Subgroups — C₂²×#5245 #11661801

Order 768.

4894 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 394 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₃×2₋¹⁺⁴	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#949	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂²×#947	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#5245	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
5	C₂²×#837	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂²×#836	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂²×#454	—	3	1	no	maximal, Sylow
8	C₂×C₃×2₋¹⁺⁴	—	2	12	no	—
9	C₂×C₃×2₋¹⁺⁴	—	2	6	no	—
10	C₂×C₃×2₋¹⁺⁴	C₂²	1	12	yes	complemented
11	C₂²×C₃×#41	—	2	2	no	—
12	C₂²×C₃×#41	—	2	2	no	—
13	C₂²×C₃×#41	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂³×C₃×Q₈	—	2	2	no	—
15	C₂³×C₃×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂³×D₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#949	—	2	12	no	—
18	C₂×#949	C₂²	1	24	yes	complemented
19	C₂×#947	—	2	6	no	—
20	C₂×#947	C₂²	1	12	yes	complemented
21	C₂²×#215	—	2	2	no	—
22	C₂²×#213	—	2	2	no	—
23	C₂²×(C₂×D₃)⋊C₄	—	2	2	no	—
24	C₂²×C₄×Dic₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×#208	C₂²	1	2	yes	—
26	#5245	C₂²	1	64	yes	direct product factor
27	C₂×#837	C₂²	1	24	yes	complemented
28	C₂×#836	C₂²	1	12	yes	complemented
29	C₂²×2₋¹⁺⁴	D₃	1	1	yes	characteristic, complemented
30	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	—	3	2	no	—
31	C₂²×#124	—	3	1	no	—
32	C₂×#454	—	3	24	no	—
33	C₂²×#104	—	3	2	no	—
34	C₂²×#101	—	3	1	no	—
35	C₂⁴×D₃	—	2	1	no	—
36	C₃×2₋¹⁺⁴	—	2	48	no	—
37	C₃×2₋¹⁺⁴	—	2	48	no	—
38	C₃×2₋¹⁺⁴	—	2	24	no	—
39	C₃×2₋¹⁺⁴	C₂³	1	16	yes	complemented
40	C₂×C₃×#41	—	2	24	no	—
41	C₂×C₃×#41	—	2	24	no	—
42	C₂×C₃×#41	—	2	24	no	—
43	C₂×C₃×#41	—	2	24	no	—
44	C₂×C₃×#41	—	2	6	no	—
45	C₂×C₃×#41	—	2	6	no	—
46	C₂×C₃×#41	D₄	1	12	yes	—
47	C₂×C₃×#41	C₂³	1	12	yes	—
48	C₂²×C₃×Q₈	—	2	2	no	—
49	C₂²×C₃×Q₈	—	2	24	no	—
50	C₂²×C₃×Q₈	—	2	24	no	—
51	C₂²×C₃×Q₈	—	2	2	no	—
52	C₂²×C₃×Q₈	—	2	6	no	—
53	C₂²×C₃×Q₈	D₄	1	2	yes	—
54	C₂²×C₃×Q₈	D₄	1	6	yes	—
55	C₂²×C₃×Q₈	C₂³	1	6	yes	—
56	C₂²×C₃×D₄	—	2	2	no	—
57	C₂²×C₃×D₄	—	2	2	no	—
58	C₂²×C₃×D₄	D₄	1	2	yes	—
59	C₂³×C₃×C₄	—	2	4	no	—
60	C₂³×C₃×C₄	—	2	2	no	—
61	C₂³×C₃×C₄	D₄	1	2	yes	—
62	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂³×Dic₃	—	2	1	no	—
64	C₂²×D₁₂	—	2	2	no	—
65	C₂²×D₁₂	—	2	6	no	—
66	C₂²×D₁₂	—	2	3	no	—
67	C₂²×D₁₂	C₂³	1	6	yes	—
68	#949	—	2	48	no	—
69	#949	C₂³	1	32	yes	complemented
70	#947	—	2	24	no	—
71	#947	C₂³	1	16	yes	complemented
72	C₂×#215	—	2	24	no	—
73	C₂×#213	—	2	24	no	—
74	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	—	2	24	no	—
75	C₂×C₄×Dic₃	—	2	3	no	—
76	C₂×C₄×Dic₃	C₂³	1	6	yes	—
77	C₂×#208	—	2	6	no	—
78	C₂×#208	C₂³	1	12	yes	—
79	C₂²×C₃⋊C₈	—	2	2	no	—
80	#837	C₂³	1	32	yes	complemented
81	#836	C₂³	1	16	yes	complemented
82	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	12	no	—
83	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	6	no	—
84	C₂×2₋¹⁺⁴	C₂×D₃	1	12	yes	complemented
85	C₂²×#41	—	2	2	no	—
86	C₂²×#41	—	2	2	no	—
87	C₂²×#41	C₂×D₃	1	2	yes	—
88	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
89	C₂³×Q₈	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×D₄	—	3	1	no	—
91	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	3	24	no	—
92	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	6	12	no	—
93	C₂²×SD₁₆	—	6	2	no	—
94	C₂²×D₈	—	6	2	no	—
95	C₂²×M₁₆	—	3	2	no	—
96	C₂×#124	—	3	12	no	—
97	C₂×#124	—	6	6	no	—
98	C₂²×C₂²⋊C₄	—	6	2	no	—
99	C₂²×C₄²	—	3	1	no	—
100	#454	—	3	64	no	—
101	C₂×#104	—	3	24	no	—
102	C₂×#101	—	3	12	no	—
103	C₂⁴×C₃	—	2	2	no	—
104	C₂⁴×C₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂³×D₃	—	2	6	no	—
106	C₂³×D₃	—	4	8	no	—
107	C₂³×D₃	—	4	3	no	—
108	C₂³×D₃	—	4	1	no	—
109	C₃×#41	—	2	96	no	—
110	C₃×#41	—	2	96	no	—
111	C₃×#41	—	2	32	no	—
112	C₃×#41	—	2	24	no	—
113	C₃×#41	—	2	32	no	—
114	C₃×#41	—	2	12	no	—
115	C₃×#41	—	2	12	no	—
116	C₃×#41	C₂×D₄	1	24	yes	—
117	C₃×#41	C₂⁴	1	8	yes	—
118	C₂×C₃×Q₈	—	2	24	no	—
119	C₂×C₃×Q₈	—	2	96	no	—
120	C₂×C₃×Q₈	—	2	32	no	—
121	C₂×C₃×Q₈	—	2	6	no	—
122	C₂×C₃×Q₈	—	2	12	no	—
123	C₂×C₃×Q₈	—	2	12	no	—
124	C₂×C₃×Q₈	—	2	12	no	—
125	C₂×C₃×Q₈	—	2	12	no	—
126	C₂×C₃×Q₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
127	C₂×C₃×Q₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
128	C₂×C₃×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
129	C₂×C₃×D₄	—	2	24	no	—
130	C₂×C₃×D₄	—	2	12	no	—
131	C₂×C₃×D₄	—	2	12	no	—
132	C₂×C₃×D₄	—	2	6	no	—
133	C₂×C₃×D₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
134	C₂²×C₃×C₄	—	2	48	no	—
135	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
136	C₂²×C₃×C₄	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₃×C₄	—	2	6	no	—
138	C₂²×C₃×C₄	—	2	12	no	—
139	C₂²×C₃×C₄	—	2	12	no	—
140	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
141	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
142	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
144	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
145	C₂²×Dic₃	—	2	6	no	—
146	C₂²×Dic₃	—	4	4	no	—
147	C₂×D₁₂	—	2	12	no	—
148	C₂×D₁₂	—	2	12	no	—
149	C₂×D₁₂	—	2	6	no	—
150	C₂×D₁₂	—	4	6	no	—
151	C₂×D₁₂	—	4	6	no	—
152	C₂×D₁₂	C₂⁴	1	4	yes	—
153	#215	—	2	32	no	—
154	#213	—	2	32	no	—
155	(C₂×D₃)⋊C₄	—	2	32	no	—
156	C₄×Dic₃	—	2	6	no	—
157	C₄×Dic₃	C₂⁴	1	4	yes	—
158	#208	—	2	12	no	—
159	#208	C₂⁴	1	8	yes	—
160	C₂×C₃⋊C₈	—	2	12	no	—
161	C₂⁵	—	6	1	no	—
162	2₋¹⁺⁴	—	2	48	no	—
163	2₋¹⁺⁴	—	2	48	no	—
164	2₋¹⁺⁴	—	2	24	no	—
165	2₋¹⁺⁴	C₂²×D₃	1	16	yes	complemented
166	C₂×#41	—	2	24	no	—
167	C₂×#41	—	2	24	no	—
168	C₂×#41	—	2	24	no	—
169	C₂×#41	—	2	24	no	—
170	C₂×#41	—	2	6	no	—
171	C₂×#41	—	2	6	no	—
172	C₂×#41	#67	1	12	yes	—
173	C₂×#41	C₂²×D₃	1	12	yes	—
174	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
175	C₂²×Q₈	—	2	24	no	—
176	C₂²×Q₈	—	2	24	no	—
177	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
178	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
179	C₂²×Q₈	#67	1	2	yes	—
180	C₂²×Q₈	#67	1	6	yes	—
181	C₂²×Q₈	C₂²×D₃	1	6	yes	—
182	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
183	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
184	C₂²×D₄	—	3	6	no	—
185	C₂²×D₄	—	6	2	no	—
186	C₂²×D₄	—	6	6	no	—
187	C₂²×D₄	—	6	3	no	—
188	C₂²×D₄	#67	1	2	yes	—
189	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂³×C₄	—	6	1	no	—
192	C₂³×C₄	#67	1	2	yes	—
193	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
194	AGL(1,ℤ/8)	—	3	32	no	—
195	AGL(1,ℤ/8)	—	6	48	no	—
196	C₂×SD₁₆	—	6	24	no	—
197	C₂×D₈	—	6	24	no	—
198	C₂×M₁₆	—	3	12	no	—
199	C₂×M₁₆	—	6	6	no	—
200	C₂²×C₈	—	6	2	no	—
201	#124	—	3	16	no	—
202	#124	—	6	24	no	—
203	C₂×C₂²⋊C₄	—	6	24	no	—
204	C₂×C₄²	—	3	6	no	—
205	C₂×C₄²	—	6	3	no	—
206	#104	—	3	32	no	—
207	#101	—	3	16	no	—
208	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
209	C₂³×C₃	—	2	12	no	—
210	C₂³×C₃	—	4	8	no	—
211	C₂³×C₃	#120	1	3	yes	—
212	C₂³×C₃	#120	1	1	yes	characteristic
213	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	3	yes	—
214	C₂²×D₃	—	2	4	no	—
215	C₂²×D₃	—	4	24	no	—
216	C₂²×D₃	—	4	6	no	—
217	C₂²×D₃	—	4	6	no	—
218	C₂²×D₃	—	8	12	no	—
219	C₂²×D₃	—	8	4	no	—
220	C₃×Q₈	—	2	32	no	—
221	C₃×Q₈	—	2	12	no	—
222	C₃×Q₈	—	2	24	no	—
223	C₃×Q₈	—	2	8	no	—
224	C₃×Q₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
225	C₃×D₄	—	2	32	no	—
226	C₃×D₄	—	2	24	no	—
227	C₃×D₄	—	2	8	no	—
228	C₃×D₄	—	2	12	no	—
229	C₃×D₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
230	C₂×C₃×C₄	—	2	64	no	—
231	C₂×C₃×C₄	—	2	12	no	—
232	C₂×C₃×C₄	—	2	12	no	—
233	C₂×C₃×C₄	—	2	12	no	—
234	C₂×C₃×C₄	—	2	24	no	—
235	C₂×C₃×C₄	—	2	8	no	—
236	C₂×C₃×C₄	#120	1	6	yes	—
237	C₂×C₃×C₄	#120	1	6	yes	—
238	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
239	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
240	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
241	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
242	C₂×C₃×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
243	C₂×Dic₃	—	2	4	no	—
244	C₂×Dic₃	—	4	12	no	—
245	D₁₂	—	2	8	no	—
246	D₁₂	—	4	12	no	—
247	C₃⋊C₈	—	2	8	no	—
248	C₂⁴	—	2	2	no	—
249	C₂⁴	—	6	6	no	—
250	C₂⁴	—	12	8	no	—
251	C₂⁴	—	12	3	no	—
252	C₂⁴	—	12	1	no	—
253	C₂⁴	C₂×#67	1	1	yes	characteristic
254	#41	—	2	96	no	—
255	#41	—	2	96	no	—
256	#41	—	2	32	no	—
257	#41	—	2	24	no	—
258	#41	—	2	32	no	—
259	#41	—	2	12	no	—
260	#41	—	2	12	no	—
261	#41	C₂×#67	1	24	yes	—
262	#41	C₂³×D₃	1	8	yes	—
263	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
264	C₂×Q₈	—	2	96	no	—
265	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
266	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
267	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
268	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
269	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
270	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
271	C₂×Q₈	C₂×#67	1	12	yes	—
272	C₂×Q₈	C₂×#67	1	12	yes	—
273	C₂×Q₈	C₂³×D₃	1	4	yes	—
274	C₂×D₄	—	2	24	no	—
275	C₂×D₄	—	2	12	no	—
276	C₂×D₄	—	2	12	no	—
277	C₂×D₄	—	2	6	no	—
278	C₂×D₄	—	3	4	no	—
279	C₂×D₄	—	6	12	no	—
280	C₂×D₄	—	6	12	no	—
281	C₂×D₄	—	6	6	no	—
282	C₂×D₄	—	12	6	no	—
283	C₂×D₄	—	12	6	no	—
284	C₂×D₄	C₂×#67	1	12	yes	—
285	C₂²×C₄	—	2	48	no	—
286	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
287	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
290	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
291	C₂²×C₄	—	6	6	no	—
292	C₂²×C₄	—	12	4	no	—
293	C₂²×C₄	C₂×#67	1	12	yes	—
294	C₂²×C₄	C₂×#67	1	3	yes	—
295	C₂²×C₄	C₂×#67	1	6	yes	—
296	C₂²×C₄	C₂×#67	1	2	yes	—
297	C₂²×C₄	C₂³×D₃	1	3	yes	—
298	SD₁₆	—	6	32	no	—
299	D₈	—	6	32	no	—
300	M₁₆	—	3	8	no	—
301	M₁₆	—	6	12	no	—
302	C₂×C₈	—	6	12	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	6	32	no	—
304	C₄²	—	3	4	no	—
305	C₄²	—	6	6	no	—
306	C₂²×C₃	—	2	6	no	—
307	C₂²×C₃	—	2	6	no	—
308	C₂²×C₃	—	2	8	no	—
309	C₂²×C₃	—	4	24	no	—
310	C₂²×C₃	#454	1	4	yes	complemented
311	C₂²×C₃	C₂×#120	1	3	yes	—
312	C₂²×C₃	C₂×#120	1	3	yes	—
313	C₂²×C₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
314	C₂×D₃	—	4	8	no	—
315	C₂×D₃	—	4	4	no	—
316	C₂×D₃	—	8	12	no	—
317	C₂×D₃	—	8	12	no	—
318	C₃×C₄	—	2	8	no	—
319	C₃×C₄	—	2	8	no	—
320	C₃×C₄	C₂×#120	1	6	yes	—
321	C₃×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
322	Dic₃	—	4	4	no	—
323	C₂³	—	2	4	no	—
324	C₂³	—	2	12	no	—
325	C₂³	—	4	8	no	—
326	C₂³	—	6	4	no	—
327	C₂³	—	12	24	no	—
328	C₂³	—	12	6	no	—
329	C₂³	—	12	6	no	—
330	C₂³	—	24	12	no	—
331	C₂³	—	24	4	no	—
332	C₂³	#953	1	3	yes	—
333	C₂³	#953	1	1	yes	characteristic
334	C₂³	C₂²×#67	1	3	yes	—
335	Q₈	—	2	32	no	—
336	Q₈	—	2	8	no	—
337	Q₈	—	2	12	no	—
338	Q₈	—	2	24	no	—
339	Q₈	C₂²×#67	1	8	yes	—
340	D₄	—	2	32	no	—
341	D₄	—	2	8	no	—
342	D₄	—	2	24	no	—
343	D₄	—	2	12	no	—
344	D₄	—	6	8	no	—
345	D₄	—	12	12	no	—
346	D₄	C₂²×#67	1	8	yes	—
347	C₂×C₄	—	2	64	no	—
348	C₂×C₄	—	2	12	no	—
349	C₂×C₄	—	2	12	no	—
350	C₂×C₄	—	2	12	no	—
351	C₂×C₄	—	2	8	no	—
352	C₂×C₄	—	2	24	no	—
353	C₂×C₄	—	6	4	no	—
354	C₂×C₄	—	12	12	no	—
355	C₂×C₄	#953	1	6	yes	—
356	C₂×C₄	#953	1	6	yes	—
357	C₂×C₄	C₂²×#67	1	8	yes	—
358	C₂×C₄	C₂²×#67	1	6	yes	—
359	C₂×C₄	C₂²×#67	1	6	yes	—
360	C₂×C₄	C₂²×#67	1	3	yes	—
361	C₂×C₄	C₂⁴×D₃	1	1	yes	characteristic
362	C₈	—	6	8	no	—
363	C₂×C₃	—	2	1	no	—
364	C₂×C₃	—	2	3	no	—
365	C₂×C₃	—	4	8	no	—
366	C₂×C₃	C₂×#454	1	6	yes	complemented
367	C₂×C₃	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
368	D₃	—	8	4	no	—
369	C₂²	—	2	6	no	—
370	C₂²	—	2	6	no	—
371	C₂²	—	2	8	no	—
372	C₂²	—	4	24	no	—
373	C₂²	—	12	8	no	—
374	C₂²	—	12	4	no	—
375	C₂²	—	24	12	no	—
376	C₂²	—	24	12	no	—
377	C₂²	#5245	1	4	yes	direct product factor
378	C₂²	C₂×#953	1	3	yes	—
379	C₂²	C₂×#953	1	3	yes	—
380	C₂²	C₂³×#67	1	1	yes	characteristic
381	C₄	—	2	8	no	—
382	C₄	—	2	8	no	—
383	C₄	—	12	4	no	—
384	C₄	C₂×#953	1	6	yes	—
385	C₄	C₂³×#67	1	2	yes	—
386	C₃	C₂²×#454	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
387	C₂	—	2	1	no	—
388	C₂	—	2	3	no	—
389	C₂	—	4	8	no	—
390	C₂	—	24	4	no	—
391	C₂	C₂×#5245	1	6	yes	direct product factor
392	C₂	C₂²×#953	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	#953
commutator, cosocle	C₂×C₃×C₄	C₂⁵
Frattini	C₂×C₄	C₂⁴×D₃
Fitting	C₂²×C₃×2₋¹⁺⁴	C₂
socle	C₂³×C₃	#120
hypercenter	C₂²×2₋¹⁺⁴	D₃
hypocenter	C₃	C₂²×#454
LCS	G ▷ C₂×C₃×C₄ ▷ C₂×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂²×2₋¹⁺⁴

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×C₃×2₋¹⁺⁴	C₂	semidirect
2. C₂²×#949	C₂	semidirect
3. C₂²×#947	C₂	semidirect
4. C₂×#5245	C₂	direct (N × H)
5. C₂²×#837	C₂	semidirect
6. C₂²×#836	C₂	semidirect
10. C₂×C₃×2₋¹⁺⁴	C₂²	semidirect
18. C₂×#949	C₂²	semidirect
20. C₂×#947	C₂²	semidirect
26. #5245	C₂²	direct (N × H)
27. C₂×#837	C₂²	semidirect
28. C₂×#836	C₂²	semidirect
29. C₂²×2₋¹⁺⁴	D₃	semidirect
39. C₃×2₋¹⁺⁴	C₂³	semidirect
69. #949	C₂³	semidirect
71. #947	C₂³	semidirect
80. #837	C₂³	semidirect
81. #836	C₂³	semidirect
84. C₂×2₋¹⁺⁴	C₂×D₃	semidirect
165. 2₋¹⁺⁴	C₂²×D₃	semidirect
310. C₂²×C₃	#454	semidirect
366. C₂×C₃	C₂×#454	semidirect
377. C₂²	#5245	direct (N × H)
386. C₃	C₂²×#454	semidirect
391. C₂	C₂×#5245	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₃×2₋¹⁺⁴	2
C₂²×#949	2
C₂²×#947	2
C₂×#5245	2
C₂²×#837	2
C₂²×#836	2
C₂²×#454	3

Subgroups — C22×#5245 #11661801

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#5245 #11661801