Subgroups — C₂²×#5154 #11664612

Order 768.

4038 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 382 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×C₃×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#940	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×#936	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂³×#214	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂³×#213	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂³×#204	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×#5154	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
8	C₂²×#815	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#496	—	3	1	no	maximal, Sylow
10	C₂³×C₃×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂³×C₃×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂³×#67	—	2	2	no	—
13	C₂³×D₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂³×Dic₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×C₃×D₈	—	2	8	no	—
16	C₂²×C₃×D₈	C₂²	1	12	yes	complemented
17	C₂³×C₃×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×#217	—	2	2	no	—
19	C₂×#940	—	2	6	no	—
20	C₂×#940	C₂²	1	12	yes	complemented
21	C₂×#936	—	2	6	no	—
22	C₂×#936	C₂²	1	12	yes	complemented
23	C₂²×#214	—	2	8	no	—
24	C₂²×#214	C₂²	1	12	yes	complemented
25	C₂²×#213	—	2	8	no	—
26	C₂²×#213	C₂²	1	12	yes	complemented
27	C₂²×C₄×Dic₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂³×C₃⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×#204	—	2	8	no	—
30	C₂²×#204	C₂²	1	12	yes	complemented
31	#5154	C₂²	1	64	yes	direct product factor
32	C₂×#815	C₂²	1	12	yes	complemented
33	C₂³×SD₁₆	—	3	1	no	—
34	C₂³×SD₁₆	—	3	1	no	—
35	C₂³×D₈	—	3	1	no	—
36	C₂³×D₈	D₃	1	1	yes	characteristic, complemented
37	C₂²×#127	—	3	1	no	—
38	C₂²×#124	—	3	1	no	—
39	C₂×#496	—	3	24	no	—
40	C₂²×#97	—	3	1	no	—
41	C₂⁵×C₃	—	2	1	no	—
42	C₂⁵×C₃	—	2	1	no	—
43	C₂⁴×D₃	—	2	1	no	—
44	C₂²×C₃×D₄	—	2	4	no	—
45	C₂²×C₃×D₄	—	2	4	no	—
46	C₂²×C₃×D₄	—	2	4	no	—
47	C₂²×C₃×D₄	—	2	4	no	—
48	C₂²×C₃×D₄	—	2	3	no	—
49	C₂²×C₃×D₄	—	2	3	no	—
50	C₂²×C₃×D₄	C₂³	1	6	yes	—
51	C₂²×C₃×D₄	C₂³	1	6	yes	—
52	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×#67	—	2	24	no	—
54	C₂²×#67	—	4	16	no	—
55	C₂³×Dic₃	—	2	1	no	—
56	C₂³×Dic₃	D₄	1	2	yes	—
57	C₂²×D₁₂	—	2	4	no	—
58	C₂²×D₁₂	—	2	4	no	—
59	C₂²×D₁₂	—	2	3	no	—
60	C₂²×D₁₂	C₂³	1	6	yes	—
61	C₂²×Dic₆	—	2	4	no	—
62	C₂²×Dic₆	—	2	4	no	—
63	C₂²×Dic₆	—	2	3	no	—
64	C₂²×Dic₆	C₂³	1	6	yes	—
65	C₂×C₃×D₈	—	2	48	no	—
66	C₂×C₃×D₈	C₂³	1	16	yes	complemented
67	C₂²×C₃×C₈	D₄	1	8	yes	complemented
68	C₂²×C₃×C₈	C₂³	1	6	yes	—
69	C₂×#217	—	2	24	no	—
70	#940	—	2	24	no	—
71	#940	C₂³	1	16	yes	complemented
72	#936	—	2	24	no	—
73	#936	C₂³	1	16	yes	complemented
74	C₂×#214	—	2	48	no	—
75	C₂×#214	C₂³	1	16	yes	complemented
76	C₂×#213	—	2	48	no	—
77	C₂×#213	C₂³	1	16	yes	complemented
78	C₂×C₄×Dic₃	D₄	1	6	yes	—
79	C₂×C₄×Dic₃	C₂³	1	6	yes	—
80	C₂²×C₃⋊C₈	D₄	1	8	yes	complemented
81	C₂²×C₃⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
82	C₂×#204	—	2	48	no	—
83	C₂×#204	C₂³	1	16	yes	complemented
84	#815	C₂³	1	16	yes	complemented
85	C₂³×Q₈	—	3	1	no	—
86	C₂³×D₄	—	3	1	no	—
87	C₂³×D₄	—	6	2	no	—
88	C₂³×D₄	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×D₄	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×SD₁₆	—	3	12	no	—
91	C₂²×SD₁₆	—	3	12	no	—
92	C₂²×SD₁₆	—	6	8	no	—
93	C₂²×SD₁₆	—	6	8	no	—
94	C₂²×D₈	—	2	8	no	—
95	C₂²×D₈	—	3	12	no	—
96	C₂²×D₈	—	6	8	no	—
97	C₂²×D₈	C₂×D₃	1	12	yes	complemented
98	C₂³×C₈	—	3	1	no	—
99	C₂³×C₈	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
100	C₂×#127	—	3	12	no	—
101	C₂×#127	—	6	6	no	—
102	C₂×#124	—	3	12	no	—
103	C₂×#124	—	6	6	no	—
104	C₂²×C₂²⋊C₄	—	6	2	no	—
105	C₂²×C₄²	—	3	1	no	—
106	#496	—	3	64	no	—
107	C₂×#97	—	3	12	no	—
108	C₂⁴×C₃	—	2	6	no	—
109	C₂⁴×C₃	—	2	6	no	—
110	C₂⁴×C₃	—	4	4	no	—
111	C₂⁴×C₃	—	4	4	no	—
112	C₂⁴×C₃	—	4	8	no	—
113	C₂⁴×C₃	—	4	8	no	—
114	C₂⁴×C₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂³×D₃	—	2	6	no	—
116	C₂³×D₃	—	4	4	no	—
117	C₂³×D₃	—	4	8	no	—
118	C₂×C₃×D₄	—	2	12	no	—
119	C₂×C₃×D₄	—	2	12	no	—
120	C₂×C₃×D₄	—	2	12	no	—
121	C₂×C₃×D₄	—	2	12	no	—
122	C₂×C₃×D₄	—	2	6	no	—
123	C₂×C₃×D₄	—	2	6	no	—
124	C₂×C₃×D₄	—	4	12	no	—
125	C₂×C₃×D₄	—	4	12	no	—
126	C₂×C₃×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
127	C₂×C₃×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
128	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
129	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
130	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
131	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
132	C₂×#67	—	2	32	no	—
133	C₂×#67	—	4	96	no	—
134	C₂²×Dic₃	—	2	8	no	—
135	C₂²×Dic₃	—	2	6	no	—
136	C₂²×Dic₃	—	4	4	no	—
137	C₂²×Dic₃	C₂×D₄	1	12	yes	—
138	C₂×D₁₂	—	2	12	no	—
139	C₂×D₁₂	—	2	12	no	—
140	C₂×D₁₂	—	2	6	no	—
141	C₂×D₁₂	—	4	12	no	—
142	C₂×D₁₂	C₂⁴	1	4	yes	—
143	C₂×Dic₆	—	2	12	no	—
144	C₂×Dic₆	—	2	12	no	—
145	C₂×Dic₆	—	2	6	no	—
146	C₂×Dic₆	—	4	12	no	—
147	C₂×Dic₆	C₂⁴	1	4	yes	—
148	C₃×D₈	—	2	32	no	—
149	C₂×C₃×C₈	C₂×D₄	1	24	yes	complemented
150	C₂×C₃×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
151	#217	—	2	32	no	—
152	#214	—	2	32	no	—
153	#213	—	2	32	no	—
154	C₄×Dic₃	C₂×D₄	1	12	yes	—
155	C₄×Dic₃	C₂⁴	1	4	yes	—
156	C₂×C₃⋊C₈	C₂×D₄	1	24	yes	complemented
157	C₂×C₃⋊C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
158	#204	—	2	32	no	—
159	C₂⁵	—	2	1	no	—
160	C₂⁵	—	2	1	no	—
161	C₂⁵	—	6	1	no	—
162	C₂²×Q₈	—	3	6	no	—
163	C₂²×Q₈	—	6	3	no	—
164	C₂²×Q₈	—	6	4	no	—
165	C₂²×Q₈	—	6	4	no	—
166	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
167	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
168	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
169	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
170	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
171	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
172	C₂²×D₄	—	3	6	no	—
173	C₂²×D₄	—	6	24	no	—
174	C₂²×D₄	—	6	4	no	—
175	C₂²×D₄	—	6	3	no	—
176	C₂²×D₄	—	6	4	no	—
177	C₂²×D₄	—	12	16	no	—
178	C₂²×D₄	C₂²×D₃	1	6	yes	—
179	C₂²×D₄	C₂²×D₃	1	6	yes	—
180	C₂³×C₄	—	3	2	no	—
181	C₂³×C₄	—	6	1	no	—
182	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
183	C₂×SD₁₆	—	3	16	no	—
184	C₂×SD₁₆	—	3	16	no	—
185	C₂×SD₁₆	—	6	48	no	—
186	C₂×SD₁₆	—	6	48	no	—
187	C₂×D₈	—	2	48	no	—
188	C₂×D₈	—	3	16	no	—
189	C₂×D₈	—	6	48	no	—
190	C₂×D₈	C₂²×D₃	1	16	yes	complemented
191	C₂²×C₈	—	3	8	no	—
192	C₂²×C₈	—	3	6	no	—
193	C₂²×C₈	#67	1	8	yes	complemented
194	C₂²×C₈	C₂²×D₃	1	6	yes	—
195	#127	—	3	16	no	—
196	#127	—	6	24	no	—
197	#124	—	3	16	no	—
198	#124	—	6	24	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	6	24	no	—
200	C₂×C₄²	—	3	6	no	—
201	C₂×C₄²	—	3	6	no	—
202	#97	—	3	16	no	—
203	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
204	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
205	C₂³×C₃	—	4	12	no	—
206	C₂³×C₃	—	4	12	no	—
207	C₂³×C₃	—	4	24	no	—
208	C₂³×C₃	—	4	24	no	—
209	C₂³×C₃	—	8	16	no	—
210	C₂³×C₃	—	8	16	no	—
211	C₂³×C₃	#127	1	4	yes	—
212	C₂³×C₃	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
213	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	3	yes	—
214	C₂²×D₃	—	2	4	no	—
215	C₂²×D₃	—	4	12	no	—
216	C₂²×D₃	—	4	24	no	—
217	C₂²×D₃	—	8	16	no	—
218	C₃×D₄	—	2	4	no	—
219	C₃×D₄	—	2	4	no	—
220	C₃×D₄	—	2	4	no	—
221	C₃×D₄	—	2	4	no	—
222	C₃×D₄	—	4	12	no	—
223	C₃×D₄	—	4	12	no	—
224	C₂×C₃×C₄	#127	1	12	yes	—
225	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
226	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
227	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
228	C₂×C₃×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
229	#67	—	4	64	no	—
230	C₂×Dic₃	—	2	24	no	—
231	C₂×Dic₃	—	2	4	no	—
232	C₂×Dic₃	—	4	12	no	—
233	C₂×Dic₃	C₂²×D₄	1	8	yes	—
234	D₁₂	—	2	4	no	—
235	D₁₂	—	2	4	no	—
236	D₁₂	—	4	12	no	—
237	Dic₆	—	2	4	no	—
238	Dic₆	—	2	4	no	—
239	Dic₆	—	4	12	no	—
240	C₃×C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	complemented
241	C₃⋊C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	complemented
242	C₂⁴	—	2	6	no	—
243	C₂⁴	—	2	6	no	—
244	C₂⁴	—	4	8	no	—
245	C₂⁴	—	4	8	no	—
246	C₂⁴	—	4	4	no	—
247	C₂⁴	—	4	4	no	—
248	C₂⁴	—	6	6	no	—
249	C₂⁴	—	12	8	no	—
250	C₂⁴	—	12	4	no	—
251	C₂⁴	D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂×Q₈	—	3	4	no	—
253	C₂×Q₈	—	6	6	no	—
254	C₂×Q₈	—	6	12	no	—
255	C₂×Q₈	—	6	12	no	—
256	C₂×Q₈	—	12	12	no	—
257	C₂×D₄	—	2	12	no	—
258	C₂×D₄	—	2	12	no	—
259	C₂×D₄	—	2	6	no	—
260	C₂×D₄	—	2	6	no	—
261	C₂×D₄	—	2	12	no	—
262	C₂×D₄	—	2	12	no	—
263	C₂×D₄	—	3	4	no	—
264	C₂×D₄	—	4	12	no	—
265	C₂×D₄	—	4	12	no	—
266	C₂×D₄	—	6	32	no	—
267	C₂×D₄	—	6	12	no	—
268	C₂×D₄	—	6	6	no	—
269	C₂×D₄	—	6	12	no	—
270	C₂×D₄	—	12	96	no	—
271	C₂×D₄	—	12	12	no	—
272	C₂×D₄	C₂³×D₃	1	4	yes	—
273	C₂×D₄	C₂³×D₃	1	4	yes	—
274	C₂²×C₄	—	3	12	no	—
275	C₂²×C₄	—	6	8	no	—
276	C₂²×C₄	—	6	6	no	—
277	C₂²×C₄	—	12	4	no	—
278	C₂²×C₄	D₃×D₄	1	3	yes	—
279	C₂²×C₄	D₃×D₄	1	4	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂×#67	1	4	yes	—
281	C₂²×C₄	C₂³×D₃	1	3	yes	—
282	SD₁₆	—	6	32	no	—
283	SD₁₆	—	6	32	no	—
284	D₈	—	2	32	no	—
285	D₈	—	6	32	no	—
286	C₂×C₈	—	3	24	no	—
287	C₂×C₈	—	3	4	no	—
288	C₂×C₈	C₂×#67	1	24	yes	complemented
289	C₂×C₈	C₂³×D₃	1	4	yes	—
290	C₂²⋊C₄	—	6	32	no	—
291	C₄²	—	3	12	no	—
292	C₄²	—	3	4	no	—
293	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
294	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
295	C₂²×C₃	—	4	8	no	—
296	C₂²×C₃	—	4	8	no	—
297	C₂²×C₃	—	8	24	no	—
298	C₂²×C₃	—	8	24	no	—
299	C₂²×C₃	#496	1	16	yes	complemented
300	C₂²×C₃	C₂×#127	1	6	yes	—
301	C₂²×C₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	12	yes	—
302	C₂²×C₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
303	C₂×D₃	—	4	4	no	—
304	C₂×D₃	—	4	8	no	—
305	C₂×D₃	—	8	24	no	—
306	C₃×C₄	C₂×#127	1	6	yes	—
307	C₃×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
308	C₃×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
309	Dic₃	—	2	8	no	—
310	Dic₃	—	4	4	no	—
311	C₂³	—	2	4	no	—
312	C₂³	—	2	4	no	—
313	C₂³	—	4	24	no	—
314	C₂³	—	4	24	no	—
315	C₂³	—	4	12	no	—
316	C₂³	—	4	12	no	—
317	C₂³	—	6	4	no	—
318	C₂³	—	8	16	no	—
319	C₂³	—	8	16	no	—
320	C₂³	—	12	24	no	—
321	C₂³	—	12	12	no	—
322	C₂³	—	24	16	no	—
323	C₂³	#911	1	8	yes	—
324	C₂³	#940	1	4	yes	—
325	C₂³	C₂×D₃×D₄	1	3	yes	—
326	Q₈	—	6	4	no	—
327	Q₈	—	6	4	no	—
328	Q₈	—	12	12	no	—
329	D₄	—	2	4	no	—
330	D₄	—	2	4	no	—
331	D₄	—	2	4	no	—
332	D₄	—	2	4	no	—
333	D₄	—	4	12	no	—
334	D₄	—	4	12	no	—
335	D₄	—	6	4	no	—
336	D₄	—	6	4	no	—
337	D₄	—	12	64	no	—
338	D₄	—	12	12	no	—
339	C₂×C₄	—	3	8	no	—
340	C₂×C₄	—	6	24	no	—
341	C₂×C₄	—	6	4	no	—
342	C₂×C₄	—	12	12	no	—
343	C₂×C₄	#940	1	12	yes	—
344	C₂×C₄	C₂×D₃×D₄	1	6	yes	—
345	C₂×C₄	C₂×D₃×D₄	1	3	yes	—
346	C₂×C₄	C₂²×#67	1	6	yes	—
347	C₂×C₄	C₂⁴×D₃	1	1	yes	characteristic
348	C₈	—	3	8	no	—
349	C₈	C₂²×#67	1	8	yes	complemented
350	C₂×C₃	—	8	4	no	—
351	C₂×C₃	—	8	4	no	—
352	C₂×C₃	C₂×#496	1	12	yes	complemented
353	C₂×C₃	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₃	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
355	D₃	—	8	4	no	—
356	C₂²	—	4	8	no	—
357	C₂²	—	4	8	no	—
358	C₂²	—	4	4	no	—
359	C₂²	—	4	4	no	—
360	C₂²	—	8	24	no	—
361	C₂²	—	8	24	no	—
362	C₂²	—	12	8	no	—
363	C₂²	—	12	4	no	—
364	C₂²	—	24	24	no	—
365	C₂²	#5154	1	16	yes	direct product factor
366	C₂²	C₂×#911	1	12	yes	—
367	C₂²	C₂×#940	1	6	yes	—
368	C₂²	C₂²×D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
369	C₄	—	6	8	no	—
370	C₄	—	12	4	no	—
371	C₄	C₂×#940	1	6	yes	—
372	C₄	C₂²×D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
373	C₄	C₂³×#67	1	1	yes	characteristic
374	C₃	C₂²×#496	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
375	C₂	—	8	4	no	—
376	C₂	—	8	4	no	—
377	C₂	—	24	4	no	—
378	C₂	C₂×#5154	1	12	yes	direct product factor
379	C₂	C₂²×#911	1	2	yes	—
380	C₂	C₂²×#940	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂⁴	D₃×D₄
commutator, cosocle	C₂×C₃×C₄	C₂⁵
Frattini	C₂×C₄	C₂⁴×D₃
Fitting	C₂³×C₃×D₈	C₂
socle	C₂⁴×C₃	C₂×D₄
hypercenter	C₂³×D₈	D₃
hypocenter	C₃	C₂²×#496
LCS	G ▷ C₂×C₃×C₄ ▷ C₂×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂³×D₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂³×C₃×D₈	C₂	semidirect
2. C₂²×#940	C₂	semidirect
3. C₂²×#936	C₂	semidirect
4. C₂³×#214	C₂	semidirect
5. C₂³×#213	C₂	semidirect
6. C₂³×#204	C₂	semidirect
7. C₂×#5154	C₂	direct (N × H)
8. C₂²×#815	C₂	semidirect
16. C₂²×C₃×D₈	C₂²	semidirect
20. C₂×#940	C₂²	semidirect
22. C₂×#936	C₂²	semidirect
24. C₂²×#214	C₂²	semidirect
26. C₂²×#213	C₂²	semidirect
30. C₂²×#204	C₂²	semidirect
31. #5154	C₂²	direct (N × H)
32. C₂×#815	C₂²	semidirect
36. C₂³×D₈	D₃	semidirect
66. C₂×C₃×D₈	C₂³	semidirect
67. C₂²×C₃×C₈	D₄	semidirect
71. #940	C₂³	semidirect
73. #936	C₂³	semidirect
75. C₂×#214	C₂³	semidirect
77. C₂×#213	C₂³	semidirect
80. C₂²×C₃⋊C₈	D₄	semidirect
83. C₂×#204	C₂³	semidirect
84. #815	C₂³	semidirect
97. C₂²×D₈	C₂×D₃	semidirect
149. C₂×C₃×C₈	C₂×D₄	semidirect
156. C₂×C₃⋊C₈	C₂×D₄	semidirect
190. C₂×D₈	C₂²×D₃	semidirect
193. C₂²×C₈	#67	semidirect
240. C₃×C₈	C₂²×D₄	semidirect
241. C₃⋊C₈	C₂²×D₄	semidirect
288. C₂×C₈	C₂×#67	semidirect
299. C₂²×C₃	#496	semidirect
349. C₈	C₂²×#67	semidirect
352. C₂×C₃	C₂×#496	semidirect
365. C₂²	#5154	direct (N × H)
374. C₃	C₂²×#496	semidirect
378. C₂	C₂×#5154	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×C₃×D₈	2
C₂²×#940	2
C₂²×#936	2
C₂³×#214	2
C₂³×#213	2
C₂³×#204	2
C₂×#5154	2
C₂²×#815	2
C₂²×#496	3

Subgroups — C22×#5154 #11664612

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#5154 #11664612