Subgroups — C₂×#84112 #11658687

Order 768.

4770 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 326 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₃×2₋¹⁺⁴	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#5819	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#84112	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
4	C₂×#5237	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
5	C₂²×#836	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	C₂×#2889	—	3	1	no	maximal, Sylow
7	C₂×C₃×2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
8	C₂×C₃×2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
9	C₂×C₃×2₋¹⁺⁴	C₄	1	8	yes	—
10	C₂×C₃×2₋¹⁺⁴	C₂²	1	8	yes	—
11	C₂²×C₃×#41	C₄	1	6	yes	—
12	C₂²×C₃×#41	C₂²	1	3	yes	—
13	C₂²×C₃×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂³×C₃×Q₈	C₄	1	2	yes	—
15	C₂³×C₃×Q₈	C₂²	1	3	yes	—
16	#5819	—	2	8	no	—
17	#5819	C₂²	1	16	yes	complemented
18	C₂×#948	—	2	8	no	—
19	C₂²×#208	C₂²	1	12	yes	—
20	#5237	C₂²	1	48	yes	complemented
21	C₂×#836	C₂²	1	12	yes	—
22	C₂×#836	C₂²	1	48	yes	complemented
23	C₂×#833	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂²×2₋¹⁺⁴	D₃	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#568	—	3	2	no	—
26	#2889	—	3	16	no	—
27	C₂×#413	—	3	6	no	—
28	C₂²×#101	—	3	6	no	—
29	C₃×2₋¹⁺⁴	—	2	64	no	—
30	C₃×2₋¹⁺⁴	—	2	64	no	—
31	C₂×C₃×#41	—	2	24	no	—
32	C₂×C₃×#41	—	2	24	no	—
33	C₂×C₃×#41	—	2	12	no	—
34	C₂×C₃×#41	—	2	12	no	—
35	C₂×C₃×#41	C₂×C₄	1	48	yes	—
36	C₂×C₃×#41	C₂×C₄	1	12	yes	—
37	C₂×C₃×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	C₂×C₃×#41	D₄	1	8	yes	—
39	C₂×C₃×#41	D₄	1	8	yes	—
40	C₂×C₃×#41	C₂³	1	12	yes	—
41	C₂×C₃×#41	C₂³	1	4	yes	—
42	C₂²×C₃×Q₈	—	2	8	no	—
43	C₂²×C₃×Q₈	—	2	8	no	—
44	C₂²×C₃×Q₈	—	2	12	no	—
45	C₂²×C₃×Q₈	—	2	12	no	—
46	C₂²×C₃×Q₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
47	C₂²×C₃×Q₈	C₂×C₄	1	16	yes	—
48	C₂²×C₃×Q₈	C₂×C₄	1	12	yes	—
49	C₂²×C₃×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₃×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
51	C₂²×C₃×Q₈	C₂³	1	12	yes	—
52	C₂²×C₃×D₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
53	C₂²×C₃×D₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
54	C₂²×C₃×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
56	C₂³×C₃×C₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
57	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	3	yes	—
58	#948	—	2	64	no	—
59	C₂×#208	—	2	12	no	—
60	C₂×#208	—	2	24	no	—
61	C₂×#208	C₂³	1	8	yes	—
62	C₂×#208	C₂³	1	48	yes	—
63	C₂²×C₃⋊C₈	—	2	12	no	—
64	#836	C₂³	1	48	yes	—
65	#833	C₂³	1	16	yes	—
66	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
67	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
68	C₂×2₋¹⁺⁴	Dic₃	1	8	yes	—
69	C₂×2₋¹⁺⁴	C₂×D₃	1	8	yes	—
70	C₂²×#41	Dic₃	1	6	yes	—
71	C₂²×#41	C₂×D₃	1	3	yes	—
72	C₂²×#41	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
73	C₂³×Q₈	Dic₃	1	2	yes	—
74	C₂³×Q₈	C₂×D₃	1	3	yes	—
75	#568	—	3	16	no	—
76	#568	—	6	8	no	—
77	C₂×#131	—	6	8	no	—
78	C₂²×M₁₆	—	3	12	no	—
79	#413	—	3	48	no	—
80	C₂×#101	—	3	12	no	—
81	C₂×#101	—	3	48	no	—
82	C₂×#100	—	3	4	no	—
83	C₂⁴×C₃	C₂²×C₄	1	2	yes	—
84	C₂⁴×C₃	C₂²×C₄	1	3	yes	—
85	C₃×#41	—	2	192	no	—
86	C₃×#41	—	2	48	no	—
87	C₃×#41	—	2	48	no	—
88	C₃×#41	C₂²⋊C₄	1	32	yes	—
89	C₃×#41	C₂×D₄	1	32	yes	—
90	C₂×C₃×Q₈	—	2	64	no	—
91	C₂×C₃×Q₈	—	2	12	no	—
92	C₂×C₃×Q₈	—	2	12	no	—
93	C₂×C₃×Q₈	—	2	48	no	—
94	C₂×C₃×Q₈	—	2	6	no	—
95	C₂×C₃×Q₈	—	2	6	no	—
96	C₂×C₃×Q₈	—	2	48	no	—
97	C₂×C₃×Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
98	C₂×C₃×Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
99	C₂×C₃×Q₈	C₂²×C₄	1	24	yes	—
100	C₂×C₃×Q₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
101	C₂×C₃×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
102	C₂×C₃×Q₈	C₂⁴	1	6	yes	—
103	C₂×C₃×D₄	—	2	12	no	—
104	C₂×C₃×D₄	—	2	12	no	—
105	C₂×C₃×D₄	—	2	2	no	—
106	C₂×C₃×D₄	—	2	2	no	—
107	C₂×C₃×D₄	C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
108	C₂×C₃×D₄	C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
109	C₂×C₃×D₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
110	C₂×C₃×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
111	C₂×C₃×D₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
112	C₂×C₃×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
113	C₂²×C₃×C₄	—	2	12	no	—
114	C₂²×C₃×C₄	—	2	12	no	—
115	C₂²×C₃×C₄	—	2	12	no	—
116	C₂²×C₃×C₄	—	2	12	no	—
117	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
118	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
119	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
120	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
121	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
122	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
123	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
124	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
126	#208	—	2	8	no	—
127	#208	—	2	48	no	—
128	#208	C₂⁴	1	16	yes	—
129	C₂×C₃⋊C₈	—	2	8	no	—
130	C₂×C₃⋊C₈	—	2	48	no	—
131	2₋¹⁺⁴	—	2	64	no	—
132	2₋¹⁺⁴	—	2	64	no	—
133	C₂×#41	—	2	24	no	—
134	C₂×#41	—	2	24	no	—
135	C₂×#41	—	2	12	no	—
136	C₂×#41	—	2	12	no	—
137	C₂×#41	C₂×Dic₃	1	48	yes	—
138	C₂×#41	C₂×Dic₃	1	12	yes	—
139	C₂×#41	C₂×Dic₃	1	4	yes	—
140	C₂×#41	#67	1	8	yes	—
141	C₂×#41	#67	1	8	yes	—
142	C₂×#41	C₂²×D₃	1	12	yes	—
143	C₂×#41	C₂²×D₃	1	4	yes	—
144	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
145	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
146	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
147	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
148	C₂²×Q₈	C₂×Dic₃	1	6	yes	—
149	C₂²×Q₈	C₂×Dic₃	1	16	yes	—
150	C₂²×Q₈	C₂×Dic₃	1	12	yes	—
151	C₂²×Q₈	C₂×Dic₃	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×Q₈	C₂²×D₃	1	3	yes	—
153	C₂²×Q₈	C₂²×D₃	1	12	yes	—
154	C₂²×D₄	C₂×Dic₃	1	6	yes	—
155	C₂²×D₄	C₂×Dic₃	1	3	yes	—
156	C₂²×D₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
157	C₂³×C₄	C₂×Dic₃	1	6	yes	—
158	C₂³×C₄	C₂×Dic₃	1	6	yes	—
159	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	3	yes	—
160	#131	—	6	64	no	—
161	C₂×M₁₆	—	3	8	no	—
162	C₂×M₁₆	—	3	48	no	—
163	C₂×M₁₆	—	6	12	no	—
164	C₂×M₁₆	—	6	24	no	—
165	C₂²×C₈	—	6	12	no	—
166	#101	—	3	48	no	—
167	#100	—	3	16	no	—
168	C₂³×C₃	—	2	2	no	—
169	C₂³×C₃	—	2	2	no	—
170	C₂³×C₃	—	4	6	no	—
171	C₂³×C₃	—	4	4	no	—
172	C₂³×C₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
173	C₂³×C₃	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
174	C₂³×C₃	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂³×C₃	C₂³×C₄	1	4	yes	—
176	C₂³×C₃	C₂³×C₄	1	6	yes	—
177	C₃×Q₈	—	2	48	no	—
178	C₃×Q₈	—	2	12	no	—
179	C₃×Q₈	—	2	12	no	—
180	C₃×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
181	C₃×D₄	—	2	48	no	—
182	C₃×D₄	—	2	4	no	—
183	C₃×D₄	—	2	4	no	—
184	C₃×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	48	yes	—
185	C₂×C₃×C₄	—	2	6	no	—
186	C₂×C₃×C₄	—	2	6	no	—
187	C₂×C₃×C₄	—	2	48	no	—
188	C₂×C₃×C₄	—	2	48	no	—
189	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
190	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
191	C₂×C₃×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
192	C₂×C₃×C₄	C₂³×C₄	1	12	yes	—
193	C₂×C₃×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
194	C₂×C₃×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
196	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	24	yes	—
197	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
198	C₂×C₃×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
199	C₃⋊C₈	—	2	16	no	—
200	C₂⁴	C₂²×Dic₃	1	2	yes	—
201	C₂⁴	C₂²×Dic₃	1	3	yes	—
202	#41	—	2	192	no	—
203	#41	—	2	48	no	—
204	#41	—	2	48	no	—
205	#41	#217	1	32	yes	—
206	#41	C₂×#67	1	32	yes	—
207	C₂×Q₈	—	2	64	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
209	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
210	C₂×Q₈	—	2	48	no	—
211	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
212	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	48	no	—
214	C₂×Q₈	#217	1	4	yes	—
215	C₂×Q₈	#217	1	4	yes	—
216	C₂×Q₈	C₂²×Dic₃	1	24	yes	—
217	C₂×Q₈	C₂²×Dic₃	1	6	yes	—
218	C₂×Q₈	C₂²×Dic₃	1	4	yes	—
219	C₂×Q₈	C₂³×D₃	1	6	yes	—
220	C₂×D₄	—	2	12	no	—
221	C₂×D₄	—	2	12	no	—
222	C₂×D₄	—	2	2	no	—
223	C₂×D₄	—	2	2	no	—
224	C₂×D₄	#217	1	12	yes	—
225	C₂×D₄	#217	1	12	yes	—
226	C₂×D₄	C₂²×Dic₃	1	24	yes	—
227	C₂×D₄	C₂²×Dic₃	1	2	yes	—
228	C₂×D₄	C₂²×Dic₃	1	12	yes	—
229	C₂×D₄	C₂³×D₃	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
234	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	6	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	24	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	24	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	3	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	6	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂×#67	1	12	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂×#67	1	12	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂³×D₃	1	6	yes	—
243	M₁₆	—	3	16	no	—
244	M₁₆	—	6	8	no	—
245	M₁₆	—	6	48	no	—
246	C₂×C₈	—	6	8	no	—
247	C₂×C₈	—	6	48	no	—
248	C₂²×C₃	—	2	2	no	—
249	C₂²×C₃	—	2	12	no	—
250	C₂²×C₃	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₃	—	4	6	no	—
252	C₂²×C₃	—	4	6	no	—
253	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
254	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
255	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
256	C₂²×C₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
258	C₂²×C₃	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₃	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
260	C₃×C₄	—	2	12	no	—
261	C₃×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
262	C₃×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
263	C₃×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
264	C₂³	—	2	2	no	—
265	C₂³	—	2	2	no	—
266	C₂³	—	4	6	no	—
267	C₂³	—	4	4	no	—
268	C₂³	C₂×#217	1	6	yes	—
269	C₂³	C₂×#217	1	6	yes	—
270	C₂³	C₂³×Dic₃	1	1	yes	characteristic
271	C₂³	C₂³×Dic₃	1	4	yes	—
272	C₂³	C₂³×Dic₃	1	6	yes	—
273	Q₈	—	2	12	no	—
274	Q₈	—	2	48	no	—
275	Q₈	—	2	12	no	—
276	Q₈	C₂×#217	1	16	yes	—
277	D₄	—	2	48	no	—
278	D₄	—	2	4	no	—
279	D₄	—	2	4	no	—
280	D₄	C₂×#217	1	48	yes	—
281	C₂×C₄	—	2	6	no	—
282	C₂×C₄	—	2	48	no	—
283	C₂×C₄	—	2	6	no	—
284	C₂×C₄	—	2	48	no	—
285	C₂×C₄	C₂×#217	1	6	yes	—
286	C₂×C₄	C₂×#217	1	24	yes	—
287	C₂×C₄	C₂×#217	1	6	yes	—
288	C₂×C₄	C₂³×Dic₃	1	12	yes	—
289	C₂×C₄	C₂³×Dic₃	1	6	yes	—
290	C₂×C₄	C₂³×Dic₃	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₄	C₂²×#67	1	24	yes	—
292	C₂×C₄	C₂²×#67	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	C₂²×#67	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	C₂⁴×D₃	1	1	yes	characteristic
295	C₈	—	6	16	no	—
296	C₂×C₃	—	2	1	no	—
297	C₂×C₃	—	2	1	no	—
298	C₂×C₃	—	2	12	no	—
299	C₂×C₃	—	4	4	no	—
300	C₂×C₃	#2889	1	2	yes	complemented
301	C₂×C₃	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
302	C₂²	—	2	2	no	—
303	C₂²	—	2	12	no	—
304	C₂²	—	2	4	no	—
305	C₂²	—	4	6	no	—
306	C₂²	—	4	6	no	—
307	C₂²	—	4	4	no	—
308	C₂²	—	4	4	no	—
309	C₂²	—	4	4	no	—
310	C₂²	C₂²×#217	1	1	yes	characteristic
311	C₂²	C₂²×#217	1	12	yes	—
312	C₂²	C₂²×#217	1	1	yes	characteristic
313	C₂²	C₂⁴×Dic₃	1	1	yes	characteristic
314	C₄	—	2	12	no	—
315	C₄	C₂²×#217	1	12	yes	—
316	C₄	C₂²×#217	1	2	yes	—
317	C₄	C₂³×#67	1	2	yes	—
318	C₃	C₂×#2889	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
319	C₂	—	2	1	no	—
320	C₂	—	2	1	no	—
321	C₂	—	2	12	no	—
322	C₂	—	4	4	no	—
323	C₂	#84112	1	2	yes	direct product factor
324	C₂	C₂³×#217	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂²×#217
commutator	C₂²×C₃	C₂⁴×C₄
Frattini	C₂×C₄	C₂⁴×D₃
Fitting, prime radical	C₂²×C₃×2₋¹⁺⁴	C₂
socle	C₂²×C₃	C₂²×C₂²⋊C₄
cosocle	C₂×C₃×C₄	C₂⁵
hypercenter	C₂²×2₋¹⁺⁴	D₃
hypocenter	C₃	C₂×#2889
LCS	G ▷ C₂²×C₃ ▷ C₂×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×#41 ◁ C₂²×2₋¹⁺⁴

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#5819	C₂	semidirect
3. #84112	C₂	direct (N × H)
4. C₂×#5237	C₂	semidirect
5. C₂²×#836	C₂	semidirect
17. #5819	C₂²	semidirect
20. #5237	C₂²	semidirect
22. C₂×#836	C₂²	semidirect
300. C₂×C₃	#2889	semidirect
318. C₃	C₂×#2889	semidirect
323. C₂	#84112	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₃×2₋¹⁺⁴	2
C₂×#5819	2
#84112	2
C₂×#5237	2
C₂²×#836	2
C₂×#2889	3

Subgroups — C2×#84112 #11658687

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#84112 #11658687