Subgroups — #10948799

Order 768.

584 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 386 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#83794	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₃×#2113	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#72004	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#71433	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₁₆×#67	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	D₃×C₂²⋊C₁₆	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#69103	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#67⋊C₁₆	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#69094	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#33491	—	3	1	no	maximal, Sylow
11	C₂×C₃×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#5828	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×D₃×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₃×M₃₂	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
15	C₂²×C₃×C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
16	#5234	C₄	1	1	yes	characteristic
17	#5127	C₄	1	2	yes	—
18	#5127	C₄	1	2	yes	—
19	#5126	C₄	1	1	yes	characteristic
20	#5119	C₄	1	1	yes	characteristic
21	C₈×#67	C₂²	1	2	yes	—
22	C₈×#67	C₂²	1	2	yes	—
23	#5101	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#812	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
25	C₂²×C₃⋊C₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
26	C₂×D₃×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×D₃×C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
28	C₃×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
29	C₃×C₂²⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
30	#4549	C₂²	1	2	yes	—
31	#4549	C₂²	1	2	yes	complemented
32	(C₂×D₃)⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
33	(C₂×D₃)⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	—
34	#4502	C₂²	1	2	yes	complemented
35	Dic₃⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
36	Dic₃⋊C₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
37	Dic₃×C₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
38	#2929	—	3	1	no	—
39	#2168	—	3	2	no	—
40	#2168	—	3	2	no	—
41	D₄×C₁₆	—	3	2	no	—
42	D₄×C₁₆	—	3	2	no	—
43	#2164	—	3	2	no	—
44	#2113	—	3	1	no	—
45	#2113	D₃	1	1	yes	characteristic, complemented
46	C₂×C₂²⋊C₁₆	—	3	2	no	—
47	C₂×C₃×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×C₄×D₃	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₃×#131	—	4	1	no	—
50	C₃×#131	—	4	1	no	—
51	C₂×C₃×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₃×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₃×M₁₆	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₃×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₃×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×C₃×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	#946	C₈	1	2	yes	—
58	#938	C₈	1	2	yes	—
59	#937	C₈	1	1	yes	characteristic
60	#937	C₈	1	1	yes	characteristic
61	#935	C₈	1	1	yes	characteristic
62	#935	C₈	1	1	yes	characteristic
63	C₄×#67	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	C₄×#67	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	#926	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂×#208	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₃⋊C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×D₃×C₈	—	4	1	no	—
69	C₂×D₃×C₈	—	4	1	no	—
70	C₂×D₃×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂×D₃×C₈	C₂³	1	2	yes	—
72	C₃×M₃₂	—	4	1	no	—
73	C₂×C₃×C₁₆	—	4	1	no	—
74	C₂×C₃×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×C₃×C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
76	#830	C₂×C₄	1	2	yes	—
77	#830	C₂×C₄	1	2	yes	—
78	(C₂×D₃)⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	(C₂×D₃)⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
80	#815	C₂×C₄	1	2	yes	—
81	Dic₃⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
82	Dic₃⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	C₈×Dic₃	C₂³	1	2	yes	—
84	#812	—	4	1	no	—
85	C₂×C₃⋊C₁₆	—	4	1	no	—
86	C₂×C₃⋊C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×C₃⋊C₁₆	C₂³	1	2	yes	—
88	D₃×C₁₆	—	4	2	no	—
89	D₃×C₁₆	—	4	2	no	—
90	C₂×#131	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
91	C₂³×C₈	—	3	1	no	—
92	#525	—	3	1	no	—
93	C₂×M₃₂	—	3	1	no	—
94	C₂×M₃₂	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic, complemented
95	C₂²×C₁₆	—	3	1	no	—
96	C₂²×C₁₆	—	3	2	no	—
97	C₂²×C₁₆	—	3	2	no	—
98	C₂²×C₁₆	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic, complemented
99	#435	—	3	2	no	—
100	#435	—	3	2	no	—
101	C₈×D₄	—	3	2	no	—
102	C₈×D₄	—	3	2	no	—
103	#424	—	3	1	no	—
104	#408	—	3	1	no	—
105	#407	—	3	1	no	—
106	#405	—	3	1	no	—
107	C₄⋊C₁₆	—	3	2	no	—
108	C₄⋊C₁₆	—	3	2	no	—
109	C₂²⋊C₁₆	—	3	2	no	—
110	C₂²⋊C₁₆	—	3	2	no	—
111	C₂²⋊C₁₆	—	3	2	no	—
112	C₂²⋊C₁₆	—	3	2	no	—
113	C₂²⋊C₁₆	C₂×D₃	1	2	yes	—
114	C₂²⋊C₁₆	C₂×D₃	1	2	yes	complemented
115	#346	—	3	2	no	—
116	C₄×C₁₆	—	3	2	no	—
117	C₂³×D₃	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
118	C₃×#41	—	4	1	no	—
119	C₃×#41	—	4	1	no	—
120	C₂×C₃×Q₈	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₃×D₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₃×D₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₃×D₄	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂×#67	C₂×C₈	1	2	yes	—
128	C₂×#67	C₂×C₈	1	2	yes	—
129	C₂²×Dic₃	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄×D₃	—	4	1	no	—
131	C₂×C₄×D₃	—	4	1	no	—
132	C₂×C₄×D₃	C₂×C₈	1	2	yes	—
133	C₂×C₄×D₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
134	C₃×M₁₆	—	4	1	no	—
135	C₃×M₁₆	—	4	1	no	—
136	C₃×M₁₆	—	4	1	no	—
137	C₂×C₃×C₈	—	2	1	no	—
138	C₂×C₃×C₈	—	2	1	no	—
139	C₂×C₃×C₈	—	2	1	no	—
140	C₂×C₃×C₈	—	2	1	no	—
141	C₂×C₃×C₈	—	2	1	no	—
142	C₂×C₃×C₈	—	2	1	no	—
143	C₂×C₃×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₃×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₃×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₃×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
147	#217	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
148	#217	C₂×C₈	1	1	yes	characteristic
149	#217	C₂×C₈	1	2	yes	—
150	#217	C₂×C₈	1	2	yes	—
151	(C₂×D₃)⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
152	(C₂×D₃)⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
153	C₄⋊Dic₃	C₂×C₈	1	2	yes	—
154	Dic₃⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
155	Dic₃⋊C₄	C₂×C₈	1	2	yes	—
156	C₄×Dic₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
157	#208	—	4	1	no	—
158	C₂×C₃⋊C₈	—	4	1	no	—
159	C₂×C₃⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₃⋊C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
161	D₃×C₈	—	2	2	no	—
162	D₃×C₈	—	2	2	no	—
163	D₃×C₈	—	4	2	no	—
164	C₃×C₁₆	—	2	2	no	—
165	C₃×C₁₆	—	2	2	no	—
166	C₃⋊C₁₆	—	2	2	no	—
167	C₃⋊C₁₆	—	2	2	no	—
168	C₂×#41	C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
169	C₂³×C₄	—	3	1	no	—
170	#131	—	4	1	no	—
171	#131	—	4	1	no	—
172	C₂×M₁₆	—	3	1	no	—
173	C₂×M₁₆	C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
174	C₂×M₁₆	C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
175	C₂×M₁₆	C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
176	C₂²×C₈	—	3	1	no	—
177	C₂²×C₈	—	3	2	no	—
178	C₂²×C₈	—	3	2	no	—
179	C₂²×C₈	—	12	1	no	—
180	C₂²×C₈	—	12	1	no	—
181	C₂²×C₈	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₈	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₈	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
184	#123	—	3	1	no	—
185	#123	—	3	1	no	—
186	C₂²⋊Q₈	—	3	2	no	—
187	#121	—	3	2	no	—
188	#120	—	3	1	no	—
189	#120	—	3	1	no	—
190	C₄×D₄	—	3	2	no	—
191	C₄×D₄	—	3	2	no	—
192	#117	—	3	1	no	—
193	M₃₂	—	4	1	no	—
194	M₃₂	—	12	1	no	—
195	C₂×C₁₆	—	3	2	no	—
196	C₂×C₁₆	—	3	2	no	—
197	C₂×C₁₆	—	4	1	no	—
198	C₂×C₁₆	—	12	2	no	—
199	C₂×C₁₆	—	12	2	no	—
200	C₂×C₁₆	—	12	1	no	—
201	C₂×C₁₆	C₂²×D₃	1	2	yes	—
202	C₂×C₁₆	C₂²×D₃	1	2	yes	—
203	C₄⋊C₈	—	3	2	no	—
204	C₄⋊C₈	—	3	2	no	—
205	C₂²⋊C₈	—	3	2	no	—
206	C₂²⋊C₈	—	3	2	no	—
207	C₂²⋊C₈	—	3	2	no	—
208	C₂²⋊C₈	—	3	2	no	—
209	#97	—	3	2	no	—
210	C₄×C₈	—	3	2	no	—
211	C₂³×C₃	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
212	C₂³×C₃	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
213	C₂³×C₃	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×D₃	—	2	4	no	—
215	C₂²×D₃	—	4	1	no	—
216	C₂²×D₃	C₂²×C₈	1	2	yes	—
217	C₃×Q₈	—	4	1	no	—
218	C₃×D₄	—	4	1	no	—
219	C₃×D₄	—	4	1	no	—
220	C₃×D₄	—	4	1	no	—
221	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
222	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
223	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
224	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
225	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
226	C₂×C₃×C₄	—	2	1	no	—
227	C₂×C₃×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
228	C₂×C₃×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
229	C₂×C₃×C₄	C₂²×C₈	1	1	yes	characteristic
230	C₂×C₃×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
231	#67	—	2	4	no	—
232	#67	—	2	4	no	—
233	C₂×Dic₃	—	4	1	no	—
234	C₂×Dic₃	C₂²×C₈	1	2	yes	—
235	C₂×Dic₃	C₂²×C₈	1	2	yes	—
236	C₂×Dic₃	C₂²×C₈	1	2	yes	—
237	C₄×D₃	—	2	2	no	—
238	C₄×D₃	—	2	2	no	—
239	C₄×D₃	—	4	2	no	—
240	C₃×C₈	—	2	1	no	—
241	C₃×C₈	—	2	1	no	—
242	C₃×C₈	—	2	1	no	—
243	C₃×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
244	C₃×C₈	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
245	C₃⋊C₈	—	2	2	no	—
246	C₃⋊C₈	—	2	2	no	—
247	C₂⁴	—	3	1	no	—
248	#41	—	4	1	no	—
249	#41	—	4	1	no	—
250	C₂×Q₈	D₃×C₈	1	1	yes	characteristic
251	C₂×D₄	—	3	2	no	—
252	C₂×D₄	—	3	2	no	—
253	C₂×D₄	D₃×C₈	1	1	yes	characteristic
254	C₂×D₄	D₃×C₈	1	1	yes	characteristic
255	C₂×D₄	D₃×C₈	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	—	3	1	no	—
257	C₂²×C₄	—	3	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	3	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	12	1	no	—
260	C₂²×C₄	—	12	1	no	—
261	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	C₂×C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
264	M₁₆	—	4	1	no	—
265	M₁₆	—	4	1	no	—
266	M₁₆	—	4	1	no	—
267	M₁₆	—	12	1	no	—
268	C₂×C₈	—	2	1	no	—
269	C₂×C₈	—	2	1	no	—
270	C₂×C₈	—	2	1	no	—
271	C₂×C₈	—	2	1	no	—
272	C₂×C₈	—	2	1	no	—
273	C₂×C₈	—	2	1	no	—
274	C₂×C₈	—	3	2	no	—
275	C₂×C₈	—	3	2	no	—
276	C₂×C₈	—	6	2	no	—
277	C₂×C₈	—	6	2	no	—
278	C₂×C₈	—	12	2	no	—
279	C₂×C₈	—	12	1	no	—
280	C₂×C₈	C₂×C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₈	C₂×C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₈	C₂×C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₈	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
284	C₄⋊C₄	—	3	2	no	—
285	C₄⋊C₄	—	3	2	no	—
286	C₄⋊C₄	—	3	2	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	3	1	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	3	1	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	3	2	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	3	2	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	3	2	no	—
292	C₂²⋊C₄	—	3	2	no	—
293	C₄²	—	3	2	no	—
294	C₁₆	—	2	2	no	—
295	C₁₆	—	2	2	no	—
296	C₁₆	—	6	2	no	—
297	C₁₆	—	6	2	no	—
298	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
299	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
300	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
301	C₂²×C₃	—	2	1	no	—
302	C₂²×C₃	—	2	1	no	—
303	C₂²×C₃	—	2	1	no	—
304	C₂²×C₃	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
305	C₂×D₃	—	2	2	no	—
306	C₂×D₃	—	2	2	no	—
307	C₂×D₃	—	4	4	no	—
308	C₂×D₃	#504	1	4	yes	—
309	C₃×C₄	—	2	1	no	—
310	C₃×C₄	—	2	1	no	—
311	C₃×C₄	—	2	1	no	—
312	C₃×C₄	#518	1	1	yes	characteristic
313	C₃×C₄	#568	1	1	yes	characteristic
314	Dic₃	—	2	2	no	—
315	Dic₃	—	2	2	no	—
316	Dic₃	—	2	2	no	—
317	C₂³	—	3	2	no	—
318	C₂³	—	6	4	no	—
319	C₂³	—	12	1	no	—
320	C₂³	C₂×D₃×C₈	1	1	yes	characteristic
321	C₂³	C₂×D₃×C₈	1	1	yes	characteristic
322	C₂³	C₂×D₃×C₈	1	1	yes	characteristic
323	Q₈	—	4	1	no	—
324	D₄	—	4	1	no	—
325	D₄	—	4	1	no	—
326	D₄	—	4	1	no	—
327	D₄	—	6	4	no	—
328	D₄	—	6	4	no	—
329	C₂×C₄	—	2	1	no	—
330	C₂×C₄	—	2	1	no	—
331	C₂×C₄	—	2	1	no	—
332	C₂×C₄	—	2	1	no	—
333	C₂×C₄	—	2	1	no	—
334	C₂×C₄	—	2	1	no	—
335	C₂×C₄	—	3	2	no	—
336	C₂×C₄	—	3	2	no	—
337	C₂×C₄	—	3	2	no	—
338	C₂×C₄	—	6	2	no	—
339	C₂×C₄	—	6	2	no	—
340	C₂×C₄	—	12	2	no	—
341	C₂×C₄	—	12	1	no	—
342	C₂×C₄	C₂×D₃×C₈	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂×D₃×C₈	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₂×D₃×C₈	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂²×C₄×D₃	1	1	yes	characteristic
346	C₈	—	2	1	no	—
347	C₈	—	2	1	no	—
348	C₈	—	2	1	no	—
349	C₈	—	6	2	no	—
350	C₈	—	6	2	no	—
351	C₈	#1004	1	1	yes	characteristic
352	C₈	#1004	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₃	—	4	1	no	—
354	C₂×C₃	—	4	1	no	—
355	C₂×C₃	—	4	1	no	—
356	C₂×C₃	#2972	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₃	C₂×#504	1	2	yes	—
358	D₃	—	2	4	no	—
359	C₂²	—	2	1	no	—
360	C₂²	—	2	1	no	—
361	C₂²	—	2	1	no	—
362	C₂²	—	2	2	no	—
363	C₂²	—	2	2	no	—
364	C₂²	—	2	2	no	—
365	C₂²	—	3	4	no	—
366	C₂²	—	6	2	no	—
367	C₂²	—	6	2	no	—
368	C₂²	—	12	4	no	—
369	C₂²	C₂²×D₃×C₈	1	1	yes	characteristic
370	C₄	—	2	1	no	—
371	C₄	—	2	1	no	—
372	C₄	—	2	1	no	—
373	C₄	—	6	2	no	—
374	C₄	—	6	2	no	—
375	C₄	—	6	2	no	—
376	C₄	#5486	1	1	yes	characteristic
377	C₄	#5745	1	1	yes	characteristic
378	C₃	#33491	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
379	C₂	—	4	1	no	—
380	C₂	—	4	1	no	—
381	C₂	—	4	1	no	—
382	C₂	—	6	4	no	—
383	C₂	#78601	1	1	yes	characteristic
384	C₂	D₃×#504	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂×C₈	C₂³×D₃
commutator, socle	C₂²×C₃	C₂³×C₈
Fitting	C₃×#2113	C₂
prime radical	#5828	C₄
cosocle	C₂×C₃×C₈	C₂⁴
hypercenter	#2113	D₃
hypocenter	C₃	#33491
LCS	G ▷ C₂²×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂×C₈ ◁ #2113

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₃×#2113	C₂	semidirect
3. #72004	C₂	semidirect
4. #71433	C₂	semidirect
5. C₁₆×#67	C₂	semidirect
6. D₃×C₂²⋊C₁₆	C₂	semidirect
7. #69103	C₂	semidirect
8. #67⋊C₁₆	C₂	semidirect
9. #69094	C₂	semidirect
14. C₂×C₃×M₃₂	C₂²	semidirect
15. C₂²×C₃×C₁₆	C₂²	semidirect
24. C₂×#812	C₂²	semidirect
25. C₂²×C₃⋊C₁₆	C₂²	semidirect
29. C₃×C₂²⋊C₁₆	C₂²	semidirect
31. #4549	C₂²	semidirect
34. #4502	C₂²	semidirect
35. Dic₃⋊C₁₆	C₂²	semidirect
36. Dic₃⋊C₁₆	C₂²	semidirect
37. Dic₃×C₁₆	C₂²	semidirect
45. #2113	D₃	semidirect
94. C₂×M₃₂	C₂×D₃	semidirect
98. C₂²×C₁₆	C₂×D₃	semidirect
114. C₂²⋊C₁₆	C₂×D₃	semidirect
378. C₃	#33491	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#83794	2
C₃×#2113	2
#72004	2
#71433	2
C₁₆×#67	2
D₃×C₂²⋊C₁₆	2
#69103	2
#67⋊C₁₆	2
#69094	2
#33491	3