Subgroups — C₂×#84126 #11661921

Order 768.

5110 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 376 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₃×#585	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#5830	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
3	#84126	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
4	C₂×#5244	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	C₂×#5240	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
6	C₂×#3027	—	3	1	no	maximal, Sylow
7	C₃×#585	—	2	12	no	—
8	C₃×#585	C₂²	1	8	yes	complemented
9	C₂×C₃×2₋¹⁺⁴	—	2	3	no	—
10	C₂×C₃×H(5,𝔽₂)	—	2	3	no	—
11	C₂×C₃×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂²×C₃×#41	—	2	6	no	—
13	C₂²×C₃×#41	C₂²	1	3	yes	—
14	C₂³×D₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
15	#5830	—	2	12	no	—
16	#5830	C₂²	1	24	yes	complemented
17	C₂×#947	—	2	3	no	—
18	C₂×#940	—	2	3	no	—
19	C₂×#937	C₂²	1	12	yes	complemented
20	C₂×#930	—	2	6	no	—
21	C₂×#926	C₂²	1	3	yes	complemented
22	#5244	C₂²	1	64	yes	complemented
23	#5240	C₂²	1	24	yes	complemented
24	C₂×#834	C₂²	1	12	yes	complemented
25	C₂×#585	D₃	1	1	yes	characteristic, complemented
26	C₂×#535	—	3	3	no	—
27	#3027	—	3	16	no	—
28	C₂×B(4,𝔽₂)	—	3	8	no	—
29	C₂×#410	—	3	3	no	—
30	C₂⁴×D₃	C₂³	1	2	yes	—
31	C₃×2₋¹⁺⁴	—	2	24	no	—
32	C₃×2₋¹⁺⁴	—	2	24	no	—
33	C₃×H(5,𝔽₂)	—	2	24	no	—
34	C₃×H(5,𝔽₂)	—	2	24	no	—
35	C₃×H(5,𝔽₂)	—	2	24	no	—
36	C₃×H(5,𝔽₂)	C₂³	1	16	yes	—
37	C₂×C₃×#41	—	2	4	no	—
38	C₂×C₃×#41	—	2	12	no	—
39	C₂×C₃×#41	—	2	48	no	—
40	C₂×C₃×#41	—	2	6	no	—
41	C₂×C₃×#41	—	2	12	no	—
42	C₂×C₃×#41	—	2	6	no	—
43	C₂×C₃×#41	—	2	12	no	—
44	C₂×C₃×#41	—	2	48	no	—
45	C₂×C₃×#41	D₄	1	12	yes	complemented
46	C₂×C₃×#41	C₂³	1	12	yes	—
47	C₂²×C₃×Q₈	—	2	6	no	—
48	C₂²×C₃×Q₈	D₄	1	3	yes	complemented
49	C₂²×C₃×D₄	—	2	6	no	—
50	C₂²×C₃×D₄	—	2	12	no	—
51	C₂²×C₃×D₄	D₄	1	3	yes	complemented
52	C₂²×C₃×D₄	C₂³	1	6	yes	—
53	C₂³×C₃×C₄	—	2	4	no	—
54	C₂³×C₃×C₄	D₄	1	6	yes	complemented
55	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×#67	—	2	12	no	—
57	C₂²×D₁₂	—	2	3	no	—
58	C₂²×D₁₂	—	2	3	no	—
59	C₂²×D₁₂	—	2	6	no	—
60	C₂²×D₁₂	C₂³	1	4	yes	complemented
61	C₂×#217	C₂³	1	6	yes	—
62	#947	—	2	24	no	—
63	#940	—	2	24	no	—
64	#937	—	2	24	no	—
65	#937	C₂³	1	48	yes	complemented
66	#930	—	2	48	no	—
67	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	—	2	12	no	—
68	#926	—	2	6	no	—
69	#926	C₂³	1	12	yes	complemented
70	C₂×C₄⋊Dic₃	—	2	3	no	—
71	C₂×C₄×Dic₃	—	2	3	no	—
72	#834	C₂³	1	48	yes	complemented
73	#585	—	2	12	no	—
74	#585	C₂×D₃	1	8	yes	complemented
75	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	3	no	—
76	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	3	no	—
77	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂×D₃	1	4	yes	—
78	C₂²×#41	—	2	6	no	—
79	C₂²×#41	C₂×D₃	1	3	yes	—
80	C₂³×D₄	—	3	1	no	—
81	#535	—	3	24	no	—
82	#535	—	6	12	no	—
83	C₂×#127	—	6	3	no	—
84	C₂×#124	—	6	3	no	—
85	C₂×#121	—	6	6	no	—
86	C₂×#120	—	3	12	no	—
87	C₂×#117	—	3	3	no	—
88	B(4,𝔽₂)	—	3	64	no	—
89	#410	—	3	24	no	—
90	C₂×#99	—	3	12	no	—
91	C₂⁴×C₃	—	2	4	no	—
92	C₂⁴×C₃	C₂×D₄	1	6	yes	—
93	C₂⁴×C₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×D₃	—	2	6	no	—
95	C₂³×D₃	—	2	6	no	—
96	C₂³×D₃	—	8	4	no	—
97	C₂³×D₃	C₂⁴	1	4	yes	—
98	C₃×#41	—	2	32	no	—
99	C₃×#41	—	2	48	no	—
100	C₃×#41	—	2	96	no	—
101	C₃×#41	—	2	24	no	—
102	C₃×#41	—	2	24	no	—
103	C₃×#41	—	2	24	no	—
104	C₃×#41	—	2	48	no	—
105	C₃×#41	—	2	24	no	—
106	C₂×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
107	C₂×C₃×Q₈	—	2	48	no	—
108	C₂×C₃×Q₈	—	2	6	no	—
109	C₂×C₃×Q₈	—	2	6	no	—
110	C₂×C₃×Q₈	C₂×D₄	1	12	yes	complemented
111	C₂×C₃×D₄	—	2	12	no	—
112	C₂×C₃×D₄	—	2	48	no	—
113	C₂×C₃×D₄	—	2	48	no	—
114	C₂×C₃×D₄	—	2	12	no	—
115	C₂×C₃×D₄	—	2	48	no	—
116	C₂×C₃×D₄	—	2	12	no	—
117	C₂×C₃×D₄	—	2	6	no	—
118	C₂×C₃×D₄	—	2	6	no	—
119	C₂×C₃×D₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
120	C₂×C₃×D₄	C₂×D₄	1	12	yes	complemented
121	C₂×C₃×D₄	C₂⁴	1	12	yes	—
122	C₂²×C₃×C₄	—	2	12	no	—
123	C₂²×C₃×C₄	—	2	32	no	—
124	C₂²×C₃×C₄	—	2	6	no	—
125	C₂²×C₃×C₄	—	2	6	no	—
126	C₂²×C₃×C₄	—	2	12	no	—
127	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
128	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
129	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
130	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
131	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	24	yes	complemented
132	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
133	C₂×#67	—	2	48	no	—
134	C₂×#67	—	8	24	no	—
135	C₂²×Dic₃	—	2	6	no	—
136	C₂×D₁₂	—	2	12	no	—
137	C₂×D₁₂	—	2	12	no	—
138	C₂×D₁₂	—	4	1	no	—
139	C₂×D₁₂	—	4	3	no	—
140	C₂×D₁₂	—	4	6	no	—
141	C₂×D₁₂	—	4	6	no	—
142	#217	—	2	6	no	—
143	#217	C₂⁴	1	12	yes	—
144	(C₂×D₃)⋊C₄	—	2	48	no	—
145	C₄⋊Dic₃	—	2	12	no	—
146	C₄×Dic₃	—	2	12	no	—
147	C₂⁵	—	3	2	no	—
148	2₋¹⁺⁴	—	2	24	no	—
149	2₋¹⁺⁴	—	2	24	no	—
150	H(5,𝔽₂)	—	2	24	no	—
151	H(5,𝔽₂)	—	2	24	no	—
152	H(5,𝔽₂)	—	2	24	no	—
153	H(5,𝔽₂)	C₂²×D₃	1	16	yes	—
154	C₂×#41	—	2	4	no	—
155	C₂×#41	—	2	12	no	—
156	C₂×#41	—	2	48	no	—
157	C₂×#41	—	2	6	no	—
158	C₂×#41	—	2	12	no	—
159	C₂×#41	—	2	6	no	—
160	C₂×#41	—	2	12	no	—
161	C₂×#41	—	2	48	no	—
162	C₂×#41	#67	1	12	yes	complemented
163	C₂×#41	C₂²×D₃	1	12	yes	—
164	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
165	C₂²×Q₈	#67	1	3	yes	complemented
166	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
167	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
168	C₂²×D₄	—	3	4	no	—
169	C₂²×D₄	—	6	12	no	—
170	C₂²×D₄	—	6	3	no	—
171	C₂²×D₄	—	6	3	no	—
172	C₂²×D₄	—	6	6	no	—
173	C₂²×D₄	#67	1	3	yes	complemented
174	C₂²×D₄	C₂²×D₃	1	6	yes	—
175	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
176	C₂³×C₄	#67	1	6	yes	complemented
177	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
178	#127	—	6	24	no	—
179	#124	—	6	24	no	—
180	#121	—	6	48	no	—
181	#120	—	3	48	no	—
182	#120	—	6	24	no	—
183	#117	—	3	12	no	—
184	#117	—	6	6	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	6	3	no	—
186	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	6	no	—
187	C₂×C₂²⋊C₄	—	6	12	no	—
188	C₂×C₄²	—	6	3	no	—
189	#99	—	3	48	no	—
190	C₂³×C₃	—	2	16	no	—
191	C₂³×C₃	—	2	6	no	—
192	C₂³×C₃	—	2	6	no	—
193	C₂³×C₃	—	4	2	no	—
194	C₂³×C₃	—	4	12	no	—
195	C₂³×C₃	—	8	8	no	—
196	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	3	yes	—
197	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	12	yes	—
198	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	3	yes	—
199	C₂³×C₃	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×D₃	—	2	12	no	—
201	C₂²×D₃	—	4	24	no	—
202	C₂²×D₃	—	4	6	no	—
203	C₂²×D₃	—	4	2	no	—
204	C₂²×D₃	—	8	4	no	—
205	C₂²×D₃	—	8	12	no	—
206	C₃×Q₈	—	2	16	no	—
207	C₃×Q₈	—	2	24	no	—
208	C₃×D₄	—	2	48	no	—
209	C₃×D₄	—	2	24	no	—
210	C₃×D₄	—	2	24	no	—
211	C₃×D₄	—	2	24	no	—
212	C₂×C₃×C₄	—	2	48	no	—
213	C₂×C₃×C₄	—	2	6	no	—
214	C₂×C₃×C₄	—	2	6	no	—
215	C₂×C₃×C₄	—	2	24	no	—
216	C₂×C₃×C₄	—	2	24	no	—
217	C₂×C₃×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₃×C₄	#120	1	3	yes	—
219	C₂×C₃×C₄	#120	1	6	yes	—
220	C₂×C₃×C₄	#120	1	6	yes	—
221	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
222	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
223	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
224	#67	—	8	48	no	—
225	C₂×Dic₃	—	2	12	no	—
226	C₂×Dic₃	—	4	12	no	—
227	D₁₂	—	4	4	no	—
228	D₁₂	—	4	12	no	—
229	C₂⁴	—	2	4	no	—
230	C₂⁴	—	3	4	no	—
231	C₂⁴	—	6	6	no	—
232	C₂⁴	—	6	6	no	—
233	C₂⁴	—	24	4	no	—
234	C₂⁴	C₂×#67	1	6	yes	—
235	C₂⁴	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
236	#41	—	2	32	no	—
237	#41	—	2	48	no	—
238	#41	—	2	96	no	—
239	#41	—	2	24	no	—
240	#41	—	2	24	no	—
241	#41	—	2	24	no	—
242	#41	—	2	48	no	—
243	#41	—	2	24	no	—
244	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
245	C₂×Q₈	—	2	48	no	—
246	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
247	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
248	C₂×Q₈	C₂×#67	1	12	yes	complemented
249	C₂×D₄	—	2	12	no	—
250	C₂×D₄	—	2	48	no	—
251	C₂×D₄	—	2	48	no	—
252	C₂×D₄	—	2	12	no	—
253	C₂×D₄	—	2	48	no	—
254	C₂×D₄	—	2	12	no	—
255	C₂×D₄	—	2	6	no	—
256	C₂×D₄	—	2	6	no	—
257	C₂×D₄	—	6	48	no	—
258	C₂×D₄	—	6	12	no	—
259	C₂×D₄	—	6	12	no	—
260	C₂×D₄	—	12	6	no	—
261	C₂×D₄	—	12	6	no	—
262	C₂×D₄	—	12	1	no	—
263	C₂×D₄	—	12	3	no	—
264	C₂×D₄	—	24	24	no	—
265	C₂×D₄	C₂×#67	1	12	yes	—
266	C₂×D₄	C₂×#67	1	12	yes	complemented
267	C₂×D₄	C₂³×D₃	1	12	yes	—
268	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
273	C₂²×C₄	—	6	6	no	—
274	C₂²×C₄	C₂×#67	1	6	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂×#67	1	3	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂×#67	1	3	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂×#67	1	6	yes	—
278	C₂²×C₄	C₂×#67	1	24	yes	complemented
279	C₂²×C₄	C₂³×D₃	1	2	yes	—
280	C₄⋊C₄	—	6	12	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	3	12	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	6	6	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	6	48	no	—
284	C₄²	—	6	12	no	—
285	C₂²×C₃	—	2	6	no	—
286	C₂²×C₃	—	2	12	no	—
287	C₂²×C₃	—	4	3	no	—
288	C₂²×C₃	—	4	1	no	—
289	C₂²×C₃	—	4	12	no	—
290	C₂²×C₃	—	4	12	no	—
291	C₂²×C₃	—	8	6	no	—
292	C₂²×C₃	—	8	16	no	—
293	C₂²×C₃	C₂×#120	1	3	yes	—
294	C₂²×C₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
295	C₂²×C₃	C₂³×D₄	1	3	yes	—
296	C₂×D₃	—	4	24	no	—
297	C₂×D₃	—	4	4	no	—
298	C₂×D₃	—	8	12	no	—
299	C₂×D₃	—	8	4	no	—
300	C₃×C₄	—	2	12	no	—
301	C₃×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
302	C₃×C₄	C₂×#120	1	6	yes	—
303	Dic₃	—	4	12	no	—
304	C₂³	—	2	16	no	—
305	C₂³	—	2	6	no	—
306	C₂³	—	2	6	no	—
307	C₂³	—	4	2	no	—
308	C₂³	—	4	12	no	—
309	C₂³	—	6	12	no	—
310	C₂³	—	8	8	no	—
311	C₂³	—	12	24	no	—
312	C₂³	—	12	6	no	—
313	C₂³	—	12	2	no	—
314	C₂³	—	24	4	no	—
315	C₂³	—	24	12	no	—
316	C₂³	C₂²×#67	1	3	yes	—
317	C₂³	C₂²×#67	1	12	yes	—
318	C₂³	C₂²×#67	1	3	yes	—
319	C₂³	C₂⁴×D₃	1	1	yes	characteristic
320	Q₈	—	2	16	no	—
321	Q₈	—	2	24	no	—
322	D₄	—	2	48	no	—
323	D₄	—	2	24	no	—
324	D₄	—	2	24	no	—
325	D₄	—	2	24	no	—
326	D₄	—	12	4	no	—
327	D₄	—	12	12	no	—
328	D₄	—	24	48	no	—
329	C₂×C₄	—	2	48	no	—
330	C₂×C₄	—	2	6	no	—
331	C₂×C₄	—	2	6	no	—
332	C₂×C₄	—	2	24	no	—
333	C₂×C₄	—	2	24	no	—
334	C₂×C₄	—	6	12	no	—
335	C₂×C₄	—	12	12	no	—
336	C₂×C₄	#953	1	6	yes	—
337	C₂×C₄	#953	1	6	yes	—
338	C₂×C₄	#953	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#953	1	3	yes	—
340	C₂×C₄	C₂²×#67	1	12	yes	—
341	C₂×C₄	C₂²×#67	1	6	yes	—
342	C₂×C₄	C₂²×#67	1	6	yes	—
343	C₂×C₃	—	2	3	no	—
344	C₂×C₃	—	2	3	no	—
345	C₂×C₃	—	4	12	no	—
346	C₂×C₃	#3027	1	2	yes	complemented
347	C₂×C₃	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
348	D₃	—	8	4	no	—
349	C₂²	—	2	6	no	—
350	C₂²	—	2	12	no	—
351	C₂²	—	4	3	no	—
352	C₂²	—	4	1	no	—
353	C₂²	—	4	12	no	—
354	C₂²	—	4	12	no	—
355	C₂²	—	8	6	no	—
356	C₂²	—	8	16	no	—
357	C₂²	—	12	24	no	—
358	C₂²	—	12	4	no	—
359	C₂²	—	24	12	no	—
360	C₂²	—	24	4	no	—
361	C₂²	C₂×#953	1	3	yes	—
362	C₂²	C₂×#953	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	C₂³×#67	1	3	yes	—
364	C₄	—	2	12	no	—
365	C₄	—	12	12	no	—
366	C₄	C₂×#953	1	2	yes	—
367	C₄	C₂×#953	1	6	yes	—
368	C₃	C₂×#3027	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
369	C₂	—	2	3	no	—
370	C₂	—	2	3	no	—
371	C₂	—	4	12	no	—
372	C₂	—	24	4	no	—
373	C₂	#84126	1	2	yes	direct product factor
374	C₂	C₂²×#953	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#953
commutator, cosocle	C₂³×C₃	C₂⁵
Frattini	C₂³	C₂⁴×D₃
Fitting	C₂×C₃×#585	C₂
socle	C₂²×C₃	C₂×#120
hypercenter	C₂×#585	D₃
hypocenter	C₃	C₂×#3027
LCS	G ▷ C₂³×C₃ ▷ C₂×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂×#585

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×C₃×#585	C₂	semidirect
2. C₂×#5830	C₂	semidirect
3. #84126	C₂	direct (N × H)
4. C₂×#5244	C₂	semidirect
5. C₂×#5240	C₂	semidirect
8. C₃×#585	C₂²	semidirect
14. C₂³×D₁₂	C₂²	semidirect
16. #5830	C₂²	semidirect
19. C₂×#937	C₂²	semidirect
21. C₂×#926	C₂²	semidirect
22. #5244	C₂²	semidirect
23. #5240	C₂²	semidirect
24. C₂×#834	C₂²	semidirect
25. C₂×#585	D₃	semidirect
45. C₂×C₃×#41	D₄	semidirect
48. C₂²×C₃×Q₈	D₄	semidirect
51. C₂²×C₃×D₄	D₄	semidirect
54. C₂³×C₃×C₄	D₄	semidirect
60. C₂²×D₁₂	C₂³	semidirect
65. #937	C₂³	semidirect
69. #926	C₂³	semidirect
72. #834	C₂³	semidirect
74. #585	C₂×D₃	semidirect
110. C₂×C₃×Q₈	C₂×D₄	semidirect
120. C₂×C₃×D₄	C₂×D₄	semidirect
131. C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	semidirect
162. C₂×#41	#67	semidirect
165. C₂²×Q₈	#67	semidirect
173. C₂²×D₄	#67	semidirect
176. C₂³×C₄	#67	semidirect
248. C₂×Q₈	C₂×#67	semidirect
266. C₂×D₄	C₂×#67	semidirect
278. C₂²×C₄	C₂×#67	semidirect
346. C₂×C₃	#3027	semidirect
368. C₃	C₂×#3027	semidirect
373. C₂	#84126	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₃×#585	2
C₂×#5830	2
#84126	2
C₂×#5244	2
C₂×#5240	2
C₂×#3027	3

Subgroups — C2×#84126 #11661921

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#84126 #11661921