Subgroups — C₂×#84124 #11661926

Order 768.

4790 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 356 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₃×#585	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#5825	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
3	#84124	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
4	C₂×#5243	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	C₂×#5240	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
6	C₂×#3028	—	3	1	no	maximal, Sylow
7	C₃×#585	—	2	12	no	—
8	C₃×#585	C₂²	1	8	yes	—
9	C₂×C₃×2₋¹⁺⁴	—	2	3	no	—
10	C₂×C₃×H(5,𝔽₂)	—	2	3	no	—
11	C₂×C₃×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂²×C₃×#41	—	2	6	no	—
13	C₂²×C₃×#41	C₂²	1	3	yes	—
14	C₂³×Dic₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
15	#5825	—	2	12	no	—
16	#5825	C₂²	1	24	yes	complemented
17	C₂×#944	—	2	3	no	—
18	C₂×#936	—	2	3	no	—
19	C₂×#935	C₂²	1	12	yes	complemented
20	C₂×#926	C₂²	1	3	yes	complemented
21	C₂×#924	—	2	6	no	—
22	#5243	C₂²	1	64	yes	complemented
23	#5240	C₂²	1	24	yes	complemented
24	C₂×#834	C₂²	1	12	yes	complemented
25	C₂×#585	D₃	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#536	—	3	3	no	—
27	#3028	—	3	16	no	—
28	C₂×#458	—	3	8	no	—
29	C₂×#410	—	3	3	no	—
30	C₃×2₋¹⁺⁴	—	2	24	no	—
31	C₃×2₋¹⁺⁴	—	2	24	no	—
32	C₃×H(5,𝔽₂)	—	2	24	no	—
33	C₃×H(5,𝔽₂)	—	2	24	no	—
34	C₃×H(5,𝔽₂)	—	2	24	no	—
35	C₃×H(5,𝔽₂)	C₂³	1	16	yes	—
36	C₂×C₃×#41	—	2	4	no	—
37	C₂×C₃×#41	—	2	12	no	—
38	C₂×C₃×#41	—	2	48	no	—
39	C₂×C₃×#41	—	2	6	no	—
40	C₂×C₃×#41	—	2	12	no	—
41	C₂×C₃×#41	—	2	48	no	—
42	C₂×C₃×#41	—	2	6	no	—
43	C₂×C₃×#41	—	2	12	no	—
44	C₂×C₃×#41	D₄	1	12	yes	—
45	C₂×C₃×#41	C₂³	1	12	yes	—
46	C₂²×C₃×Q₈	—	2	6	no	—
47	C₂²×C₃×Q₈	D₄	1	3	yes	—
48	C₂²×C₃×D₄	—	2	6	no	—
49	C₂²×C₃×D₄	—	2	12	no	—
50	C₂²×C₃×D₄	D₄	1	3	yes	—
51	C₂²×C₃×D₄	C₂³	1	6	yes	—
52	C₂³×C₃×C₄	—	2	4	no	—
53	C₂³×C₃×C₄	D₄	1	6	yes	—
54	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×Dic₃	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×Dic₆	—	2	3	no	—
57	C₂²×Dic₆	—	2	3	no	—
58	C₂²×Dic₆	—	2	6	no	—
59	C₂²×Dic₆	C₂³	1	4	yes	complemented
60	C₂×#217	—	2	12	no	—
61	C₂×#217	C₂³	1	6	yes	—
62	#944	—	2	24	no	—
63	#936	—	2	24	no	—
64	#935	—	2	24	no	—
65	#935	C₂³	1	48	yes	complemented
66	#926	—	2	6	no	—
67	#926	C₂³	1	12	yes	complemented
68	C₂×C₄⋊Dic₃	—	2	3	no	—
69	#924	—	2	48	no	—
70	C₂×Dic₃⋊C₄	—	2	12	no	—
71	C₂×C₄×Dic₃	—	2	3	no	—
72	#834	C₂³	1	48	yes	complemented
73	#585	—	2	12	no	—
74	#585	C₂×D₃	1	8	yes	—
75	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	3	no	—
76	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	3	no	—
77	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂×D₃	1	4	yes	—
78	C₂²×#41	—	2	6	no	—
79	C₂²×#41	C₂×D₃	1	3	yes	—
80	C₂³×Q₈	—	3	1	no	—
81	#536	—	3	24	no	—
82	#536	—	6	12	no	—
83	C₂×C₄⋊Q₈	—	6	3	no	—
84	C₂×#124	—	6	3	no	—
85	C₂×#123	—	3	12	no	—
86	C₂×C₂²⋊Q₈	—	6	6	no	—
87	C₂×#117	—	3	3	no	—
88	#458	—	3	64	no	—
89	#410	—	3	24	no	—
90	C₂×#99	—	3	12	no	—
91	C₂⁴×C₃	—	2	4	no	—
92	C₂⁴×C₃	C₂×D₄	1	6	yes	—
93	C₂⁴×C₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
94	C₃×#41	—	2	32	no	—
95	C₃×#41	—	2	48	no	—
96	C₃×#41	—	2	96	no	—
97	C₃×#41	—	2	24	no	—
98	C₃×#41	—	2	24	no	—
99	C₃×#41	—	2	24	no	—
100	C₃×#41	—	2	48	no	—
101	C₃×#41	—	2	24	no	—
102	C₂×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
103	C₂×C₃×Q₈	—	2	48	no	—
104	C₂×C₃×Q₈	—	2	6	no	—
105	C₂×C₃×Q₈	—	2	6	no	—
106	C₂×C₃×Q₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
107	C₂×C₃×D₄	—	2	12	no	—
108	C₂×C₃×D₄	—	2	48	no	—
109	C₂×C₃×D₄	—	2	48	no	—
110	C₂×C₃×D₄	—	2	12	no	—
111	C₂×C₃×D₄	—	2	48	no	—
112	C₂×C₃×D₄	—	2	12	no	—
113	C₂×C₃×D₄	—	2	6	no	—
114	C₂×C₃×D₄	—	2	6	no	—
115	C₂×C₃×D₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
116	C₂×C₃×D₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
117	C₂×C₃×D₄	C₂⁴	1	12	yes	—
118	C₂²×C₃×C₄	—	2	12	no	—
119	C₂²×C₃×C₄	—	2	32	no	—
120	C₂²×C₃×C₄	—	2	6	no	—
121	C₂²×C₃×C₄	—	2	6	no	—
122	C₂²×C₃×C₄	—	2	12	no	—
123	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
124	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	24	yes	—
125	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
126	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
127	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
128	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
129	C₂²×Dic₃	—	2	6	no	—
130	C₂²×Dic₃	—	2	6	no	—
131	C₂²×Dic₃	—	2	6	no	—
132	C₂²×Dic₃	C₂⁴	1	4	yes	—
133	C₂×Dic₆	—	2	12	no	—
134	C₂×Dic₆	—	2	12	no	—
135	C₂×Dic₆	—	4	1	no	—
136	C₂×Dic₆	—	4	3	no	—
137	C₂×Dic₆	—	4	6	no	—
138	C₂×Dic₆	—	4	6	no	—
139	#217	—	2	48	no	—
140	#217	—	2	6	no	—
141	#217	C₂⁴	1	12	yes	—
142	C₄⋊Dic₃	—	2	12	no	—
143	Dic₃⋊C₄	—	2	48	no	—
144	C₄×Dic₃	—	2	12	no	—
145	2₋¹⁺⁴	—	2	24	no	—
146	2₋¹⁺⁴	—	2	24	no	—
147	H(5,𝔽₂)	—	2	24	no	—
148	H(5,𝔽₂)	—	2	24	no	—
149	H(5,𝔽₂)	—	2	24	no	—
150	H(5,𝔽₂)	C₂²×D₃	1	16	yes	—
151	C₂×#41	—	2	4	no	—
152	C₂×#41	—	2	12	no	—
153	C₂×#41	—	2	48	no	—
154	C₂×#41	—	2	6	no	—
155	C₂×#41	—	2	12	no	—
156	C₂×#41	—	2	48	no	—
157	C₂×#41	—	2	6	no	—
158	C₂×#41	—	2	12	no	—
159	C₂×#41	#67	1	12	yes	—
160	C₂×#41	C₂²×D₃	1	12	yes	—
161	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
162	C₂²×Q₈	—	3	4	no	—
163	C₂²×Q₈	—	6	3	no	—
164	C₂²×Q₈	—	6	3	no	—
165	C₂²×Q₈	—	6	6	no	—
166	C₂²×Q₈	#67	1	3	yes	—
167	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
168	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
169	C₂²×D₄	#67	1	3	yes	—
170	C₂²×D₄	C₂²×D₃	1	6	yes	—
171	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
172	C₂³×C₄	—	3	2	no	—
173	C₂³×C₄	#67	1	6	yes	—
174	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
175	C₄⋊Q₈	—	6	24	no	—
176	#124	—	6	24	no	—
177	#123	—	3	48	no	—
178	#123	—	6	24	no	—
179	C₂²⋊Q₈	—	6	48	no	—
180	#117	—	3	12	no	—
181	#117	—	6	6	no	—
182	C₂×C₄⋊C₄	—	6	3	no	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	6	12	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	3	6	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	—	6	12	no	—
186	C₂×C₄²	—	6	3	no	—
187	#99	—	3	48	no	—
188	C₂³×C₃	—	2	16	no	—
189	C₂³×C₃	—	2	6	no	—
190	C₂³×C₃	—	2	6	no	—
191	C₂³×C₃	—	4	2	no	—
192	C₂³×C₃	—	4	12	no	—
193	C₂³×C₃	—	8	8	no	—
194	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	3	yes	—
195	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	12	yes	—
196	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	3	yes	—
197	C₂³×C₃	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
198	C₃×Q₈	—	2	16	no	—
199	C₃×Q₈	—	2	24	no	—
200	C₃×D₄	—	2	48	no	—
201	C₃×D₄	—	2	24	no	—
202	C₃×D₄	—	2	24	no	—
203	C₃×D₄	—	2	24	no	—
204	C₂×C₃×C₄	—	2	48	no	—
205	C₂×C₃×C₄	—	2	6	no	—
206	C₂×C₃×C₄	—	2	6	no	—
207	C₂×C₃×C₄	—	2	24	no	—
208	C₂×C₃×C₄	—	2	24	no	—
209	C₂×C₃×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₃×C₄	#120	1	3	yes	—
211	C₂×C₃×C₄	#120	1	6	yes	—
212	C₂×C₃×C₄	#120	1	6	yes	—
213	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
214	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
215	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
216	C₂×Dic₃	—	2	12	no	—
217	C₂×Dic₃	—	2	12	no	—
218	C₂×Dic₃	—	4	12	no	—
219	C₂×Dic₃	—	4	6	no	—
220	C₂×Dic₃	—	4	2	no	—
221	Dic₆	—	4	4	no	—
222	Dic₆	—	4	12	no	—
223	C₂⁴	—	2	4	no	—
224	C₂⁴	C₂×#67	1	6	yes	—
225	C₂⁴	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
226	#41	—	2	32	no	—
227	#41	—	2	48	no	—
228	#41	—	2	96	no	—
229	#41	—	2	24	no	—
230	#41	—	2	24	no	—
231	#41	—	2	24	no	—
232	#41	—	2	48	no	—
233	#41	—	2	24	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
235	C₂×Q₈	—	2	48	no	—
236	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
237	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
238	C₂×Q₈	—	6	12	no	—
239	C₂×Q₈	—	6	12	no	—
240	C₂×Q₈	—	12	6	no	—
241	C₂×Q₈	—	12	6	no	—
242	C₂×Q₈	—	12	1	no	—
243	C₂×Q₈	—	12	3	no	—
244	C₂×Q₈	C₂×#67	1	12	yes	—
245	C₂×D₄	—	2	12	no	—
246	C₂×D₄	—	2	48	no	—
247	C₂×D₄	—	2	48	no	—
248	C₂×D₄	—	2	12	no	—
249	C₂×D₄	—	2	48	no	—
250	C₂×D₄	—	2	12	no	—
251	C₂×D₄	—	2	6	no	—
252	C₂×D₄	—	2	6	no	—
253	C₂×D₄	C₂×#67	1	12	yes	—
254	C₂×D₄	C₂×#67	1	12	yes	—
255	C₂×D₄	C₂³×D₃	1	12	yes	—
256	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
261	C₂²×C₄	—	3	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	6	6	no	—
263	C₂²×C₄	—	6	6	no	—
264	C₂²×C₄	—	6	6	no	—
265	C₂²×C₄	C₂×#67	1	6	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂×#67	1	24	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂×#67	1	3	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂×#67	1	3	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂×#67	1	6	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂³×D₃	1	2	yes	—
271	C₄⋊C₄	—	6	12	no	—
272	C₄⋊C₄	—	6	48	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	3	12	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	6	6	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	6	48	no	—
276	C₄²	—	6	12	no	—
277	C₂²×C₃	—	2	6	no	—
278	C₂²×C₃	—	2	12	no	—
279	C₂²×C₃	—	4	3	no	—
280	C₂²×C₃	—	4	1	no	—
281	C₂²×C₃	—	4	12	no	—
282	C₂²×C₃	—	4	12	no	—
283	C₂²×C₃	—	8	6	no	—
284	C₂²×C₃	—	8	16	no	—
285	C₂²×C₃	C₂×#120	1	3	yes	—
286	C₂²×C₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
287	C₂²×C₃	C₂³×D₄	1	3	yes	—
288	C₃×C₄	—	2	12	no	—
289	C₃×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
290	C₃×C₄	C₂×#120	1	6	yes	—
291	Dic₃	—	4	12	no	—
292	Dic₃	—	4	4	no	—
293	C₂³	—	2	16	no	—
294	C₂³	—	2	6	no	—
295	C₂³	—	2	6	no	—
296	C₂³	—	4	2	no	—
297	C₂³	—	4	12	no	—
298	C₂³	—	8	8	no	—
299	C₂³	C₂²×#67	1	3	yes	—
300	C₂³	C₂²×#67	1	12	yes	—
301	C₂³	C₂²×#67	1	3	yes	—
302	C₂³	C₂⁴×D₃	1	1	yes	characteristic
303	Q₈	—	2	16	no	—
304	Q₈	—	2	24	no	—
305	Q₈	—	12	4	no	—
306	Q₈	—	12	12	no	—
307	D₄	—	2	48	no	—
308	D₄	—	2	24	no	—
309	D₄	—	2	24	no	—
310	D₄	—	2	24	no	—
311	C₂×C₄	—	2	48	no	—
312	C₂×C₄	—	2	6	no	—
313	C₂×C₄	—	2	6	no	—
314	C₂×C₄	—	2	24	no	—
315	C₂×C₄	—	2	24	no	—
316	C₂×C₄	—	6	12	no	—
317	C₂×C₄	—	6	12	no	—
318	C₂×C₄	—	12	12	no	—
319	C₂×C₄	—	12	6	no	—
320	C₂×C₄	—	12	2	no	—
321	C₂×C₄	#953	1	6	yes	—
322	C₂×C₄	#953	1	6	yes	—
323	C₂×C₄	#953	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	#953	1	3	yes	—
325	C₂×C₄	C₂²×#67	1	12	yes	—
326	C₂×C₄	C₂²×#67	1	6	yes	—
327	C₂×C₄	C₂²×#67	1	6	yes	—
328	C₂×C₃	—	2	3	no	—
329	C₂×C₃	—	2	3	no	—
330	C₂×C₃	—	4	12	no	—
331	C₂×C₃	#3028	1	2	yes	complemented
332	C₂×C₃	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	—	2	6	no	—
334	C₂²	—	2	12	no	—
335	C₂²	—	4	3	no	—
336	C₂²	—	4	1	no	—
337	C₂²	—	4	12	no	—
338	C₂²	—	4	12	no	—
339	C₂²	—	8	6	no	—
340	C₂²	—	8	16	no	—
341	C₂²	C₂×#953	1	3	yes	—
342	C₂²	C₂×#953	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	C₂³×#67	1	3	yes	—
344	C₄	—	2	12	no	—
345	C₄	—	12	12	no	—
346	C₄	—	12	4	no	—
347	C₄	C₂×#953	1	2	yes	—
348	C₄	C₂×#953	1	6	yes	—
349	C₃	C₂×#3028	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
350	C₂	—	2	3	no	—
351	C₂	—	2	3	no	—
352	C₂	—	4	12	no	—
353	C₂	#84124	1	2	yes	direct product factor
354	C₂	C₂²×#953	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#953
commutator, cosocle	C₂³×C₃	C₂⁵
Frattini	C₂³	C₂⁴×D₃
Fitting, prime radical	C₂×C₃×#585	C₂
socle	C₂²×C₃	C₂×#120
hypercenter	C₂×#585	D₃
hypocenter	C₃	C₂×#3028
LCS	G ▷ C₂³×C₃ ▷ C₂×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂×#585

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#5825	C₂	semidirect
3. #84124	C₂	direct (N × H)
4. C₂×#5243	C₂	semidirect
5. C₂×#5240	C₂	semidirect
14. C₂³×Dic₆	C₂²	semidirect
16. #5825	C₂²	semidirect
19. C₂×#935	C₂²	semidirect
20. C₂×#926	C₂²	semidirect
22. #5243	C₂²	semidirect
23. #5240	C₂²	semidirect
24. C₂×#834	C₂²	semidirect
59. C₂²×Dic₆	C₂³	semidirect
65. #935	C₂³	semidirect
67. #926	C₂³	semidirect
72. #834	C₂³	semidirect
331. C₂×C₃	#3028	semidirect
349. C₃	C₂×#3028	semidirect
353. C₂	#84124	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₃×#585	2
C₂×#5825	2
#84124	2
C₂×#5243	2
C₂×#5240	2
C₂×#3028	3

Subgroups — C2×#84124 #11661926

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×#84124 #11661926