Subgroups — C₂²×#5242 #11661795

Order 768.

5110 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 400 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₃×H(5,𝔽₂)	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#951	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂²×#936	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#5242	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
5	C₂²×#837	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂²×#833	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂²×#455	—	3	1	no	maximal, Sylow
8	C₂×C₃×H(5,𝔽₂)	—	2	12	no	—
9	C₂×C₃×H(5,𝔽₂)	—	2	6	no	—
10	C₂×C₃×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	12	yes	—
11	C₂²×C₃×#41	—	2	2	no	—
12	C₂²×C₃×#41	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂³×C₃×D₄	—	2	2	no	—
14	C₂³×C₃×D₄	—	2	2	no	—
15	C₂³×C₃×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂³×Dic₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
17	C₂²×#217	—	2	2	no	—
18	C₂×#951	—	2	12	no	—
19	C₂×#951	C₂²	1	24	yes	complemented
20	C₂²×#216	—	2	2	no	—
21	C₂×#936	—	2	6	no	—
22	C₂×#936	C₂²	1	12	yes	complemented
23	C₂²×#214	—	2	2	no	—
24	C₂²×C₄×Dic₃	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
25	C₂²×#208	C₂²	1	2	yes	complemented
26	#5242	C₂²	1	64	yes	direct product factor
27	C₂×#837	C₂²	1	24	yes	complemented
28	C₂×#833	C₂²	1	12	yes	complemented
29	C₂²×H(5,𝔽₂)	D₃	1	1	yes	characteristic
30	C₂²×#137	—	3	2	no	—
31	C₂²×#124	—	3	1	no	—
32	C₂×#455	—	3	24	no	—
33	C₂²×#104	—	3	2	no	—
34	C₂²×#100	—	3	1	no	—
35	C₂⁵×C₃	—	2	2	no	—
36	C₂⁵×C₃	D₄	1	2	yes	—
37	C₃×H(5,𝔽₂)	—	2	48	no	—
38	C₃×H(5,𝔽₂)	—	2	48	no	—
39	C₃×H(5,𝔽₂)	—	2	24	no	—
40	C₃×H(5,𝔽₂)	C₂³	1	16	yes	—
41	C₂×C₃×#41	—	2	24	no	—
42	C₂×C₃×#41	—	2	24	no	—
43	C₂×C₃×#41	—	2	6	no	—
44	C₂×C₃×#41	—	2	6	no	—
45	C₂×C₃×#41	D₄	1	12	yes	—
46	C₂×C₃×#41	C₂³	1	12	yes	—
47	C₂²×C₃×Q₈	D₄	1	2	yes	—
48	C₂²×C₃×D₄	—	2	4	no	—
49	C₂²×C₃×D₄	—	2	24	no	—
50	C₂²×C₃×D₄	—	2	24	no	—
51	C₂²×C₃×D₄	—	2	2	no	—
52	C₂²×C₃×D₄	—	2	24	no	—
53	C₂²×C₃×D₄	—	2	24	no	—
54	C₂²×C₃×D₄	—	2	2	no	—
55	C₂²×C₃×D₄	—	2	6	no	—
56	C₂²×C₃×D₄	D₄	1	6	yes	—
57	C₂²×C₃×D₄	D₄	1	2	yes	—
58	C₂²×C₃×D₄	C₂³	1	6	yes	—
59	C₂³×C₃×C₄	—	2	2	no	—
60	C₂³×C₃×C₄	—	2	2	no	—
61	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂³×Dic₃	—	2	1	no	—
63	C₂³×Dic₃	—	2	1	no	—
64	C₂²×Dic₆	—	2	2	no	—
65	C₂²×Dic₆	—	2	6	no	—
66	C₂²×Dic₆	—	2	3	no	—
67	C₂²×Dic₆	C₂³	1	6	yes	complemented
68	C₂×#217	—	2	24	no	—
69	#951	—	2	48	no	—
70	#951	C₂³	1	32	yes	complemented
71	C₂×#216	—	2	24	no	—
72	#936	—	2	24	no	—
73	#936	C₂³	1	16	yes	complemented
74	C₂×#214	—	2	24	no	—
75	C₂×C₄×Dic₃	—	2	3	no	—
76	C₂×C₄×Dic₃	C₂³	1	6	yes	complemented
77	C₂×#208	—	2	6	no	—
78	C₂×#208	C₂³	1	12	yes	complemented
79	C₂²×C₃⋊C₈	—	2	2	no	—
80	#837	C₂³	1	32	yes	complemented
81	#833	C₂³	1	16	yes	complemented
82	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	12	no	—
83	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	6	no	—
84	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂×D₃	1	12	yes	—
85	C₂²×#41	—	2	2	no	—
86	C₂²×#41	C₂×D₃	1	2	yes	—
87	C₂³×Q₈	—	3	1	no	—
88	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
89	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
90	C₂³×D₄	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
91	C₂×#137	—	3	24	no	—
92	C₂×#137	—	6	12	no	—
93	C₂²×Q₁₆	—	6	2	no	—
94	C₂²×SD₁₆	—	6	2	no	—
95	C₂²×M₁₆	—	3	2	no	—
96	C₂×#124	—	3	12	no	—
97	C₂×#124	—	6	6	no	—
98	C₂²×C₂²⋊C₄	—	6	2	no	—
99	C₂²×C₄²	—	3	1	no	—
100	#455	—	3	64	no	—
101	C₂×#104	—	3	24	no	—
102	C₂×#100	—	3	12	no	—
103	C₂⁴×C₃	—	2	24	no	—
104	C₂⁴×C₃	—	2	2	no	—
105	C₂⁴×C₃	—	2	2	no	—
106	C₂⁴×C₃	—	2	6	no	—
107	C₂⁴×C₃	—	4	8	no	—
108	C₂⁴×C₃	—	8	8	no	—
109	C₂⁴×C₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂⁴×C₃	C₂×D₄	1	12	yes	—
111	C₃×#41	—	2	96	no	—
112	C₃×#41	—	2	32	no	—
113	C₃×#41	—	2	24	no	—
114	C₃×#41	—	2	12	no	—
115	C₃×#41	—	2	12	no	—
116	C₃×#41	C₂×D₄	1	24	yes	—
117	C₃×#41	C₂⁴	1	8	yes	—
118	C₂×C₃×Q₈	—	2	6	no	—
119	C₂×C₃×Q₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
120	C₂×C₃×D₄	—	2	48	no	—
121	C₂×C₃×D₄	—	2	96	no	—
122	C₂×C₃×D₄	—	2	96	no	—
123	C₂×C₃×D₄	—	2	12	no	—
124	C₂×C₃×D₄	—	2	12	no	—
125	C₂×C₃×D₄	—	2	32	no	—
126	C₂×C₃×D₄	—	2	32	no	—
127	C₂×C₃×D₄	—	2	12	no	—
128	C₂×C₃×D₄	—	2	6	no	—
129	C₂×C₃×D₄	—	2	12	no	—
130	C₂×C₃×D₄	—	2	12	no	—
131	C₂×C₃×D₄	—	2	12	no	—
132	C₂×C₃×D₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
133	C₂×C₃×D₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
134	C₂×C₃×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
135	C₂²×C₃×C₄	—	2	24	no	—
136	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₃×C₄	—	2	12	no	—
138	C₂²×C₃×C₄	—	2	12	no	—
139	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
140	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
142	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
143	C₂²×Dic₃	—	2	6	no	—
144	C₂²×Dic₃	—	2	6	no	—
145	C₂²×Dic₃	—	4	4	no	—
146	C₂²×Dic₃	—	4	3	no	—
147	C₂²×Dic₃	—	4	1	no	—
148	C₂×Dic₆	—	2	12	no	—
149	C₂×Dic₆	—	2	12	no	—
150	C₂×Dic₆	—	2	6	no	—
151	C₂×Dic₆	—	4	6	no	—
152	C₂×Dic₆	—	4	6	no	—
153	C₂×Dic₆	C₂⁴	1	4	yes	complemented
154	#217	—	2	32	no	—
155	#216	—	2	32	no	—
156	#214	—	2	32	no	—
157	C₄×Dic₃	—	2	6	no	—
158	C₄×Dic₃	C₂⁴	1	4	yes	complemented
159	#208	—	2	12	no	—
160	#208	C₂⁴	1	8	yes	complemented
161	C₂×C₃⋊C₈	—	2	12	no	—
162	C₂⁵	—	2	2	no	—
163	C₂⁵	#67	1	2	yes	—
164	H(5,𝔽₂)	—	2	48	no	—
165	H(5,𝔽₂)	—	2	48	no	—
166	H(5,𝔽₂)	—	2	24	no	—
167	H(5,𝔽₂)	C₂²×D₃	1	16	yes	—
168	C₂×#41	—	2	24	no	—
169	C₂×#41	—	2	24	no	—
170	C₂×#41	—	2	6	no	—
171	C₂×#41	—	2	6	no	—
172	C₂×#41	#67	1	12	yes	—
173	C₂×#41	C₂²×D₃	1	12	yes	—
174	C₂²×Q₈	—	3	6	no	—
175	C₂²×Q₈	—	6	3	no	—
176	C₂²×Q₈	—	6	2	no	—
177	C₂²×Q₈	—	6	6	no	—
178	C₂²×Q₈	#67	1	2	yes	—
179	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
180	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
181	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
182	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
183	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
184	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
185	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
187	C₂²×D₄	#67	1	6	yes	—
188	C₂²×D₄	#67	1	2	yes	—
189	C₂²×D₄	C₂²×D₃	1	6	yes	—
190	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂³×C₄	—	6	1	no	—
193	C₂³×C₄	—	6	1	no	—
194	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
195	#137	—	3	32	no	—
196	#137	—	6	48	no	—
197	C₂×Q₁₆	—	6	24	no	—
198	C₂×SD₁₆	—	6	24	no	—
199	C₂×M₁₆	—	3	12	no	—
200	C₂×M₁₆	—	6	6	no	—
201	C₂²×C₈	—	6	2	no	—
202	#124	—	3	16	no	—
203	#124	—	6	24	no	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	—	6	24	no	—
205	C₂×C₄²	—	3	6	no	—
206	C₂×C₄²	—	6	3	no	—
207	#104	—	3	32	no	—
208	#100	—	3	16	no	—
209	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
210	C₂³×C₃	—	2	32	no	—
211	C₂³×C₃	—	2	12	no	—
212	C₂³×C₃	—	2	12	no	—
213	C₂³×C₃	—	2	12	no	—
214	C₂³×C₃	—	4	24	no	—
215	C₂³×C₃	—	4	8	no	—
216	C₂³×C₃	—	4	8	no	—
217	C₂³×C₃	—	8	12	no	—
218	C₂³×C₃	—	8	48	no	—
219	C₂³×C₃	#120	1	3	yes	—
220	C₂³×C₃	#120	1	1	yes	characteristic
221	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	3	yes	—
222	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	8	yes	—
223	C₃×Q₈	—	2	12	no	—
224	C₃×Q₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
225	C₃×D₄	—	2	64	no	—
226	C₃×D₄	—	2	24	no	—
227	C₃×D₄	—	2	8	no	—
228	C₃×D₄	—	2	24	no	—
229	C₃×D₄	—	2	12	no	—
230	C₃×D₄	—	2	8	no	—
231	C₃×D₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
232	C₂×C₃×C₄	—	2	32	no	—
233	C₂×C₃×C₄	—	2	12	no	—
234	C₂×C₃×C₄	—	2	24	no	—
235	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
236	C₂×C₃×C₄	#120	1	6	yes	—
237	C₂×C₃×C₄	#120	1	6	yes	—
238	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
239	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
240	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
241	C₂×C₃×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
242	C₂×Dic₃	—	2	4	no	—
243	C₂×Dic₃	—	2	4	no	—
244	C₂×Dic₃	—	4	12	no	—
245	C₂×Dic₃	—	4	6	no	—
246	C₂×Dic₃	—	4	6	no	—
247	Dic₆	—	2	8	no	—
248	Dic₆	—	4	12	no	—
249	C₃⋊C₈	—	2	8	no	—
250	C₂⁴	—	2	24	no	—
251	C₂⁴	—	2	2	no	—
252	C₂⁴	—	2	2	no	—
253	C₂⁴	—	2	6	no	—
254	C₂⁴	—	4	8	no	—
255	C₂⁴	—	8	8	no	—
256	C₂⁴	C₂×#67	1	1	yes	characteristic
257	C₂⁴	C₂×#67	1	12	yes	—
258	#41	—	2	96	no	—
259	#41	—	2	32	no	—
260	#41	—	2	24	no	—
261	#41	—	2	12	no	—
262	#41	—	2	12	no	—
263	#41	C₂×#67	1	24	yes	—
264	#41	C₂³×D₃	1	8	yes	—
265	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
266	C₂×Q₈	—	3	4	no	—
267	C₂×Q₈	—	6	6	no	—
268	C₂×Q₈	—	6	12	no	—
269	C₂×Q₈	—	6	12	no	—
270	C₂×Q₈	—	12	6	no	—
271	C₂×Q₈	—	12	6	no	—
272	C₂×Q₈	C₂×#67	1	12	yes	—
273	C₂×D₄	—	2	48	no	—
274	C₂×D₄	—	2	96	no	—
275	C₂×D₄	—	2	96	no	—
276	C₂×D₄	—	2	12	no	—
277	C₂×D₄	—	2	12	no	—
278	C₂×D₄	—	2	32	no	—
279	C₂×D₄	—	2	32	no	—
280	C₂×D₄	—	2	12	no	—
281	C₂×D₄	—	2	6	no	—
282	C₂×D₄	—	2	12	no	—
283	C₂×D₄	—	2	12	no	—
284	C₂×D₄	—	2	12	no	—
285	C₂×D₄	C₂×#67	1	12	yes	—
286	C₂×D₄	C₂×#67	1	12	yes	—
287	C₂×D₄	C₂³×D₃	1	4	yes	—
288	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
289	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
291	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
292	C₂²×C₄	—	6	6	no	—
293	C₂²×C₄	—	6	6	no	—
294	C₂²×C₄	—	12	4	no	—
295	C₂²×C₄	—	12	3	no	—
296	C₂²×C₄	—	12	1	no	—
297	C₂²×C₄	C₂×#67	1	3	yes	—
298	C₂²×C₄	C₂×#67	1	6	yes	—
299	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
300	C₂²×C₄	C₂³×D₃	1	3	yes	—
301	Q₁₆	—	6	32	no	—
302	SD₁₆	—	6	32	no	—
303	M₁₆	—	3	8	no	—
304	M₁₆	—	6	12	no	—
305	C₂×C₈	—	6	12	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	6	32	no	—
307	C₄²	—	3	4	no	—
308	C₄²	—	6	6	no	—
309	C₂²×C₃	—	2	6	no	—
310	C₂²×C₃	—	2	6	no	—
311	C₂²×C₃	—	2	8	no	—
312	C₂²×C₃	—	2	8	no	—
313	C₂²×C₃	—	4	8	no	—
314	C₂²×C₃	—	4	24	no	—
315	C₂²×C₃	—	4	24	no	—
316	C₂²×C₃	—	8	12	no	—
317	C₂²×C₃	—	8	32	no	—
318	C₂²×C₃	#455	1	4	yes	complemented
319	C₂²×C₃	C₂×#120	1	3	yes	—
320	C₂²×C₃	C₂×#120	1	3	yes	—
321	C₂²×C₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
322	C₃×C₄	—	2	8	no	—
323	C₃×C₄	C₂×#120	1	6	yes	—
324	C₃×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
325	Dic₃	—	4	4	no	—
326	Dic₃	—	4	4	no	—
327	C₂³	—	2	4	no	—
328	C₂³	—	2	32	no	—
329	C₂³	—	2	12	no	—
330	C₂³	—	2	12	no	—
331	C₂³	—	2	12	no	—
332	C₂³	—	4	24	no	—
333	C₂³	—	4	8	no	—
334	C₂³	—	4	8	no	—
335	C₂³	—	8	12	no	—
336	C₂³	—	8	48	no	—
337	C₂³	#953	1	3	yes	—
338	C₂³	#953	1	1	yes	characteristic
339	C₂³	C₂²×#67	1	3	yes	—
340	C₂³	C₂²×#67	1	8	yes	—
341	Q₈	—	2	12	no	—
342	Q₈	—	6	8	no	—
343	Q₈	—	12	12	no	—
344	Q₈	C₂²×#67	1	8	yes	—
345	D₄	—	2	64	no	—
346	D₄	—	2	8	no	—
347	D₄	—	2	24	no	—
348	D₄	—	2	8	no	—
349	D₄	—	2	24	no	—
350	D₄	—	2	12	no	—
351	D₄	C₂²×#67	1	8	yes	—
352	C₂×C₄	—	2	32	no	—
353	C₂×C₄	—	2	12	no	—
354	C₂×C₄	—	2	8	no	—
355	C₂×C₄	—	2	24	no	—
356	C₂×C₄	—	6	4	no	—
357	C₂×C₄	—	6	4	no	—
358	C₂×C₄	—	12	12	no	—
359	C₂×C₄	—	12	6	no	—
360	C₂×C₄	—	12	6	no	—
361	C₂×C₄	#953	1	6	yes	—
362	C₂×C₄	#953	1	6	yes	—
363	C₂×C₄	C₂²×#67	1	6	yes	—
364	C₂×C₄	C₂²×#67	1	6	yes	—
365	C₂×C₄	C₂²×#67	1	3	yes	—
366	C₂×C₄	C₂⁴×D₃	1	1	yes	characteristic
367	C₈	—	6	8	no	—
368	C₂×C₃	—	2	1	no	—
369	C₂×C₃	—	2	3	no	—
370	C₂×C₃	—	4	8	no	—
371	C₂×C₃	—	4	8	no	—
372	C₂×C₃	C₂×#455	1	6	yes	complemented
373	C₂×C₃	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
374	C₂²	—	2	6	no	—
375	C₂²	—	2	6	no	—
376	C₂²	—	2	8	no	—
377	C₂²	—	2	8	no	—
378	C₂²	—	4	8	no	—
379	C₂²	—	4	24	no	—
380	C₂²	—	4	24	no	—
381	C₂²	—	8	12	no	—
382	C₂²	—	8	32	no	—
383	C₂²	#5242	1	4	yes	direct product factor
384	C₂²	C₂×#953	1	3	yes	—
385	C₂²	C₂×#953	1	3	yes	—
386	C₂²	C₂³×#67	1	1	yes	characteristic
387	C₄	—	2	8	no	—
388	C₄	—	12	4	no	—
389	C₄	—	12	4	no	—
390	C₄	C₂×#953	1	6	yes	—
391	C₄	C₂³×#67	1	2	yes	—
392	C₃	C₂²×#455	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
393	C₂	—	2	1	no	—
394	C₂	—	2	3	no	—
395	C₂	—	4	8	no	—
396	C₂	—	4	8	no	—
397	C₂	C₂×#5242	1	6	yes	direct product factor
398	C₂	C₂²×#953	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	#953
commutator, cosocle	C₂×C₃×C₄	C₂⁵
Frattini	C₂×C₄	C₂⁴×D₃
Fitting, prime radical	C₂²×C₃×H(5,𝔽₂)	C₂
socle	C₂³×C₃	#120
hypercenter	C₂²×H(5,𝔽₂)	D₃
hypocenter	C₃	C₂²×#455
LCS	G ▷ C₂×C₃×C₄ ▷ C₂×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂²×H(5,𝔽₂)

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#951	C₂	semidirect
3. C₂²×#936	C₂	semidirect
4. C₂×#5242	C₂	direct (N × H)
5. C₂²×#837	C₂	semidirect
6. C₂²×#833	C₂	semidirect
16. C₂³×Dic₆	C₂²	semidirect
19. C₂×#951	C₂²	semidirect
22. C₂×#936	C₂²	semidirect
24. C₂²×C₄×Dic₃	C₂²	semidirect
25. C₂²×#208	C₂²	semidirect
26. #5242	C₂²	direct (N × H)
27. C₂×#837	C₂²	semidirect
28. C₂×#833	C₂²	semidirect
67. C₂²×Dic₆	C₂³	semidirect
70. #951	C₂³	semidirect
73. #936	C₂³	semidirect
76. C₂×C₄×Dic₃	C₂³	semidirect
78. C₂×#208	C₂³	semidirect
80. #837	C₂³	semidirect
81. #833	C₂³	semidirect
153. C₂×Dic₆	C₂⁴	semidirect
158. C₄×Dic₃	C₂⁴	semidirect
160. #208	C₂⁴	semidirect
318. C₂²×C₃	#455	semidirect
372. C₂×C₃	C₂×#455	semidirect
383. C₂²	#5242	direct (N × H)
392. C₃	C₂²×#455	semidirect
397. C₂	C₂×#5242	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₃×H(5,𝔽₂)	2
C₂²×#951	2
C₂²×#936	2
C₂×#5242	2
C₂²×#837	2
C₂²×#833	2
C₂²×#455	3

Subgroups — C22×#5242 #11661795

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#5242 #11661795