Subgroups — C₂²×#5167 #11664616

Order 768.

3350 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 352 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂³×C₃×SD₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#944	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂³×#216	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂²×#936	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂³×#214	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	C₂³×Dic₁₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×#5167	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
8	C₂²×#815	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#497	—	3	1	no	maximal, Sylow
10	C₂³×C₃×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂³×C₃×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂³×Dic₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×Dic₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₃×SD₁₆	—	2	8	no	—
15	C₂²×C₃×SD₁₆	C₂²	1	12	yes	—
16	C₂³×C₃×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×#217	—	2	2	no	—
18	C₂×#944	—	2	6	no	—
19	C₂×#944	C₂²	1	12	yes	complemented
20	C₂²×#216	—	2	8	no	—
21	C₂²×#216	C₂²	1	12	yes	complemented
22	C₂×#936	—	2	6	no	—
23	C₂×#936	C₂²	1	12	yes	—
24	C₂²×#214	—	2	8	no	—
25	C₂²×#214	C₂²	1	12	yes	—
26	C₂²×Dic₃⋊C₄	—	2	2	no	—
27	C₂²×C₄×Dic₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂³×C₃⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×Dic₁₂	—	2	8	no	—
30	C₂²×Dic₁₂	C₂²	1	12	yes	complemented
31	#5167	C₂²	1	64	yes	direct product factor
32	C₂×#815	C₂²	1	12	yes	complemented
33	C₂³×Q₁₆	—	3	1	no	—
34	C₂³×Q₁₆	—	3	1	no	—
35	C₂³×SD₁₆	—	3	1	no	—
36	C₂³×SD₁₆	D₃	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×C₄⋊Q₈	—	3	1	no	—
38	C₂²×#124	—	3	1	no	—
39	C₂×#497	—	3	24	no	—
40	C₂²×#97	—	3	1	no	—
41	C₂⁵×C₃	—	2	1	no	—
42	C₂²×C₃×Q₈	—	2	3	no	—
43	C₂²×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
44	C₂²×C₃×Q₈	—	2	4	no	—
45	C₂²×C₃×Q₈	C₂³	1	6	yes	—
46	C₂²×C₃×D₄	—	2	4	no	—
47	C₂²×C₃×D₄	—	2	4	no	—
48	C₂²×C₃×D₄	—	2	3	no	—
49	C₂²×C₃×D₄	C₂³	1	6	yes	—
50	C₂³×C₃×C₄	—	2	1	no	—
51	C₂³×C₃×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂³×Dic₃	—	2	1	no	—
53	C₂³×Dic₃	—	2	1	no	—
54	C₂³×Dic₃	D₄	1	2	yes	—
55	C₂²×Dic₆	—	2	4	no	—
56	C₂²×Dic₆	—	2	4	no	—
57	C₂²×Dic₆	—	2	4	no	—
58	C₂²×Dic₆	—	2	4	no	—
59	C₂²×Dic₆	—	2	3	no	—
60	C₂²×Dic₆	—	2	3	no	—
61	C₂²×Dic₆	C₂³	1	6	yes	—
62	C₂²×Dic₆	C₂³	1	6	yes	—
63	C₂×C₃×SD₁₆	—	2	48	no	—
64	C₂×C₃×SD₁₆	C₂³	1	16	yes	—
65	C₂²×C₃×C₈	D₄	1	8	yes	—
66	C₂²×C₃×C₈	C₂³	1	6	yes	—
67	C₂×#217	—	2	24	no	—
68	#944	—	2	24	no	—
69	#944	C₂³	1	16	yes	complemented
70	C₂×#216	—	2	48	no	—
71	C₂×#216	C₂³	1	16	yes	complemented
72	#936	—	2	24	no	—
73	#936	C₂³	1	16	yes	—
74	C₂×#214	—	2	48	no	—
75	C₂×#214	C₂³	1	16	yes	—
76	C₂×Dic₃⋊C₄	—	2	24	no	—
77	C₂×C₄×Dic₃	D₄	1	6	yes	—
78	C₂×C₄×Dic₃	C₂³	1	6	yes	—
79	C₂²×C₃⋊C₈	D₄	1	8	yes	—
80	C₂²×C₃⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
81	C₂×Dic₁₂	—	2	48	no	—
82	C₂×Dic₁₂	C₂³	1	16	yes	complemented
83	#815	C₂³	1	16	yes	complemented
84	C₂³×Q₈	—	3	1	no	—
85	C₂³×Q₈	—	3	1	no	—
86	C₂³×Q₈	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
87	C₂³×D₄	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×Q₁₆	—	3	12	no	—
89	C₂²×Q₁₆	—	3	12	no	—
90	C₂²×Q₁₆	—	6	8	no	—
91	C₂²×Q₁₆	—	6	8	no	—
92	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
93	C₂²×SD₁₆	—	3	12	no	—
94	C₂²×SD₁₆	—	6	8	no	—
95	C₂²×SD₁₆	C₂×D₃	1	12	yes	—
96	C₂³×C₈	—	3	1	no	—
97	C₂³×C₈	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄⋊Q₈	—	3	12	no	—
99	C₂×C₄⋊Q₈	—	6	6	no	—
100	C₂×#124	—	3	12	no	—
101	C₂×#124	—	6	6	no	—
102	C₂²×C₄⋊C₄	—	6	2	no	—
103	C₂²×C₂²⋊C₄	—	6	2	no	—
104	C₂²×C₄²	—	3	1	no	—
105	#497	—	3	64	no	—
106	C₂×#97	—	3	12	no	—
107	C₂⁴×C₃	—	2	6	no	—
108	C₂⁴×C₃	—	4	4	no	—
109	C₂⁴×C₃	—	4	8	no	—
110	C₂⁴×C₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₃×Q₈	—	2	6	no	—
112	C₂×C₃×Q₈	—	2	12	no	—
113	C₂×C₃×Q₈	—	2	12	no	—
114	C₂×C₃×Q₈	—	4	12	no	—
115	C₂×C₃×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
116	C₂×C₃×D₄	—	2	12	no	—
117	C₂×C₃×D₄	—	2	12	no	—
118	C₂×C₃×D₄	—	2	6	no	—
119	C₂×C₃×D₄	—	4	12	no	—
120	C₂×C₃×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
121	C₂²×C₃×C₄	—	2	6	no	—
122	C₂²×C₃×C₄	—	4	4	no	—
123	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
124	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
125	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
126	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
127	C₂²×Dic₃	—	2	8	no	—
128	C₂²×Dic₃	—	2	6	no	—
129	C₂²×Dic₃	—	2	6	no	—
130	C₂²×Dic₃	—	4	4	no	—
131	C₂²×Dic₃	—	4	4	no	—
132	C₂²×Dic₃	C₂×D₄	1	12	yes	—
133	C₂×Dic₆	—	2	12	no	—
134	C₂×Dic₆	—	2	12	no	—
135	C₂×Dic₆	—	2	12	no	—
136	C₂×Dic₆	—	2	12	no	—
137	C₂×Dic₆	—	2	6	no	—
138	C₂×Dic₆	—	2	6	no	—
139	C₂×Dic₆	—	4	12	no	—
140	C₂×Dic₆	—	4	12	no	—
141	C₂×Dic₆	C₂⁴	1	4	yes	—
142	C₂×Dic₆	C₂⁴	1	4	yes	—
143	C₃×SD₁₆	—	2	32	no	—
144	C₂×C₃×C₈	C₂×D₄	1	24	yes	—
145	C₂×C₃×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
146	#217	—	2	32	no	—
147	#216	—	2	32	no	—
148	#214	—	2	32	no	—
149	Dic₃⋊C₄	—	2	32	no	—
150	C₄×Dic₃	C₂×D₄	1	12	yes	—
151	C₄×Dic₃	C₂⁴	1	4	yes	—
152	C₂×C₃⋊C₈	C₂×D₄	1	24	yes	—
153	C₂×C₃⋊C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
154	Dic₁₂	—	2	32	no	—
155	C₂⁵	—	2	1	no	—
156	C₂²×Q₈	—	2	3	no	—
157	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
158	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
159	C₂²×Q₈	—	3	6	no	—
160	C₂²×Q₈	—	3	6	no	—
161	C₂²×Q₈	—	6	3	no	—
162	C₂²×Q₈	—	6	3	no	—
163	C₂²×Q₈	—	6	4	no	—
164	C₂²×Q₈	—	6	4	no	—
165	C₂²×Q₈	—	6	4	no	—
166	C₂²×Q₈	—	6	4	no	—
167	C₂²×Q₈	C₂²×D₃	1	6	yes	—
168	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
169	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
170	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
171	C₂²×D₄	C₂²×D₃	1	6	yes	—
172	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
173	C₂³×C₄	—	3	2	no	—
174	C₂³×C₄	—	6	1	no	—
175	C₂³×C₄	—	6	1	no	—
176	C₂³×C₄	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
177	C₂×Q₁₆	—	3	16	no	—
178	C₂×Q₁₆	—	3	16	no	—
179	C₂×Q₁₆	—	6	48	no	—
180	C₂×Q₁₆	—	6	48	no	—
181	C₂×SD₁₆	—	2	48	no	—
182	C₂×SD₁₆	—	3	16	no	—
183	C₂×SD₁₆	—	6	48	no	—
184	C₂×SD₁₆	C₂²×D₃	1	16	yes	—
185	C₂²×C₈	—	3	8	no	—
186	C₂²×C₈	—	3	6	no	—
187	C₂²×C₈	#67	1	8	yes	—
188	C₂²×C₈	C₂²×D₃	1	6	yes	—
189	C₄⋊Q₈	—	3	16	no	—
190	C₄⋊Q₈	—	6	24	no	—
191	#124	—	3	16	no	—
192	#124	—	6	24	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	6	24	no	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	—	6	24	no	—
195	C₂×C₄²	—	3	6	no	—
196	C₂×C₄²	—	3	6	no	—
197	#97	—	3	16	no	—
198	C₂³×C₃	—	2	4	no	—
199	C₂³×C₃	—	4	12	no	—
200	C₂³×C₃	—	4	24	no	—
201	C₂³×C₃	—	8	16	no	—
202	C₂³×C₃	#127	1	4	yes	—
203	C₂³×C₃	#137	1	8	yes	—
204	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	3	yes	—
205	C₃×Q₈	—	2	4	no	—
206	C₃×Q₈	—	2	4	no	—
207	C₃×Q₈	—	4	12	no	—
208	C₃×D₄	—	2	4	no	—
209	C₃×D₄	—	2	4	no	—
210	C₃×D₄	—	4	12	no	—
211	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂×C₃×C₄	—	4	12	no	—
213	C₂×C₃×C₄	#127	1	12	yes	—
214	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
215	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
216	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
217	C₂×C₃×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
218	C₂×Dic₃	—	2	24	no	—
219	C₂×Dic₃	—	2	4	no	—
220	C₂×Dic₃	—	2	4	no	—
221	C₂×Dic₃	—	4	12	no	—
222	C₂×Dic₃	—	4	12	no	—
223	C₂×Dic₃	C₂²×D₄	1	8	yes	—
224	Dic₆	—	2	4	no	—
225	Dic₆	—	2	4	no	—
226	Dic₆	—	2	4	no	—
227	Dic₆	—	2	4	no	—
228	Dic₆	—	4	12	no	—
229	Dic₆	—	4	12	no	—
230	C₃×C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
231	C₃⋊C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
232	C₂⁴	—	2	6	no	—
233	C₂⁴	—	4	8	no	—
234	C₂⁴	—	4	4	no	—
235	C₂⁴	D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
237	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
238	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
239	C₂×Q₈	—	3	4	no	—
240	C₂×Q₈	—	3	4	no	—
241	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
242	C₂×Q₈	—	6	6	no	—
243	C₂×Q₈	—	6	6	no	—
244	C₂×Q₈	—	6	12	no	—
245	C₂×Q₈	—	6	12	no	—
246	C₂×Q₈	—	6	12	no	—
247	C₂×Q₈	—	6	12	no	—
248	C₂×Q₈	—	12	12	no	—
249	C₂×Q₈	—	12	12	no	—
250	C₂×Q₈	C₂³×D₃	1	4	yes	—
251	C₂×D₄	—	2	12	no	—
252	C₂×D₄	—	2	6	no	—
253	C₂×D₄	—	2	12	no	—
254	C₂×D₄	—	4	12	no	—
255	C₂×D₄	C₂³×D₃	1	4	yes	—
256	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
257	C₂²×C₄	—	3	12	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	6	8	no	—
260	C₂²×C₄	—	6	6	no	—
261	C₂²×C₄	—	6	6	no	—
262	C₂²×C₄	—	12	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	12	4	no	—
264	C₂²×C₄	D₃×D₄	1	3	yes	—
265	C₂²×C₄	D₃×D₄	1	4	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂×#67	1	4	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂³×D₃	1	3	yes	—
268	Q₁₆	—	6	32	no	—
269	Q₁₆	—	6	32	no	—
270	SD₁₆	—	2	32	no	—
271	SD₁₆	—	6	32	no	—
272	C₂×C₈	—	3	24	no	—
273	C₂×C₈	—	3	4	no	—
274	C₂×C₈	C₂×#67	1	24	yes	—
275	C₂×C₈	C₂³×D₃	1	4	yes	—
276	C₄⋊C₄	—	6	32	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	6	32	no	—
278	C₄²	—	3	12	no	—
279	C₄²	—	3	4	no	—
280	C₂²×C₃	—	4	4	no	—
281	C₂²×C₃	—	4	8	no	—
282	C₂²×C₃	—	8	24	no	—
283	C₂²×C₃	#497	1	16	yes	complemented
284	C₂²×C₃	C₂×#127	1	6	yes	—
285	C₂²×C₃	C₂×#137	1	12	yes	—
286	C₂²×C₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
287	C₃×C₄	—	4	4	no	—
288	C₃×C₄	C₂×#127	1	6	yes	—
289	C₃×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
290	C₃×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
291	Dic₃	—	2	8	no	—
292	Dic₃	—	4	4	no	—
293	Dic₃	—	4	4	no	—
294	C₂³	—	2	4	no	—
295	C₂³	—	4	24	no	—
296	C₂³	—	4	12	no	—
297	C₂³	—	8	16	no	—
298	C₂³	#915	1	8	yes	—
299	C₂³	#940	1	4	yes	—
300	C₂³	C₂×D₃×D₄	1	3	yes	—
301	Q₈	—	2	4	no	—
302	Q₈	—	2	4	no	—
303	Q₈	—	4	12	no	—
304	Q₈	—	6	4	no	—
305	Q₈	—	6	4	no	—
306	Q₈	—	6	4	no	—
307	Q₈	—	6	4	no	—
308	Q₈	—	12	12	no	—
309	Q₈	—	12	12	no	—
310	D₄	—	2	4	no	—
311	D₄	—	2	4	no	—
312	D₄	—	4	12	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	3	8	no	—
315	C₂×C₄	—	4	12	no	—
316	C₂×C₄	—	6	24	no	—
317	C₂×C₄	—	6	4	no	—
318	C₂×C₄	—	6	4	no	—
319	C₂×C₄	—	12	12	no	—
320	C₂×C₄	—	12	12	no	—
321	C₂×C₄	#940	1	12	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×D₃×D₄	1	6	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×D₃×D₄	1	3	yes	—
324	C₂×C₄	C₂²×#67	1	6	yes	—
325	C₂×C₄	C₂⁴×D₃	1	1	yes	characteristic
326	C₈	—	3	8	no	—
327	C₈	C₂²×#67	1	8	yes	—
328	C₂×C₃	—	8	4	no	—
329	C₂×C₃	C₂×#497	1	12	yes	complemented
330	C₂×C₃	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₃	C₂²×#137	1	2	yes	—
332	C₂²	—	4	8	no	—
333	C₂²	—	4	4	no	—
334	C₂²	—	8	24	no	—
335	C₂²	#5167	1	16	yes	direct product factor
336	C₂²	C₂×#915	1	12	yes	—
337	C₂²	C₂×#940	1	6	yes	—
338	C₂²	C₂²×D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
339	C₄	—	4	4	no	—
340	C₄	—	6	8	no	—
341	C₄	—	12	4	no	—
342	C₄	—	12	4	no	—
343	C₄	C₂×#940	1	6	yes	—
344	C₄	C₂²×D₃×D₄	1	1	yes	characteristic
345	C₄	C₂³×#67	1	1	yes	characteristic
346	C₃	C₂²×#497	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
347	C₂	—	8	4	no	—
348	C₂	C₂×#5167	1	12	yes	direct product factor
349	C₂	C₂²×#915	1	2	yes	—
350	C₂	C₂²×#940	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂⁴	D₃×D₄
commutator, cosocle	C₂×C₃×C₄	C₂⁵
Frattini	C₂×C₄	C₂⁴×D₃
Fitting	C₂³×C₃×SD₁₆	C₂
socle	C₂⁴×C₃	C₂×D₄
prime radical	C₂³×C₃×D₄	C₂²
hypercenter	C₂³×SD₁₆	D₃
hypocenter	C₃	C₂²×#497
LCS	G ▷ C₂×C₃×C₄ ▷ C₂×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂³×SD₁₆

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#944	C₂	semidirect
3. C₂³×#216	C₂	semidirect
6. C₂³×Dic₁₂	C₂	semidirect
7. C₂×#5167	C₂	direct (N × H)
8. C₂²×#815	C₂	semidirect
19. C₂×#944	C₂²	semidirect
21. C₂²×#216	C₂²	semidirect
30. C₂²×Dic₁₂	C₂²	semidirect
31. #5167	C₂²	direct (N × H)
32. C₂×#815	C₂²	semidirect
69. #944	C₂³	semidirect
71. C₂×#216	C₂³	semidirect
82. C₂×Dic₁₂	C₂³	semidirect
83. #815	C₂³	semidirect
283. C₂²×C₃	#497	semidirect
329. C₂×C₃	C₂×#497	semidirect
335. C₂²	#5167	direct (N × H)
346. C₃	C₂²×#497	semidirect
348. C₂	C₂×#5167	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂³×C₃×SD₁₆	2
C₂²×#944	2
C₂³×#216	2
C₂²×#936	2
C₂³×#214	2
C₂³×Dic₁₂	2
C₂×#5167	2
C₂²×#815	2
C₂²×#497	3

Subgroups — C22×#5167 #11664616

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#5167 #11664616