2
C₃×#1742	2
#71982	2
#68995	2
#23463	3