Subgroups — C₂×#76574 #11430859

Order 768.

2526 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 316 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#944	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×C₃×#391	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#4981	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#4928	C₂	1	2	yes	maximal
5	#76574	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
6	C₂×#4656	C₂	1	4	yes	maximal
7	C₂×#4653	C₂	1	4	yes	maximal
8	C₂×#2734	—	3	1	no	maximal, Sylow
9	C₂³×C₃×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂³×Dic₆	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×C₃×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×C₃×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#944	—	2	16	no	—
14	C₂×#944	C₂²	1	16	yes	—
15	C₂²×C₄⋊Dic₃	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄⋊Dic₃	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×C₄⋊Dic₃	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×Dic₃⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂²×Dic₃⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂²×C₄×Dic₃	C₂²	1	2	yes	—
21	C₃×#391	C₂²	1	8	yes	—
22	C₂×C₃×#95	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×C₃⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
26	#4981	C₂²	1	16	yes	—
27	#4928	C₂²	1	16	yes	—
28	#4656	C₂²	1	32	yes	—
29	#4653	C₂²	1	32	yes	—
30	C₂²×C₄⋊Q₈	—	3	2	no	—
31	#2734	—	3	16	no	—
32	C₂×#398	—	3	2	no	—
33	C₂×#395	—	3	4	no	—
34	C₂×#391	D₃	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#389	—	3	2	no	—
36	C₂×#387	—	3	4	no	—
37	C₂²×C₃×Q₈	—	4	2	no	—
38	C₂²×C₃×Q₈	—	4	2	no	—
39	C₂²×C₃×Q₈	D₄	1	8	yes	—
40	C₂²×C₃×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂³×Dic₃	C₂³	1	4	yes	—
46	C₂³×Dic₃	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂²×Dic₆	—	2	8	no	—
48	C₂²×Dic₆	—	4	4	no	—
49	C₂²×Dic₆	—	4	4	no	—
50	C₂²×Dic₆	C₂³	1	8	yes	—
51	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
52	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂×C₃×C₄²	—	4	2	no	—
54	C₂×C₃×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
55	#944	—	2	64	no	—
56	C₂×C₄⋊Dic₃	—	4	4	no	—
57	C₂×C₄⋊Dic₃	—	4	4	no	—
58	C₂×C₄⋊Dic₃	Q₈	1	16	yes	complemented
59	C₂×C₄⋊Dic₃	C₂³	1	8	yes	—
60	C₂×C₄⋊Dic₃	C₂³	1	8	yes	—
61	C₂×C₄⋊Dic₃	C₂³	1	8	yes	—
62	C₂×Dic₃⋊C₄	—	2	16	no	—
63	C₂×Dic₃⋊C₄	—	2	16	no	—
64	C₂×Dic₃⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
65	C₂×Dic₃⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
66	C₂×C₄×Dic₃	—	2	8	no	—
67	C₂×C₄×Dic₃	C₂³	1	8	yes	—
68	C₃×#95	C₂³	1	16	yes	—
69	C₃⋊#95	C₂³	1	8	yes	—
70	C₃⋊#95	C₂³	1	16	yes	—
71	C₃⋊#95	C₂³	1	16	yes	—
72	C₂³×Q₈	—	3	2	no	—
73	C₂³×Q₈	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄⋊Q₈	—	3	16	no	—
75	C₂×C₄⋊Q₈	—	6	16	no	—
76	C₂²×C₄⋊C₄	—	3	2	no	—
77	C₂²×C₄⋊C₄	—	3	4	no	—
78	C₂²×C₄⋊C₄	—	3	4	no	—
79	C₂²×C₄⋊C₄	—	3	2	no	—
80	C₂²×C₄⋊C₄	—	3	2	no	—
81	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×C₄²	—	3	2	no	—
83	C₂²×C₄²	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
84	#398	—	3	16	no	—
85	#395	—	3	32	no	—
86	#391	C₂×D₃	1	8	yes	—
87	#389	—	3	16	no	—
88	#387	—	3	32	no	—
89	C₂×#95	—	3	4	no	—
90	C₂×#95	—	3	4	no	—
91	C₂×#95	—	3	2	no	—
92	C₂×#95	C₂×D₃	1	4	yes	—
93	C₂⁴×C₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₃×Q₈	—	4	16	no	—
95	C₂×C₃×Q₈	—	4	4	no	—
96	C₂×C₃×Q₈	—	4	4	no	—
97	C₂×C₃×Q₈	C₂×D₄	1	16	yes	—
98	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
99	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
100	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
101	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
102	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
103	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
104	C₂²×C₃×C₄	—	2	4	no	—
105	C₂²×C₃×C₄	—	2	8	no	—
106	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
107	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
108	C₂²×C₃×C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
109	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
110	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
111	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
112	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
113	C₂²×Dic₃	—	2	8	no	—
114	C₂²×Dic₃	—	2	8	no	—
115	C₂²×Dic₃	—	2	8	no	—
116	C₂²×Dic₃	—	2	8	no	—
117	C₂²×Dic₃	—	2	8	no	—
118	C₂²×Dic₃	C₂×Q₈	1	16	yes	—
119	C₂²×Dic₃	C₂⁴	1	8	yes	—
120	C₂²×Dic₃	C₂⁴	1	8	yes	—
121	C₂×Dic₆	—	2	16	no	—
122	C₂×Dic₆	—	4	8	no	—
123	C₂×Dic₆	—	4	8	no	—
124	C₂×Dic₆	—	4	32	no	—
125	C₃×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
126	C₃×C₄²	—	4	4	no	—
127	C₄⋊Dic₃	—	4	8	no	—
128	C₄⋊Dic₃	—	4	8	no	—
129	C₄⋊Dic₃	C₂×Q₈	1	32	yes	complemented
130	Dic₃⋊C₄	—	2	32	no	—
131	Dic₃⋊C₄	—	2	32	no	—
132	C₄×Dic₃	—	2	16	no	—
133	C₂²×Q₈	—	3	8	no	—
134	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
135	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
136	C₂²×Q₈	—	6	8	no	—
137	C₂²×Q₈	—	12	4	no	—
138	C₂²×Q₈	—	12	4	no	—
139	C₂²×Q₈	D₁₂	1	8	yes	—
140	C₂²×Q₈	C₂²×D₃	1	4	yes	—
141	C₂³×C₄	—	3	4	no	—
142	C₂³×C₄	—	3	4	no	—
143	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	2	yes	—
144	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
145	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	2	yes	—
146	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	2	yes	—
147	C₄⋊Q₈	—	6	64	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	3	16	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	3	8	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	3	16	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	3	16	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	3	8	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	3	8	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	6	16	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	6	16	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	12	4	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	12	4	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₃	1	4	yes	—
160	C₂×C₄²	—	3	8	no	—
161	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
162	C₂×C₄²	—	6	8	no	—
163	C₂×C₄²	C₂²×D₃	1	4	yes	—
164	#95	—	3	8	no	—
165	#95	—	3	16	no	—
166	#95	—	3	16	no	—
167	#95	C₂²×D₃	1	16	yes	—
168	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
169	C₂³×C₃	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
170	C₂³×C₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
171	C₂³×C₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
172	C₂³×C₃	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
173	C₂³×C₃	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
174	C₃×Q₈	—	4	16	no	—
175	C₂×C₃×C₄	—	2	16	no	—
176	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
177	C₂×C₃×C₄	—	2	16	no	—
178	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
179	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
186	C₂×C₃×C₄	—	4	8	no	—
187	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
188	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
189	C₂×C₃×C₄	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
190	C₂×Dic₃	—	2	32	no	—
191	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
192	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
193	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
194	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
195	C₂×Dic₃	—	2	8	no	—
196	C₂×Dic₃	—	4	16	no	—
197	C₂×Dic₃	C₂²×Q₈	1	16	yes	—
198	Dic₆	—	4	32	no	—
199	C₂⁴	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
200	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
201	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
203	C₂×Q₈	—	6	16	no	—
204	C₂×Q₈	—	12	8	no	—
205	C₂×Q₈	—	12	8	no	—
206	C₂×Q₈	—	12	32	no	—
207	C₂×Q₈	C₂×D₁₂	1	16	yes	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
216	C₂²×C₄	—	3	16	no	—
217	C₂²×C₄	—	3	8	no	—
218	C₂²×C₄	—	3	8	no	—
219	C₂²×C₄	—	6	8	no	—
220	C₂²×C₄	—	6	8	no	—
221	C₂²×C₄	—	6	8	no	—
222	C₂²×C₄	—	6	8	no	—
223	C₂²×C₄	—	6	8	no	—
224	C₂²×C₄	C₂×D₁₂	1	8	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂×D₁₂	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	D₃×Q₈	1	8	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂³×D₃	1	4	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂³×D₃	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂³×D₃	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂³×D₃	1	4	yes	—
231	C₄⋊C₄	—	3	32	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
233	C₄⋊C₄	—	6	32	no	—
234	C₄⋊C₄	—	6	32	no	—
235	C₄⋊C₄	—	12	8	no	—
236	C₄⋊C₄	—	12	8	no	—
237	C₄²	—	4	4	no	—
238	C₄²	—	6	16	no	—
239	C₂²×C₃	#534	1	4	yes	—
240	C₂²×C₃	#544	1	8	yes	—
241	C₂²×C₃	D₄×Q₈	1	8	yes	—
242	C₂²×C₃	Q₈²	1	4	yes	—
243	C₂²×C₃	#563	1	4	yes	—
244	C₂²×C₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₃	C₂³×Q₈	1	2	yes	—
246	C₂²×C₃	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₃	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₃	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
249	C₃×C₄	—	2	8	no	—
250	C₃×C₄	—	2	4	no	—
251	C₃×C₄	—	2	8	no	—
252	C₃×C₄	—	4	4	no	—
253	Dic₃	—	2	16	no	—
254	Dic₃	—	4	8	no	—
255	C₂³	C₂²×D₁₂	1	2	yes	—
256	C₂³	#1004	1	2	yes	—
257	C₂³	#1004	1	2	yes	—
258	C₂³	C₂×D₃×Q₈	1	4	yes	—
259	C₂³	#1010	1	4	yes	—
260	C₂³	C₂⁴×D₃	1	1	yes	characteristic
261	Q₈	—	4	16	no	—
262	Q₈	—	12	32	no	—
263	C₂×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	4	no	—
267	C₂×C₄	—	2	4	no	—
268	C₂×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	16	no	—
270	C₂×C₄	—	2	8	no	—
271	C₂×C₄	—	2	16	no	—
272	C₂×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂×C₄	—	2	8	no	—
274	C₂×C₄	—	3	16	no	—
275	C₂×C₄	—	4	8	no	—
276	C₂×C₄	—	6	8	no	—
277	C₂×C₄	—	6	8	no	—
278	C₂×C₄	—	6	32	no	—
279	C₂×C₄	—	6	8	no	—
280	C₂×C₄	—	6	8	no	—
281	C₂×C₄	—	6	8	no	—
282	C₂×C₄	—	12	16	no	—
283	C₂×C₄	C₂²×D₁₂	1	8	yes	—
284	C₂×C₄	C₂²×D₁₂	1	4	yes	—
285	C₂×C₄	C₂×D₃×Q₈	1	8	yes	—
286	C₂×C₃	#2734	1	8	yes	complemented
287	C₂×C₃	C₂×#534	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₃	C₂×#544	1	2	yes	—
289	C₂×C₃	C₂×D₄×Q₈	1	2	yes	—
290	C₂×C₃	C₂×Q₈²	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₃	C₂×#563	1	1	yes	characteristic
292	C₂²	#5493	1	4	yes	—
293	C₂²	Q₈×D₁₂	1	8	yes	—
294	C₂²	#5623	1	8	yes	—
295	C₂²	#5672	1	4	yes	—
296	C₂²	#5722	1	4	yes	—
297	C₂²	C₂³×D₁₂	1	1	yes	characteristic
298	C₂²	C₂×#1004	1	1	yes	characteristic
299	C₂²	C₂×#1004	1	1	yes	characteristic
300	C₂²	C₂²×D₃×Q₈	1	2	yes	—
301	C₂²	C₂×#1010	1	2	yes	—
302	C₄	—	2	8	no	—
303	C₄	—	2	4	no	—
304	C₄	—	2	8	no	—
305	C₄	—	4	4	no	—
306	C₄	—	6	16	no	—
307	C₄	—	12	8	no	—
308	C₃	C₂×#2734	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
309	C₂	#76574	1	8	yes	direct product factor
310	C₂	C₂×#5493	1	1	yes	characteristic
311	C₂	C₂×Q₈×D₁₂	1	2	yes	—
312	C₂	C₂×#5623	1	2	yes	—
313	C₂	C₂×#5672	1	1	yes	characteristic
314	C₂	C₂×#5722	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂⁴	C₂³×D₃
commutator, cosocle	C₂³×C₃	C₂⁵
Frattini	C₂³	C₂⁴×D₃
Fitting	C₂×C₃×#391	C₂
socle, prime radical	C₂⁴×C₃	C₂⁴
hypercenter	C₂×#391	D₃
hypocenter	C₃	C₂×#2734
LCS	G ▷ C₂³×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×#391

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
5. #76574	C₂	direct (N × H)
58. C₂×C₄⋊Dic₃	Q₈	semidirect
129. C₄⋊Dic₃	C₂×Q₈	semidirect
286. C₂×C₃	#2734	semidirect
308. C₃	C₂×#2734	semidirect
309. C₂	#76574	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#944	2
C₂×C₃×#391	2
C₂×#4981	2
C₂×#4928	2
#76574	2
C₂×#4656	2
C₂×#4653	2
C₂×#2734	3

Subgroups — C2×#76574 #11430859

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#76574 #11430859