Subgroups — #10944287

Order 768.

1502 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 412 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×C₃×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#84031	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#5137	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#5116	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#71989	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#71988	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#71972	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#71970	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#32937	—	3	1	no	maximal, Sylow
10	C₂⁴×C₃×C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₃×M₁₆	—	2	8	no	—
12	C₂²×C₃×M₁₆	—	2	4	no	—
13	C₂²×C₃×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₃×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂³×C₃×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂³×C₃×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#924	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#924	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂²×Dic₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
20	#5247	—	2	2	no	—
21	#5212	C₂²	1	2	yes	—
22	#5212	C₂²	1	4	yes	—
23	#5210	—	2	4	no	—
24	#5210	—	2	2	no	—
25	#5137	—	2	8	no	—
26	#5116	—	2	4	no	—
27	C₂×#818	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
28	C₂×#817	C₂²	1	2	yes	complemented
29	C₂×#816	C₂²	1	2	yes	complemented
30	C₂×#816	C₂²	1	4	yes	complemented
31	#4551	C₂²	1	2	yes	complemented
32	#4551	C₂²	1	4	yes	complemented
33	C₂³×M₁₆	D₃	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#470	—	3	2	no	—
35	C₂×#467	—	3	1	no	—
36	#2848	—	3	2	no	—
37	#1894	—	3	4	no	—
38	#1892	—	3	2	no	—
39	#1809	—	3	2	no	—
40	#1807	—	3	1	no	—
41	C₂⁵×C₃	D₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×C₃×C₄	—	2	4	no	—
43	C₂³×C₃×C₄	—	2	2	no	—
44	C₂³×C₃×C₄	—	2	4	no	—
45	C₂³×C₃×C₄	—	2	2	no	—
46	C₂³×C₃×C₄	D₄	1	2	yes	—
47	C₂³×C₃×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂²×Dic₆	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×C₃×M₁₆	—	2	32	no	—
52	C₂×C₃×M₁₆	—	2	4	no	—
53	C₂×C₃×M₁₆	—	2	4	no	—
54	C₂×C₃×M₁₆	—	2	4	no	—
55	C₂×C₃×M₁₆	—	2	4	no	—
56	C₂×C₃×M₁₆	—	2	4	no	—
57	C₂×C₃×M₁₆	D₄	1	8	yes	—
58	C₂²×C₃×C₈	—	2	2	no	—
59	C₂²×C₃×C₈	—	2	4	no	—
60	C₂²×C₃×C₈	—	2	4	no	—
61	C₂²×C₃×C₈	D₄	1	4	yes	—
62	C₂²×C₃×C₈	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂²×C₃×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₃×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂×#217	—	2	4	no	—
66	C₂×#217	—	2	2	no	—
67	C₂×#217	—	2	4	no	—
68	C₂×#217	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄⋊Dic₃	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂×C₄⋊Dic₃	C₂³	1	2	yes	—
71	#924	—	2	8	no	—
72	#924	—	2	4	no	—
73	#924	—	2	4	no	—
74	#924	—	2	8	no	—
75	C₂×Dic₃⋊C₄	—	2	2	no	—
76	C₂×Dic₃⋊C₄	—	2	4	no	—
77	C₂×Dic₁₂	—	2	4	no	—
78	C₂×Dic₁₂	—	2	2	no	—
79	C₃⋊#95	—	2	2	no	—
80	C₃⋊#95	—	2	4	no	—
81	#818	—	2	2	no	—
82	#817	—	2	4	no	—
83	#816	—	2	8	no	—
84	#816	—	2	4	no	—
85	C₂⁴×C₄	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×Q₁₆	—	3	1	no	—
87	C₂²×M₁₆	—	2	8	no	—
88	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
89	C₂²×M₁₆	C₂×D₃	1	2	yes	—
90	C₂²×M₁₆	C₂×D₃	1	2	yes	—
91	C₂³×C₈	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
92	C₂³×C₈	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₂²⋊Q₈	—	3	2	no	—
94	C₂×C₂²⋊Q₈	—	3	4	no	—
95	#470	—	6	8	no	—
96	#467	—	6	4	no	—
97	C₂×#107	—	3	1	no	—
98	C₂×#106	—	3	2	no	—
99	C₂×#103	—	3	4	no	—
100	C₂×#103	—	3	2	no	—
101	#385	—	6	4	no	—
102	#385	—	6	2	no	—
103	#380	—	3	2	no	—
104	#380	—	3	4	no	—
105	#379	—	6	2	no	—
106	#340	—	3	2	no	—
107	#340	—	3	4	no	—
108	C₂⁴×C₃	—	2	4	no	—
109	C₂⁴×C₃	—	2	2	no	—
110	C₂⁴×C₃	—	2	4	no	—
111	C₂⁴×C₃	—	4	2	no	—
112	C₂⁴×C₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₂⁴×C₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂²×C₃×C₄	—	2	8	no	—
115	C₂²×C₃×C₄	—	2	8	no	—
116	C₂²×C₃×C₄	—	2	16	no	—
117	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
118	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
120	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
121	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
122	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
125	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
127	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
132	C₂²×C₃×C₄	#41	1	4	yes	—
133	C₂²×C₃×C₄	#41	1	2	yes	—
134	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×Dic₃	—	2	4	no	—
136	C₂²×Dic₃	—	2	2	no	—
137	C₂²×Dic₃	—	2	2	no	—
138	C₂×Dic₆	—	2	4	no	—
139	C₂×Dic₆	—	2	2	no	—
140	C₂×Dic₆	—	2	2	no	—
141	C₂×Dic₆	—	2	4	no	—
142	C₃×M₁₆	—	2	16	no	—
143	C₃×M₁₆	—	2	16	no	—
144	C₂×C₃×C₈	—	2	8	no	—
145	C₂×C₃×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂×C₃×C₈	—	2	2	no	—
147	C₂×C₃×C₈	—	2	2	no	—
148	C₂×C₃×C₈	—	2	8	no	—
149	C₂×C₃×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
150	C₂×C₃×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₃×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
152	C₂×C₃×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	#217	—	4	8	no	—
154	#217	—	4	8	no	—
155	#217	—	4	4	no	—
156	#217	—	4	4	no	—
157	C₄⋊Dic₃	—	2	4	no	—
158	C₄⋊Dic₃	—	2	2	no	—
159	C₄⋊Dic₃	—	2	4	no	—
160	C₄⋊Dic₃	—	2	2	no	—
161	Dic₃⋊C₄	—	4	8	no	—
162	Dic₃⋊C₄	—	4	4	no	—
163	Dic₁₂	—	4	4	no	—
164	C₂⁵	D₁₂	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×Q₈	—	3	2	no	—
166	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
167	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
168	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
170	C₂³×C₄	D₁₂	1	2	yes	—
171	C₂³×C₄	D₁₂	1	1	yes	characteristic
172	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
173	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	2	yes	—
174	C₂×Q₁₆	—	6	2	no	—
175	C₂×Q₁₆	—	6	4	no	—
176	C₂×M₁₆	—	2	32	no	—
177	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
178	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
179	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
180	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
181	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
182	C₂×M₁₆	#67	1	8	yes	—
183	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
184	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
185	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₈	#67	1	4	yes	—
187	C₂²×C₈	C₂²×D₃	1	2	yes	—
188	C₂²×C₈	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₈	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
190	C₂²⋊Q₈	—	6	4	no	—
191	C₂²⋊Q₈	—	6	8	no	—
192	C₂²⋊Q₈	—	6	4	no	—
193	C₂²⋊Q₈	—	6	8	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	3	4	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	3	2	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	—	6	2	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	6	4	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	6	2	no	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	—	6	4	no	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	—	6	2	no	—
202	#107	—	6	2	no	—
203	#106	—	6	4	no	—
204	#103	—	6	4	no	—
205	#103	—	6	8	no	—
206	#95	—	6	2	no	—
207	#95	—	6	4	no	—
208	C₂³×C₃	—	2	2	no	—
209	C₂³×C₃	—	2	2	no	—
210	C₂³×C₃	—	2	8	no	—
211	C₂³×C₃	—	2	2	no	—
212	C₂³×C₃	—	2	2	no	—
213	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
214	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
215	C₂³×C₃	—	4	16	no	—
216	C₂³×C₃	—	4	4	no	—
217	C₂³×C₃	—	4	4	no	—
218	C₂³×C₃	#121	1	4	yes	—
219	C₂³×C₃	#121	1	2	yes	—
220	C₂³×C₃	#137	1	4	yes	—
221	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
223	C₂×C₃×C₄	—	2	16	no	—
224	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
226	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
227	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂×C₃×C₄	#121	1	2	yes	—
235	C₂×C₃×C₄	#121	1	4	yes	—
236	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
238	C₂×C₃×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
239	C₂×C₃×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
240	C₂×Dic₃	—	4	2	no	—
241	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
242	C₂×Dic₃	—	4	2	no	—
243	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
244	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
245	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
246	C₂×Dic₃	—	4	4	no	—
247	Dic₆	—	4	2	no	—
248	Dic₆	—	4	4	no	—
249	Dic₆	—	4	2	no	—
250	C₃×C₈	—	2	4	no	—
251	C₃×C₈	—	2	2	no	—
252	C₃×C₈	#120	1	4	yes	—
253	C₂⁴	—	2	4	no	—
254	C₂⁴	—	2	2	no	—
255	C₂⁴	—	2	4	no	—
256	C₂⁴	—	4	2	no	—
257	C₂⁴	C₂×D₁₂	1	2	yes	—
258	C₂⁴	C₂×D₁₂	1	1	yes	characteristic
259	C₂×Q₈	—	6	2	no	—
260	C₂×Q₈	—	6	4	no	—
261	C₂×Q₈	—	6	2	no	—
262	C₂×Q₈	—	6	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂²×C₄	—	6	4	no	—
278	C₂²×C₄	—	6	2	no	—
279	C₂²×C₄	—	6	2	no	—
280	C₂²×C₄	C₂×D₁₂	1	1	yes	characteristic
281	C₂²×C₄	C₂×D₁₂	1	2	yes	—
282	C₂²×C₄	#235	1	4	yes	—
283	C₂²×C₄	#235	1	2	yes	—
284	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
285	C₂²×C₄	C₂×#67	1	4	yes	—
286	C₂²×C₄	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
287	Q₁₆	—	12	4	no	—
288	M₁₆	—	2	16	no	—
289	M₁₆	—	2	16	no	—
290	C₂×C₈	—	2	8	no	—
291	C₂×C₈	—	2	2	no	—
292	C₂×C₈	—	2	2	no	—
293	C₂×C₈	—	2	2	no	—
294	C₂×C₈	—	2	8	no	—
295	C₂×C₈	C₂×#67	1	4	yes	—
296	C₂×C₈	C₂×#67	1	2	yes	—
297	C₂×C₈	C₂×#67	1	4	yes	—
298	C₂×C₈	C₂×#67	1	2	yes	—
299	C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	6	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	6	4	no	—
302	C₄⋊C₄	—	6	2	no	—
303	C₄⋊C₄	—	12	4	no	—
304	C₄⋊C₄	—	12	8	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	12	8	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	12	4	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	12	8	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	12	4	no	—
309	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
310	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
311	C₂²×C₃	—	2	8	no	—
312	C₂²×C₃	—	2	4	no	—
313	C₂²×C₃	—	2	8	no	—
314	C₂²×C₃	—	4	16	no	—
315	C₂²×C₃	—	4	2	no	—
316	C₂²×C₃	—	4	2	no	—
317	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
318	C₂²×C₃	#470	1	4	yes	complemented
319	C₂²×C₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
320	C₂²×C₃	C₂×#121	1	2	yes	—
321	C₂²×C₃	C₂×#137	1	2	yes	—
322	C₂²×C₃	#575	1	2	yes	—
323	C₃×C₄	—	2	2	no	—
324	C₃×C₄	—	2	4	no	—
325	C₃×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
326	C₃×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
327	C₃×C₄	#525	1	2	yes	—
328	Dic₃	—	8	2	no	—
329	Dic₃	—	8	2	no	—
330	Dic₃	—	8	4	no	—
331	C₂³	—	2	2	no	—
332	C₂³	—	2	2	no	—
333	C₂³	—	2	8	no	—
334	C₂³	—	2	4	no	—
335	C₂³	—	2	4	no	—
336	C₂³	—	2	2	no	—
337	C₂³	—	2	2	no	—
338	C₂³	—	4	16	no	—
339	C₂³	—	4	4	no	—
340	C₂³	—	4	4	no	—
341	C₂³	#909	1	4	yes	—
342	C₂³	#930	1	4	yes	—
343	C₂³	#930	1	2	yes	—
344	C₂³	C₂²×D₁₂	1	1	yes	characteristic
345	Q₈	—	12	2	no	—
346	Q₈	—	12	4	no	—
347	Q₈	—	12	2	no	—
348	C₂×C₄	—	2	8	no	—
349	C₂×C₄	—	2	16	no	—
350	C₂×C₄	—	2	2	no	—
351	C₂×C₄	—	2	2	no	—
352	C₂×C₄	—	2	2	no	—
353	C₂×C₄	—	2	4	no	—
354	C₂×C₄	—	2	4	no	—
355	C₂×C₄	—	2	4	no	—
356	C₂×C₄	—	2	2	no	—
357	C₂×C₄	—	2	4	no	—
358	C₂×C₄	—	2	2	no	—
359	C₂×C₄	—	2	4	no	—
360	C₂×C₄	—	12	4	no	—
361	C₂×C₄	—	12	4	no	—
362	C₂×C₄	—	12	4	no	—
363	C₂×C₄	—	12	2	no	—
364	C₂×C₄	—	12	4	no	—
365	C₂×C₄	—	12	2	no	—
366	C₂×C₄	—	12	4	no	—
367	C₂×C₄	#930	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	#930	1	4	yes	—
369	C₂×C₄	C₂×#235	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	C₂×#235	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	C₂²×#67	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	C₂²×#67	1	2	yes	—
373	C₈	—	2	4	no	—
374	C₈	—	2	2	no	—
375	C₈	#953	1	4	yes	—
376	C₂×C₃	—	2	4	no	—
377	C₂×C₃	—	4	4	no	—
378	C₂×C₃	#2847	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₃	C₂×#470	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₃	#3054	1	1	yes	characteristic
381	C₂×C₃	#3056	1	4	yes	—
382	C₂²	—	2	2	no	—
383	C₂²	—	2	8	no	—
384	C₂²	—	2	2	no	—
385	C₂²	—	2	8	no	—
386	C₂²	—	2	4	no	—
387	C₂²	—	4	16	no	—
388	C₂²	—	4	2	no	—
389	C₂²	—	4	2	no	—
390	C₂²	—	4	4	no	—
391	C₂²	#5137	1	4	yes	complemented
392	C₂²	C₂×#909	1	2	yes	—
393	C₂²	#5748	1	2	yes	—
394	C₂²	C₂×#930	1	1	yes	characteristic
395	C₂²	C₂×#930	1	2	yes	—
396	C₄	—	2	2	no	—
397	C₄	—	2	4	no	—
398	C₄	—	24	2	no	—
399	C₄	—	24	4	no	—
400	C₄	—	24	2	no	—
401	C₄	#5791	1	2	yes	—
402	C₄	#5791	1	1	yes	characteristic
403	C₄	C₂×#953	1	1	yes	characteristic
404	C₃	#32937	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
405	C₂	—	2	4	no	—
406	C₂	—	4	4	no	—
407	C₂	#83771	1	1	yes	characteristic
408	C₂	C₂×#5137	1	1	yes	characteristic
409	C₂	#83776	1	4	yes	—
410	C₂	#84032	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₁₂
commutator, cosocle	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₃
Fitting	C₂³×C₃×M₁₆	C₂
socle	C₂³×C₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂⁵×C₃	D₄
hypercenter	C₂³×M₁₆	D₃
hypocenter	C₃	#32937
LCS	G ▷ C₂²×C₃×C₄ ▷ C₂×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂⁴×C₄ ◁ C₂³×M₁₆

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#5137	C₂	semidirect
4. C₂×#5116	C₂	semidirect
5. #71989	C₂	semidirect
6. #71988	C₂	semidirect
7. #71972	C₂	semidirect
8. #71970	C₂	semidirect
19. C₂²×Dic₁₂	C₂²	semidirect
27. C₂×#818	C₂²	semidirect
28. C₂×#817	C₂²	semidirect
29. C₂×#816	C₂²	semidirect
30. C₂×#816	C₂²	semidirect
31. #4551	C₂²	semidirect
32. #4551	C₂²	semidirect
318. C₂²×C₃	#470	semidirect
391. C₂²	#5137	semidirect
404. C₃	#32937	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×C₃×M₁₆	2
#84031	2
C₂×#5137	2
C₂×#5116	2
#71989	2
#71988	2
#71972	2
#71970	2
#32937	3