Subgroups — C₂×Q₈×#216 #11675634

Order 768.

1830 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 316 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₃×Q₈²	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×Q₈×Dic₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	Q₈×#216	C₂	1	16	yes	maximal, direct product factor
4	C₂×#5091	C₂	1	3	yes	maximal
5	C₂×#5078	C₂	1	3	yes	maximal
6	C₂×Q₈×C₃⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂×#5021	C₂	1	3	yes	maximal
8	C₂×C₄×#216	C₂	1	3	yes	maximal
9	C₂×Q₈×Q₁₆	—	3	1	no	maximal, Sylow
10	C₃×Q₈²	—	2	4	no	—
11	C₃×Q₈²	C₂²	1	8	yes	—
12	C₂×C₃×C₄⋊Q₈	—	2	3	no	—
13	C₂×C₃×C₄⋊Q₈	C₂²	1	3	yes	—
14	C₂×C₃×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
15	C₂×C₃×C₄×Q₈	C₂²	1	3	yes	—
16	C₂×C₃×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×Q₈×Dic₃	—	2	1	no	—
18	C₂²×#216	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	Q₈×Dic₆	—	2	4	no	—
20	Q₈×Dic₆	C₂²	1	8	yes	—
21	C₂×#888	—	2	3	no	—
22	C₂×#869	C₂²	1	3	yes	—
23	C₂×C₄×Dic₆	C₂²	1	3	yes	—
24	C₂×#835	C₂²	1	3	yes	—
25	#5091	C₂²	1	24	yes	—
26	#5078	C₂²	1	24	yes	—
27	C₄×#216	C₂²	1	24	yes	—
28	Q₈×C₃⋊C₈	C₂²	1	8	yes	—
29	#5021	C₂²	1	24	yes	—
30	C₂×#810	C₂²	1	3	yes	—
31	C₂×#807	C₂²	1	3	yes	—
32	C₂×#807	C₂²	1	6	yes	—
33	C₂×C₄⋊(C₃⋊C₈)	C₂²	1	3	yes	—
34	C₂×C₄×C₃⋊C₈	C₂²	1	3	yes	—
35	C₂×Q₈²	—	3	1	no	—
36	C₂×Q₈²	D₃	1	1	yes	characteristic
37	Q₈×Q₁₆	—	3	16	no	—
38	C₂×#500	—	3	3	no	—
39	C₂×#477	—	3	3	no	—
40	C₂×#477	—	3	3	no	—
41	C₂×C₈×Q₈	—	3	1	no	—
42	C₂×C₄×Q₁₆	—	3	3	no	—
43	C₂²×C₃×Q₈	—	2	3	no	—
44	C₂²×C₃×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×C₃×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×Dic₆	—	2	3	no	—
47	C₂²×Dic₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₃×C₄⋊Q₈	—	2	24	no	—
49	C₃×C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
50	C₃×C₄⋊Q₈	C₂³	1	12	yes	—
51	C₃×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
52	C₃×C₄×Q₈	—	2	6	no	—
53	C₃×C₄×Q₈	D₄	1	4	yes	—
54	C₃×C₄×Q₈	C₂³	1	12	yes	—
55	C₃×C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
57	C₂×C₃×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
58	C₂×C₃×C₄⋊C₄	D₄	1	3	yes	—
59	C₂×C₃×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
60	C₂×C₃×C₄²	—	2	3	no	—
61	C₂×C₃×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
62	Q₈×Dic₃	—	2	8	no	—
63	C₂×#216	Q₈	1	8	yes	direct product factor
64	C₂×#216	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂×C₄⋊Dic₃	—	2	3	no	—
66	C₂×C₄⋊Dic₃	C₂³	1	3	yes	—
67	C₂×Dic₃⋊C₄	—	2	3	no	—
68	C₂×C₄×Dic₃	—	2	3	no	—
69	C₂²×C₃⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
70	C₂²×C₃⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	#888	—	2	24	no	—
72	#869	—	2	6	no	—
73	#869	C₂³	1	12	yes	—
74	C₄×Dic₆	—	2	6	no	—
75	C₄×Dic₆	C₂³	1	12	yes	—
76	#835	C₂³	1	12	yes	—
77	#810	C₂³	1	12	yes	—
78	#807	C₂³	1	24	yes	—
79	#807	C₂³	1	12	yes	—
80	C₄⋊(C₃⋊C₈)	C₂³	1	12	yes	—
81	C₄×C₃⋊C₈	C₂³	1	12	yes	—
82	C₂²×Q₁₆	—	3	1	no	—
83	Q₈²	—	2	4	no	—
84	Q₈²	—	3	8	no	—
85	Q₈²	—	6	4	no	—
86	Q₈²	C₂×D₃	1	8	yes	—
87	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	3	no	—
88	C₂×C₄⋊Q₈	—	3	3	no	—
89	C₂×C₄⋊Q₈	—	6	3	no	—
90	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₃	1	3	yes	—
91	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
92	C₂×C₄×Q₈	—	3	3	no	—
93	C₂×C₄×Q₈	—	6	1	no	—
94	C₂×C₄×Q₈	C₂×D₃	1	3	yes	—
95	C₂×C₄×Q₈	C₂×D₃	1	1	yes	characteristic
96	#500	—	3	24	no	—
97	#477	—	3	24	no	—
98	#477	—	3	24	no	—
99	C₈×Q₈	—	3	8	no	—
100	C₄×Q₁₆	—	3	24	no	—
101	C₂×#107	—	3	6	no	—
102	C₂×#107	—	3	3	no	—
103	C₂×C₄⋊C₈	—	3	3	no	—
104	C₂×#103	—	3	3	no	—
105	C₂×#103	—	3	3	no	—
106	C₂×C₄×C₈	—	3	3	no	—
107	C₂×C₃×Q₈	—	2	1	no	—
108	C₂×C₃×Q₈	—	2	12	no	—
109	C₂×C₃×Q₈	—	2	2	no	—
110	C₂×C₃×Q₈	—	8	6	no	—
111	C₂×C₃×Q₈	Q₁₆	1	8	yes	complemented
112	C₂×C₃×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
113	C₂×C₃×Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
114	C₂×C₃×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
115	C₂²×C₃×C₄	—	2	1	no	—
116	C₂²×C₃×C₄	—	2	3	no	—
117	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
118	C₂²×C₃×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
119	C₂²×C₃×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×Dic₃	—	2	1	no	—
121	C₂²×Dic₃	—	2	3	no	—
122	C₂×Dic₆	—	2	1	no	—
123	C₂×Dic₆	—	2	2	no	—
124	C₂×Dic₆	—	2	12	no	—
125	C₂×Dic₆	—	8	6	no	—
126	C₂×Dic₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
127	C₂×Dic₆	C₂⁴	1	2	yes	—
128	C₃×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
129	C₃×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
130	C₃×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
131	C₃×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
132	C₃×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
133	C₃×C₄²	—	2	12	no	—
134	C₃×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
135	C₃×C₄²	C₂⁴	1	6	yes	—
136	#216	C₂×Q₈	1	16	yes	direct product factor
137	C₄⋊Dic₃	—	2	3	no	—
138	C₄⋊Dic₃	—	2	12	no	—
139	C₄⋊Dic₃	C₂⁴	1	6	yes	—
140	Dic₃⋊C₄	—	2	12	no	—
141	C₄×Dic₃	—	2	12	no	—
142	C₂×C₃⋊C₈	—	2	6	no	—
143	C₂×C₃⋊C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
144	C₂×C₃⋊C₈	C₂⁴	1	6	yes	—
145	C₂×C₃⋊C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
146	C₂²×Q₈	—	2	3	no	—
147	C₂²×Q₈	—	3	1	no	—
148	C₂²×Q₈	—	6	3	no	—
149	C₂²×Q₈	#67	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×Q₈	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
151	C₂×Q₁₆	—	3	8	no	—
152	C₂×Q₁₆	—	3	4	no	—
153	C₂²×C₈	—	3	1	no	—
154	C₂²×C₈	—	3	3	no	—
155	C₄⋊Q₈	—	2	24	no	—
156	C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
157	C₄⋊Q₈	—	3	12	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	6	24	no	—
159	C₄⋊Q₈	—	6	6	no	—
160	C₄⋊Q₈	C₂²×D₃	1	12	yes	—
161	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
162	C₄×Q₈	—	2	6	no	—
163	C₄×Q₈	—	3	12	no	—
164	C₄×Q₈	—	6	8	no	—
165	C₄×Q₈	—	6	6	no	—
166	C₄×Q₈	#67	1	4	yes	—
167	C₄×Q₈	C₂²×D₃	1	12	yes	—
168	C₄×Q₈	C₂²×D₃	1	4	yes	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	3	3	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	6	3	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	6	3	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	#67	1	3	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₃	1	3	yes	—
176	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
177	C₂×C₄²	—	6	3	no	—
178	C₂×C₄²	C₂²×D₃	1	3	yes	—
179	#107	—	3	12	no	—
180	#107	—	3	24	no	—
181	C₄⋊C₈	—	3	12	no	—
182	#103	—	3	12	no	—
183	#103	—	3	12	no	—
184	C₄×C₈	—	3	12	no	—
185	C₂³×C₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
186	C₃×Q₈	—	2	4	no	—
187	C₃×Q₈	—	2	2	no	—
188	C₃×Q₈	—	8	12	no	—
189	C₃×Q₈	C₂×Q₁₆	1	16	yes	complemented
190	C₃×Q₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
191	C₂×C₃×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂×C₃×C₄	—	2	6	no	—
193	C₂×C₃×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₃×C₄	—	2	6	no	—
195	C₂×C₃×C₄	—	4	6	no	—
196	C₂×C₃×C₄	C₂×Q₁₆	1	12	yes	—
197	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
198	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₃×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
200	C₂×C₃×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
201	C₂×C₃×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
202	C₂×C₃×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
203	C₂×Dic₃	—	2	4	no	—
204	C₂×Dic₃	—	2	2	no	—
205	C₂×Dic₃	—	2	6	no	—
206	C₂×Dic₃	—	4	6	no	—
207	Dic₆	—	2	4	no	—
208	Dic₆	—	2	2	no	—
209	Dic₆	—	8	12	no	—
210	Dic₆	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
211	C₃⋊C₈	—	2	6	no	—
212	C₃⋊C₈	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
213	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
216	C₂×Q₈	—	3	4	no	—
217	C₂×Q₈	—	3	2	no	—
218	C₂×Q₈	—	6	2	no	—
219	C₂×Q₈	—	6	1	no	—
220	C₂×Q₈	—	6	12	no	—
221	C₂×Q₈	—	8	6	no	—
222	C₂×Q₈	—	24	6	no	—
223	C₂×Q₈	#216	1	8	yes	direct product factor
224	C₂×Q₈	D₃×Q₈	1	4	yes	—
225	C₂×Q₈	C₂×#67	1	4	yes	—
226	C₂×Q₈	C₂³×D₃	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
229	C₂²×C₄	—	6	1	no	—
230	C₂²×C₄	—	6	3	no	—
231	C₂²×C₄	C₂×#67	1	3	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂×#67	1	3	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂³×D₃	1	1	yes	characteristic
234	Q₁₆	—	3	16	no	—
235	C₂×C₈	—	3	4	no	—
236	C₂×C₈	—	3	2	no	—
237	C₂×C₈	—	3	6	no	—
238	C₂×C₈	—	6	6	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
242	C₄⋊C₄	—	3	6	no	—
243	C₄⋊C₄	—	6	3	no	—
244	C₄⋊C₄	—	6	12	no	—
245	C₄⋊C₄	—	6	12	no	—
246	C₄⋊C₄	C₂×#67	1	12	yes	—
247	C₄⋊C₄	C₂³×D₃	1	6	yes	—
248	C₄²	—	2	12	no	—
249	C₄²	—	6	12	no	—
250	C₄²	C₂×#67	1	6	yes	—
251	C₄²	C₂³×D₃	1	6	yes	—
252	C₂²×C₃	D₄×Q₈	1	2	yes	—
253	C₂²×C₃	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
254	C₂²×C₃	#576	1	2	yes	—
255	C₂²×C₃	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₃×C₄	—	2	4	no	—
257	C₃×C₄	—	2	6	no	—
258	C₃×C₄	—	4	6	no	—
259	C₃×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
260	C₃×C₄	C₂²×Q₁₆	1	12	yes	—
261	C₃×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
262	C₃×C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
263	Dic₃	—	2	4	no	—
264	Dic₃	—	4	6	no	—
265	C₂³	C₂²×#67	1	1	yes	characteristic
266	Q₈	—	2	2	no	—
267	Q₈	—	2	4	no	—
268	Q₈	—	3	4	no	—
269	Q₈	—	6	2	no	—
270	Q₈	—	6	4	no	—
271	Q₈	—	8	12	no	—
272	Q₈	—	24	12	no	—
273	Q₈	C₂×#216	1	16	yes	direct product factor
274	Q₈	C₂×D₃×Q₈	1	4	yes	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂×C₄	—	2	6	no	—
278	C₂×C₄	—	2	6	no	—
279	C₂×C₄	—	4	6	no	—
280	C₂×C₄	—	6	2	no	—
281	C₂×C₄	—	6	4	no	—
282	C₂×C₄	—	6	6	no	—
283	C₂×C₄	—	12	6	no	—
284	C₂×C₄	C₂×#216	1	12	yes	—
285	C₂×C₄	C₂×D₃×Q₈	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	#1007	1	2	yes	—
287	C₂×C₄	C₂²×#67	1	6	yes	—
288	C₂×C₄	C₂²×#67	1	6	yes	—
289	C₂×C₄	C₂²×#67	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₄	C₂⁴×D₃	1	1	yes	characteristic
291	C₈	—	3	4	no	—
292	C₈	—	6	6	no	—
293	C₂×C₃	Q₈×Q₁₆	1	4	yes	complemented
294	C₂×C₃	C₂×D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₃	C₂³×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₃	C₂×#576	1	1	yes	characteristic
297	C₂²	C₂²×#216	1	2	yes	—
298	C₂²	Q₈×#67	1	2	yes	—
299	C₂²	#5835	1	2	yes	—
300	C₂²	C₂³×#67	1	1	yes	characteristic
301	C₄	—	2	4	no	—
302	C₄	—	2	6	no	—
303	C₄	—	4	6	no	—
304	C₄	—	6	4	no	—
305	C₄	—	12	6	no	—
306	C₄	C₂²×#216	1	12	yes	—
307	C₄	Q₈×#67	1	2	yes	—
308	C₄	C₂²×D₃×Q₈	1	1	yes	characteristic
309	C₄	C₂×#1007	1	1	yes	characteristic
310	C₃	C₂×Q₈×Q₁₆	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
311	C₂	Q₈×#216	1	4	yes	direct product factor
312	C₂	C₂³×#216	1	1	yes	characteristic
313	C₂	C₂×Q₈×#67	1	1	yes	characteristic
314	C₂	C₂×#5835	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×#67
commutator, cosocle	C₂×C₃×C₄	C₂⁵
Frattini	C₂×C₄	C₂⁴×D₃
Fitting	C₂×C₃×Q₈²	C₂
socle, prime radical	C₂³×C₃	C₂²×D₄
hypercenter	C₂×Q₈²	D₃
hypocenter	C₃	C₂×Q₈×Q₁₆
LCS	G ▷ C₂×C₃×C₄ ▷ C₂×C₃ ▷ C₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×Q₈ ◁ C₂×Q₈²

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. Q₈×#216	C₂	direct (N × H)
63. C₂×#216	Q₈	direct (N × H)
111. C₂×C₃×Q₈	Q₁₆	semidirect
136. #216	C₂×Q₈	direct (N × H)
189. C₃×Q₈	C₂×Q₁₆	semidirect
223. C₂×Q₈	#216	direct (N × H)
273. Q₈	C₂×#216	direct (N × H)
293. C₂×C₃	Q₈×Q₁₆	semidirect
310. C₃	C₂×Q₈×Q₁₆	semidirect
311. C₂	Q₈×#216	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₃×Q₈²	2
C₂×Q₈×Dic₆	2
Q₈×#216	2
C₂×#5091	2
C₂×#5078	2
C₂×Q₈×C₃⋊C₈	2
C₂×#5021	2
C₂×C₄×#216	2
C₂×Q₈×Q₁₆	3

Subgroups — C2×Q8×#216 #11675634

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂×Q₈×#216 #11675634