Subgroups — C₂²×#5196 #11659478

Order 768.

2750 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 306 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₃×#135	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#948	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂²×#837	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#5196	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
5	C₂²×#819	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂²×C₈×Dic₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂²×#443	—	3	1	no	maximal, Sylow
8	C₂²×C₃×#41	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×C₃×#135	C₄	1	12	yes	complemented
10	C₂×C₃×#135	C₂²	1	12	yes	—
11	C₂²×C₃×Q₁₆	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
12	C₂²×C₃×SD₁₆	C₄	1	2	yes	complemented
13	C₂²×C₃×D₈	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
14	C₂³×C₃×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#948	—	2	12	no	—
16	C₂×#948	C₂²	1	24	yes	complemented
17	C₂²×C₄×Dic₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×#208	—	2	2	no	—
19	C₂²×#208	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂³×C₃⋊C₈	—	2	2	no	—
21	C₂³×C₃⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#837	C₂²	1	24	yes	complemented
23	#5196	C₂²	1	64	yes	direct product factor
24	C₂×#819	C₂²	1	12	yes	complemented
25	C₂×C₈×Dic₃	C₂²	1	12	yes	complemented
26	C₂²×#135	D₃	1	1	yes	characteristic
27	C₂²×#131	—	3	2	no	—
28	C₂×#443	—	3	24	no	—
29	C₂²×#108	—	3	1	no	—
30	C₂²×#104	—	3	2	no	—
31	C₂²×C₄×C₈	—	3	1	no	—
32	C₂×C₃×#41	—	2	6	no	—
33	C₂×C₃×#41	—	2	6	no	—
34	C₂×C₃×#41	C₂×C₄	1	12	yes	—
35	C₂×C₃×#41	C₂³	1	12	yes	—
36	C₂²×C₃×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
37	C₂²×C₃×D₄	—	2	2	no	—
38	C₂²×C₃×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂³×C₃×C₄	—	2	2	no	—
40	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×Dic₃	—	2	1	no	—
42	C₃×#135	C₂×C₄	1	48	yes	complemented
43	C₃×#135	C₂³	1	16	yes	—
44	C₂×C₃×Q₁₆	C₂×C₄	1	12	yes	complemented
45	C₂×C₃×SD₁₆	C₂×C₄	1	24	yes	complemented
46	C₂×C₃×D₈	C₂×C₄	1	12	yes	complemented
47	C₂²×C₃×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×C₃×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×C₃×C₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
50	C₂²×C₃×C₈	C₂³	1	6	yes	—
51	#948	—	2	48	no	—
52	#948	C₂³	1	32	yes	complemented
53	C₂×C₄×Dic₃	—	2	3	no	—
54	C₂×C₄×Dic₃	C₂³	1	6	yes	—
55	C₂×#208	—	2	6	no	—
56	C₂×#208	—	2	24	no	—
57	C₂×#208	C₂³	1	12	yes	—
58	C₂²×C₃⋊C₈	—	2	2	no	—
59	C₂²×C₃⋊C₈	—	2	24	no	—
60	C₂²×C₃⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₃⋊C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₃⋊C₈	D₄	1	6	yes	—
63	C₂²×C₃⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
64	#837	C₂³	1	32	yes	complemented
65	#819	C₂³	1	16	yes	complemented
66	C₈×Dic₃	C₂³	1	16	yes	complemented
67	C₂²×#41	C₂×D₃	1	2	yes	—
68	C₂×#135	Dic₃	1	12	yes	complemented
69	C₂×#135	C₂×D₃	1	12	yes	—
70	C₂²×Q₁₆	Dic₃	1	1	yes	characteristic, complemented
71	C₂²×SD₁₆	Dic₃	1	2	yes	complemented
72	C₂²×D₈	Dic₃	1	1	yes	characteristic, complemented
73	C₂×#131	—	3	24	no	—
74	C₂×#131	—	6	12	no	—
75	C₂²×M₁₆	—	3	2	no	—
76	C₂²×M₁₆	—	6	2	no	—
77	C₂³×C₈	—	3	1	no	—
78	C₂³×C₈	—	6	2	no	—
79	C₂³×C₈	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₄²	—	3	1	no	—
81	#443	—	3	64	no	—
82	C₂×#108	—	3	12	no	—
83	C₂×#104	—	3	24	no	—
84	C₂×C₄×C₈	—	3	12	no	—
85	C₂⁴×C₃	—	2	2	no	—
86	C₂⁴×C₃	#41	1	1	yes	characteristic
87	C₃×#41	—	2	24	no	—
88	C₃×#41	—	2	12	no	—
89	C₃×#41	—	2	12	no	—
90	C₃×#41	C₂²×C₄	1	24	yes	—
91	C₃×#41	C₂⁴	1	8	yes	—
92	C₂×C₃×Q₈	—	2	6	no	—
93	C₂×C₃×Q₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
94	C₂×C₃×D₄	—	2	12	no	—
95	C₂×C₃×D₄	—	2	12	no	—
96	C₂×C₃×D₄	—	2	6	no	—
97	C₂×C₃×D₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
98	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
99	C₂²×C₃×C₄	—	2	12	no	—
100	C₂²×C₃×C₄	—	2	12	no	—
101	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×C₃×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
103	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
104	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×C₃×C₄	#41	1	3	yes	—
106	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
107	C₂²×Dic₃	—	2	8	no	—
108	C₂²×Dic₃	—	2	6	no	—
109	C₃×Q₁₆	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
110	C₃×SD₁₆	C₂²×C₄	1	32	yes	complemented
111	C₃×D₈	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
112	C₂×C₃×C₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
113	C₂×C₃×C₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
114	C₂×C₃×C₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
115	C₂×C₃×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
116	C₄×Dic₃	—	2	6	no	—
117	C₄×Dic₃	C₂⁴	1	4	yes	—
118	#208	—	2	12	no	—
119	#208	—	2	32	no	—
120	#208	C₂⁴	1	8	yes	—
121	C₂×C₃⋊C₈	—	2	12	no	—
122	C₂×C₃⋊C₈	—	2	32	no	—
123	C₂×C₃⋊C₈	C₂×D₄	1	6	yes	—
124	C₂×C₃⋊C₈	C₂×D₄	1	6	yes	—
125	C₂×C₃⋊C₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
126	C₂×C₃⋊C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
127	C₂×#41	—	2	6	no	—
128	C₂×#41	—	2	6	no	—
129	C₂×#41	C₂×Dic₃	1	12	yes	—
130	C₂×#41	C₂²×D₃	1	12	yes	—
131	C₂²×Q₈	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
132	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
133	C₂²×D₄	C₂×Dic₃	1	2	yes	—
134	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
135	C₂³×C₄	—	6	1	no	—
136	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
137	#135	C₂×Dic₃	1	48	yes	complemented
138	#135	C₂²×D₃	1	16	yes	—
139	C₂×Q₁₆	C₂×Dic₃	1	12	yes	complemented
140	C₂×SD₁₆	C₂×Dic₃	1	24	yes	complemented
141	C₂×D₈	C₂×Dic₃	1	12	yes	complemented
142	#131	—	3	32	no	—
143	#131	—	6	48	no	—
144	C₂×M₁₆	—	3	12	no	—
145	C₂×M₁₆	—	6	24	no	—
146	C₂×M₁₆	—	6	6	no	—
147	C₂²×C₈	—	3	6	no	—
148	C₂²×C₈	—	3	1	no	—
149	C₂²×C₈	—	3	1	no	—
150	C₂²×C₈	—	3	6	no	—
151	C₂²×C₈	—	6	24	no	—
152	C₂²×C₈	—	6	2	no	—
153	C₂²×C₈	C₂×Dic₃	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₈	C₂×Dic₃	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₈	C₂×Dic₃	1	6	yes	—
156	C₂²×C₈	C₂²×D₃	1	6	yes	—
157	C₂×C₄²	—	3	6	no	—
158	C₂×C₄²	—	6	3	no	—
159	#108	—	3	16	no	—
160	#104	—	3	32	no	—
161	C₄×C₈	—	3	16	no	—
162	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
163	C₂³×C₃	—	2	12	no	—
164	C₂³×C₃	—	4	8	no	—
165	C₂³×C₃	C₄×D₄	1	3	yes	—
166	C₂³×C₃	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂³×C₃	C₂×#41	1	3	yes	—
168	C₃×Q₈	—	2	12	no	—
169	C₃×Q₈	C₂³×C₄	1	8	yes	—
170	C₃×D₄	—	2	24	no	—
171	C₃×D₄	—	2	8	no	—
172	C₃×D₄	—	2	12	no	—
173	C₃×D₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
174	C₂×C₃×C₄	—	2	12	no	—
175	C₂×C₃×C₄	—	2	24	no	—
176	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
177	C₂×C₃×C₄	C₄×D₄	1	3	yes	—
178	C₂×C₃×C₄	C₄×D₄	1	3	yes	—
179	C₂×C₃×C₄	C₄×D₄	1	6	yes	—
180	C₂×C₃×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
181	C₂×C₃×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
182	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
183	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
184	C₂×C₃×C₄	C₂×#41	1	3	yes	—
185	C₂×C₃×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
186	C₂×Dic₃	—	2	24	no	—
187	C₂×Dic₃	—	2	4	no	—
188	C₃×C₈	C₂³×C₄	1	4	yes	—
189	C₃×C₈	C₂³×C₄	1	4	yes	—
190	C₃⋊C₈	—	2	8	no	—
191	C₃⋊C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
192	C₃⋊C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
193	C₂⁴	—	2	2	no	—
194	C₂⁴	#237	1	1	yes	characteristic
195	#41	—	2	24	no	—
196	#41	—	2	12	no	—
197	#41	—	2	12	no	—
198	#41	C₂²×Dic₃	1	24	yes	—
199	#41	C₂³×D₃	1	8	yes	—
200	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
201	C₂×Q₈	C₂²×Dic₃	1	12	yes	—
202	C₂×D₄	—	2	12	no	—
203	C₂×D₄	—	2	12	no	—
204	C₂×D₄	—	2	6	no	—
205	C₂×D₄	C₂²×Dic₃	1	12	yes	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
209	C₂²×C₄	—	6	8	no	—
210	C₂²×C₄	—	6	6	no	—
211	C₂²×C₄	D₃×D₄	1	3	yes	—
212	C₂²×C₄	D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	#237	1	3	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂²×Dic₃	1	3	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂³×D₃	1	3	yes	—
217	Q₁₆	C₂²×Dic₃	1	16	yes	complemented
218	SD₁₆	C₂²×Dic₃	1	32	yes	complemented
219	D₈	C₂²×Dic₃	1	16	yes	complemented
220	M₁₆	—	3	8	no	—
221	M₁₆	—	6	32	no	—
222	M₁₆	—	6	12	no	—
223	C₂×C₈	—	3	6	no	—
224	C₂×C₈	—	3	6	no	—
225	C₂×C₈	—	3	12	no	—
226	C₂×C₈	—	3	4	no	—
227	C₂×C₈	—	6	32	no	—
228	C₂×C₈	—	6	12	no	—
229	C₂×C₈	C₂²×Dic₃	1	6	yes	—
230	C₂×C₈	C₂²×Dic₃	1	6	yes	—
231	C₂×C₈	C₂²×Dic₃	1	12	yes	—
232	C₂×C₈	C₂³×D₃	1	4	yes	—
233	C₄²	—	3	4	no	—
234	C₄²	—	6	6	no	—
235	C₂²×C₃	—	2	6	no	—
236	C₂²×C₃	—	2	6	no	—
237	C₂²×C₃	—	2	8	no	—
238	C₂²×C₃	—	4	24	no	—
239	C₂²×C₃	#443	1	4	yes	complemented
240	C₂²×C₃	C₂×C₄×D₄	1	3	yes	—
241	C₂²×C₃	C₂×C₄×D₄	1	3	yes	—
242	C₂²×C₃	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
243	C₃×C₄	—	2	8	no	—
244	C₃×C₄	C₂×C₄×D₄	1	3	yes	—
245	C₃×C₄	C₂×C₄×D₄	1	3	yes	—
246	C₃×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
247	C₃×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
248	Dic₃	—	2	8	no	—
249	C₂³	—	2	4	no	—
250	C₂³	—	2	12	no	—
251	C₂³	—	4	8	no	—
252	C₂³	D₄×Dic₃	1	3	yes	—
253	C₂³	D₄×Dic₃	1	1	yes	characteristic
254	C₂³	C₂×#237	1	3	yes	—
255	Q₈	—	2	12	no	—
256	Q₈	C₂³×Dic₃	1	8	yes	—
257	D₄	—	2	8	no	—
258	D₄	—	2	24	no	—
259	D₄	—	2	12	no	—
260	D₄	C₂³×Dic₃	1	8	yes	—
261	C₂×C₄	—	2	12	no	—
262	C₂×C₄	—	2	8	no	—
263	C₂×C₄	—	2	24	no	—
264	C₂×C₄	—	6	24	no	—
265	C₂×C₄	—	6	4	no	—
266	C₂×C₄	D₄×Dic₃	1	3	yes	—
267	C₂×C₄	D₄×Dic₃	1	3	yes	—
268	C₂×C₄	D₄×Dic₃	1	6	yes	—
269	C₂×C₄	C₂×D₃×D₄	1	3	yes	—
270	C₂×C₄	C₂×D₃×D₄	1	3	yes	—
271	C₂×C₄	C₂×#237	1	3	yes	—
272	C₂×C₄	C₂³×Dic₃	1	3	yes	—
273	C₂×C₄	C₂³×Dic₃	1	3	yes	—
274	C₂×C₄	C₂⁴×D₃	1	1	yes	characteristic
275	C₈	—	3	4	no	—
276	C₈	—	3	4	no	—
277	C₈	—	6	8	no	—
278	C₈	C₂³×Dic₃	1	4	yes	—
279	C₈	C₂³×Dic₃	1	4	yes	—
280	C₂×C₃	—	2	1	no	—
281	C₂×C₃	—	2	3	no	—
282	C₂×C₃	—	4	8	no	—
283	C₂×C₃	C₂×#443	1	6	yes	complemented
284	C₂×C₃	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂²	—	2	6	no	—
286	C₂²	—	2	6	no	—
287	C₂²	—	2	8	no	—
288	C₂²	—	4	24	no	—
289	C₂²	#5196	1	4	yes	direct product factor
290	C₂²	C₂×D₄×Dic₃	1	3	yes	—
291	C₂²	C₂×D₄×Dic₃	1	3	yes	—
292	C₂²	C₂²×#237	1	1	yes	characteristic
293	C₄	—	2	8	no	—
294	C₄	—	6	8	no	—
295	C₄	C₂×D₄×Dic₃	1	3	yes	—
296	C₄	C₂×D₄×Dic₃	1	3	yes	—
297	C₄	C₂²×D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
298	C₄	C₂⁴×Dic₃	1	1	yes	characteristic
299	C₃	C₂²×#443	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
300	C₂	—	2	1	no	—
301	C₂	—	2	3	no	—
302	C₂	—	4	8	no	—
303	C₂	C₂×#5196	1	6	yes	direct product factor
304	C₂	C₂²×D₄×Dic₃	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	D₃×D₄
commutator	C₃×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini	C₂×C₄	C₂⁴×D₃
Fitting, prime radical	C₂²×C₃×#135	C₂
socle	C₂³×C₃	C₄×D₄
cosocle	C₂×C₃×C₄	C₂⁵
hypercenter	C₂²×#135	D₃
hypocenter	C₃	C₂²×#443
LCS	G ▷ C₃×C₄ ▷ C₂×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂²×#135

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#948	C₂	semidirect
3. C₂²×#837	C₂	semidirect
4. C₂×#5196	C₂	direct (N × H)
5. C₂²×#819	C₂	semidirect
6. C₂²×C₈×Dic₃	C₂	semidirect
9. C₂×C₃×#135	C₄	semidirect
11. C₂²×C₃×Q₁₆	C₄	semidirect
12. C₂²×C₃×SD₁₆	C₄	semidirect
13. C₂²×C₃×D₈	C₄	semidirect
16. C₂×#948	C₂²	semidirect
22. C₂×#837	C₂²	semidirect
23. #5196	C₂²	direct (N × H)
24. C₂×#819	C₂²	semidirect
25. C₂×C₈×Dic₃	C₂²	semidirect
42. C₃×#135	C₂×C₄	semidirect
44. C₂×C₃×Q₁₆	C₂×C₄	semidirect
45. C₂×C₃×SD₁₆	C₂×C₄	semidirect
46. C₂×C₃×D₈	C₂×C₄	semidirect
52. #948	C₂³	semidirect
64. #837	C₂³	semidirect
65. #819	C₂³	semidirect
66. C₈×Dic₃	C₂³	semidirect
68. C₂×#135	Dic₃	semidirect
70. C₂²×Q₁₆	Dic₃	semidirect
71. C₂²×SD₁₆	Dic₃	semidirect
72. C₂²×D₈	Dic₃	semidirect
109. C₃×Q₁₆	C₂²×C₄	semidirect
110. C₃×SD₁₆	C₂²×C₄	semidirect
111. C₃×D₈	C₂²×C₄	semidirect
137. #135	C₂×Dic₃	semidirect
139. C₂×Q₁₆	C₂×Dic₃	semidirect
140. C₂×SD₁₆	C₂×Dic₃	semidirect
141. C₂×D₈	C₂×Dic₃	semidirect
217. Q₁₆	C₂²×Dic₃	semidirect
218. SD₁₆	C₂²×Dic₃	semidirect
219. D₈	C₂²×Dic₃	semidirect
239. C₂²×C₃	#443	semidirect
283. C₂×C₃	C₂×#443	semidirect
289. C₂²	#5196	direct (N × H)
299. C₃	C₂²×#443	semidirect
303. C₂	C₂×#5196	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₃×#135	2
C₂²×#948	2
C₂²×#837	2
C₂×#5196	2
C₂²×#819	2
C₂²×C₈×Dic₃	2
C₂²×#443	3

Subgroups — C22×#5196 #11659478

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#5196 #11659478