Finite Group Databasebeta

← #11712527

Subgroups — #11712527

Order 768.

381 conjugacy classes of subgroups; only the 41 normal subgroups are shown.

normal subgroups only

This group has 381 conjugacy classes of subgroups — too many to draw. Only its 41 normal subgroups are shown.

Dotted edges: containments with no intermediate normal subgroup — omitted non-normal subgroups may lie between.

Conjugacy classes of subgroups

#subgroupG/Hclass sizemultiplicitynormal?properties
1#85433C211yesmaximal, characteristic, complemented
2#85392C211yesmaximal, characteristic, complemented
3SD16×SL(2,𝔽3)C211yesmaximal, characteristic, complemented
4#73100C211yesmaximal, characteristic, complemented
5#73088C211yesmaximal, characteristic, complemented
6#73022C211yesmaximal, characteristic, complemented
7#73010C211yesmaximal, characteristic, complemented
8#20201—31nomaximal, Sylow
9C2×#983—21no—
10Q8×SL(2,𝔽3)C2211yescharacteristic
11D4×SL(2,𝔽3)C2211yescharacteristic
12#5421—21no—
13#5395—21no—
14#5394—21no—
15C4⋊GL(2,𝔽3)C2211yescharacteristic
16C4⋊GL(2,𝔽3)C2211yescharacteristic
17C4×#226C2211yescharacteristic
18#5176—41nomaximal
19C8×SL(2,𝔽3)C2211yescharacteristic
20SL(2,𝔽3)⋊C8C2211yescharacteristic
21#3399—31no—
22Q8×SD16D311yescharacteristic, complemented
23#3375—31no—
24#3278—31no—
25#1715—31no—
26#1697—31no—
27#1692—31no—
28#1686—31no—
29#1668—31no—
30#1640—31no—
31#1631—31no—
32#1627—31no—
33#1623—31no—
34#1592—31no—
35#1584—31no—
36C22×SL(2,𝔽3)—21no—
37#983—42no—
38C2×GL(2,𝔽3)—21no—
39C2×GL(2,𝔽3)—21no—
40C2×#226D411yescharacteristic
41C2×C3×SD16—41no—
42#947—41no—
43C2×#215—41no—
44#940—41no—
45C2×#213—41no—
46C2×D24—41no—
47C4×SL(2,𝔽3)—21no—
48C4×SL(2,𝔽3)C2311yescharacteristic
49#859D411yescharacteristic
50#815—41no—
51C2×#137—61no—
52#559—31no—
53Q82C2×D311yescharacteristic
54#550—31no—
55D4×Q8C2×D311yescharacteristic
56#498—31no—
57#496—61no—
58#493—31no—
59#492—31no—
60#492—31no—
61#489—61no—
62#486—31no—
63#486—31no—
64#477—31no—
65#476—31no—
66#475—31no—
67#474—61no—
68#468—61no—
69#464—61no—
70#463—61no—
71#462—31no—
72#460—31no—
73#460—31no—
74#460—31no—
75#459—31no—
76#459—61no—
77#452—61no—
78#448—61no—
79#446—31no—
80#446—31no—
81C8×Q8C2×D311yescharacteristic
82#442—61no—
83#440—61no—
84C4×Q16—31no—
85C4×SD16—31no—
86#436—31no—
87#335—31no—
88#335—31no—
89#333—31no—
90#332—31no—
91#331—31no—
92#331—31no—
93Q8⋊C8—31no—
94Q8⋊C8—31no—
95Q8⋊C8—31no—
96D4⋊C8—31no—
97#322—31no—
98C2×C3×Q8—41no—
99C2×C3×D4—41no—
100C2×#67—81no—
101C2×#67—81no—
102C2×D12—41no—
103C2×D12—41no—
104C2×SL(2,𝔽3)—41no—
105C2×SL(2,𝔽3)C2×D411yescharacteristic
106GL(2,𝔽3)—41no—
107GL(2,𝔽3)—41no—
108#226—21no—
109C3×SD16—82no—
110C2×C3×C8—41no—
111#215—82no—
112#213—82no—
113(C2×D3)⋊C4—81no—
114(C2×D3)⋊C4—81no—
115C4×Dic3—41no—
116C2×C3⋊C8—41no—
117D24—82no—
118C2×#41—61no—
119C22×Q8—21no—
120#137—122no—
121#137—122no—
122C2×Q16—31no—
123C2×Q16—61no—
124C2×SD16—61no—
125C2×SD16—61no—
126C2×SD16—61no—
127C2×SD16—61no—
128C2×SD16—61no—
129C2×SD16—121no—
130C2×SD16S411yescharacteristic
131C2×D8—61no—
132C2×D8—61no—
133C2×D8—61no—
134C2×M16—61no—
135C4⋊Q8—31no—
136C4⋊Q8—31no—
137C4⋊Q8—61no—
138#127—31no—
139#127—31no—
140#127—61no—
141#124—61no—
142#124—61no—
143#123—121no—
144C22⋊Q8—61no—
145#121—61no—
146#121—121no—
147C4×Q8—21no—
148C4×Q8—31no—
149C4×Q8—31no—
150C4×Q8C22×D311yescharacteristic
151C4×D4—31no—
152C4×D4—61no—
153C4×D4—61no—
154C4×D4—61no—
155#107—31no—
156#107—61no—
157#106—31no—
158#106—61no—
159C4⋊C8—31no—
160C4⋊C8—31no—
161C4⋊C8—31no—
162C4⋊C8—31no—
163C4⋊C8—61no—
164C4⋊C8—61no—
165#103—31no—
166#103—31no—
167#103—31no—
168#103—61no—
169#103—61no—
170#102—31no—
171#102—61no—
172#102—61no—
173#102—61no—
174#102—61no—
175#102—61no—
176#102—61no—
177#102—121no—
178C22⋊C8—61no—
179#97—61no—
180#97—61no—
181C4×C8—31no—
182C4×C8—31no—
183C4×C8—31no—
184C23×C3—81no—
185C22×D3—81no—
186C22×D3—81no—
187C3×Q8—81no—
188C3×Q8—81no—
189C3×D4—81no—
190C3×D4—81no—
191C2×C3×C4—41no—
192C2×C3×C4—81no—
193#67—162no—
194#67—162no—
195C2×Dic3—41no—
196C2×Dic3—41no—
197D12—81no—
198D12—81no—
199D12—81no—
200D12—81no—
201SL(2,𝔽3)AGL(1,ℤ/8)11yescharacteristic
202C3×C8—42no—
203C3⋊C8—42no—
204#41—122no—
205#41—241no—
206C2×Q8—31no—
207C2×Q8—41no—
208C2×Q8—61no—
209C2×Q8—61no—
210C2×Q8—121no—
211C2×Q8D3×D411yescharacteristic
212C2×Q8C2×S411yescharacteristic
213C2×D4—61no—
214C2×D4—61no—
215C2×D4—61no—
216C2×D4—61no—
217C2×D4—61no—
218C2×D4—61no—
219C2×D4—121no—
220C2×D4—121no—
221C2×D4C2×S411yescharacteristic
222C22×C4—61no—
223C22×C4—121no—
224C22×C4—121no—
225Q16—61no—
226Q16—61no—
227Q16—122no—
228SD16—22no—
229SD16—122no—
230SD16—121no—
231SD16—121no—
232SD16—121no—
233SD16—121no—
234SD16—241no—
235SD16—241no—
236SD16—242no—
237D8—122no—
238D8—241no—
239D8—241no—
240M16—122no—
241C2×C8—31no—
242C2×C8—31no—
243C2×C8—31no—
244C2×C8—61no—
245C2×C8—61no—
246C2×C8—61no—
247C2×C8—61no—
248C2×C8C2×S411yescharacteristic
249C4⋊C4—31no—
250C4⋊C4—31no—
251C4⋊C4—31no—
252C4⋊C4—31no—
253C4⋊C4—61no—
254C4⋊C4—61no—
255C4⋊C4—61no—
256C4⋊C4—61no—
257C22⋊C4—61no—
258C22⋊C4—121no—
259C22⋊C4—121no—
260C22⋊C4—121no—
261C22⋊C4—121no—
262C42—31no—
263C42—61no—
264C42—61no—
265C22×C3—41no—
266C22×C3—161no—
267C22×C3—161no—
268C22×C3—161no—
269C2×D3—161no—
270C2×D3—161no—
271C2×D3—161no—
272C2×D3—161no—
273C2×D3—161no—
274C2×D3—161no—
275C3×C4—41no—
276C3×C4—41no—
277C3×C4—161no—
278Dic3—81no—
279Dic3—81no—
280C23—21no—
281C23—121no—
282C23—121no—
283Q8—21no—
284Q8—21no—
285Q8—31no—
286Q8—61no—
287Q8—61no—
288Q8—121no—
289Q8—121no—
290Q8—241no—
291Q8#91411yescharacteristic
292D4—21no—
293D4—21no—
294D4—121no—
295D4—121no—
296D4—121no—
297D4—121no—
298D4—121no—
299D4—121no—
300D4—121no—
301D4—121no—
302D4—241no—
303D4—241no—
304D4—242no—
305D4—481no—
306C2×C4—21no—
307C2×C4—31no—
308C2×C4—31no—
309C2×C4—61no—
310C2×C4—61no—
311C2×C4—61no—
312C2×C4—61no—
313C2×C4—121no—
314C2×C4—121no—
315C2×C4—242no—
316C2×C4—481no—
317C2×C4C22×S411yescharacteristic
318C8—61no—
319C8—61no—
320C8—61no—
321C8—121no—
322C8—121no—
323C8—121no—
324C8—121no—
325C8#98312yescomplemented
326C2×C3—41no—
327C2×C3—41no—
328C2×C3—41no—
329C2×C3—321no—
330D3—321no—
331D3—321no—
332C22—41no—
333C22—41no—
334C22—41no—
335C22—241no—
336C22—241no—
337C22—241no—
338C22—241no—
339C22—241no—
340C22—241no—
341C22D4×S411yescharacteristic
342C4—31no—
343C4—31no—
344C4—41no—
345C4—61no—
346C4—121no—
347C4—121no—
348C4—121no—
349C4—121no—
350C4C2×#98311yescharacteristic
351C4#592611yescharacteristic
352C3—41noSylow
353C2—81no—
354C2—481no—
355C2—481no—
356C2#8539211yescharacteristic
357C2#8546011yescharacteristic
358C2#8547011yescharacteristic
subgroupG/H
center, socleC22D4×S4
commutator, cosocleC4×SL(2,𝔽3)C23
FrattiniC2×C4C22×S4
FittingQ8×SD16D3
hypercenterC2×SD16S4
hypocenterSL(2,𝔽3)AGL(1,ℤ/8)
LCSG ▷ C4×SL(2,𝔽3) ▷ C2×SL(2,𝔽3) ▷ SL(2,𝔽3)
UCSC1 ◁ C22 ◁ C2×C4 ◁ C2×SD16

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

NH ≅ G/Ntype
1. #85433C2semidirect
2. #85392C2semidirect
3. SD16×SL(2,𝔽3)C2semidirect
4. #73100C2semidirect
5. #73088C2semidirect
6. #73022C2semidirect
7. #73010C2semidirect
22. Q8×SD16D3semidirect
325. C8#983semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroupindex
#854332
#853922
SD16×SL(2,𝔽3)2
#731002
#730882
#730222
#730102
#202013
#51764