Finite Group Databasebeta

Subgroups — #11713944

Order 768.

1118 conjugacy classes of subgroups; only the 67 normal subgroups are shown.

normal subgroups only

This group has 1118 conjugacy classes of subgroups — too many to draw. Only its 67 normal subgroups are shown.

Dotted edges: containments with no intermediate normal subgroup — omitted non-normal subgroups may lie between.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#994	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#5427	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
3	#73151	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
4	#32884	—	3	1	no	maximal, Sylow
5	C₂×#994	—	2	6	no	—
6	C₂²×#41⋊C₃	C₂²	1	3	yes	—
7	C₂²×GL(2,𝔽₃)	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
8	#5427	—	2	6	no	—
9	C₂×#859	C₂²	1	3	yes	complemented
10	#5231	—	4	1	no	maximal
11	C₂²×H(5,𝔽₂)	D₃	1	1	yes	characteristic, complemented
12	C₂×#449	—	3	3	no	—
13	C₂×#447	—	3	3	no	—
14	#2615	—	3	1	no	—
15	#1788	—	3	3	no	—
16	#1786	—	3	3	no	—
17	#1780	—	3	1	no	—
18	C₂²×C₃×Q₈	—	4	1	no	—
19	#994	—	2	8	no	—
20	C₂×#41⋊C₃	—	2	6	no	—
21	C₂×#41⋊C₃	D₄	1	6	yes	complemented
22	C₂²×SL(2,𝔽₃)	C₂³	1	1	yes	characteristic
23	C₂×GL(2,𝔽₃)	—	2	3	no	—
24	C₂×(C₂×D₃)⋊C₄	—	4	3	no	—
25	#859	—	2	3	no	—
26	C₃⋊#95	—	4	3	no	—
27	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	6	no	—
28	C₂×H(5,𝔽₂)	—	6	6	no	—
29	C₂²×#41	—	3	1	no	—
30	C₂²×#41	C₂×D₃	1	3	yes	—
31	C₂³×D₄	—	3	3	no	—
32	C₂²×SD₁₆	—	3	1	no	—
33	C₂²×D₈	—	3	3	no	—
34	C₂×#121	—	3	3	no	—
35	#449	—	6	6	no	—
36	#449	—	6	6	no	—
37	#447	—	6	12	no	—
38	C₂×#103	—	3	3	no	—
39	C₂×#102	—	3	6	no	—
40	C₂×#102	—	3	3	no	—
41	C₂×C₂²⋊C₈	—	3	3	no	—
42	C₂×C₂²⋊C₈	—	3	3	no	—
43	#393	—	6	1	no	—
44	#392	—	6	3	no	—
45	#380	—	3	3	no	—
46	C₂³×D₃	—	4	1	no	—
47	C₂×C₃×Q₈	—	8	6	no	—
48	C₂²×C₃×C₄	—	4	3	no	—
49	C₂²×Dic₃	—	4	3	no	—
50	#41⋊C₃	—	2	6	no	—
51	C₂×SL(2,𝔽₃)	C₂×D₄	1	3	yes	—
52	GL(2,𝔽₃)	—	4	1	no	—
53	(C₂×D₃)⋊C₄	—	8	6	no	—
54	C₂⁵	—	6	1	no	—
55	H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
56	H(5,𝔽₂)	—	6	24	no	—
57	H(5,𝔽₂)	—	6	16	no	—
58	C₂×#41	—	2	6	no	—
59	C₂×#41	—	3	6	no	—
60	C₂×#41	—	6	6	no	—
61	C₂×#41	—	6	6	no	—
62	C₂×#41	—	6	6	no	—
63	C₂×#41	#67	1	6	yes	—
64	C₂²×Q₈	S₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×Q₈	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×D₄	—	3	3	no	—
67	C₂²×D₄	—	3	12	no	—
68	C₂²×D₄	—	3	1	no	—
69	C₂²×D₄	—	3	3	no	—
70	C₂²×D₄	—	6	6	no	—
71	C₂²×D₄	—	6	12	no	—
72	C₂²×D₄	—	6	12	no	—
73	C₂²×D₄	—	6	3	no	—
74	C₂³×C₄	—	3	3	no	—
75	C₂×SD₁₆	—	6	3	no	—
76	C₂×SD₁₆	—	6	3	no	—
77	C₂×D₈	—	6	12	no	—
78	C₂×D₈	—	6	6	no	—
79	C₂²×C₈	—	3	3	no	—
80	C₂²×C₈	—	3	1	no	—
81	#121	—	6	6	no	—
82	#121	—	6	6	no	—
83	C₂×C₄⋊C₄	—	3	3	no	—
84	C₂×C₂²⋊C₄	—	6	3	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₄	—	6	3	no	—
86	#103	—	6	3	no	—
87	#103	—	6	3	no	—
88	#102	—	6	12	no	—
89	#102	—	6	6	no	—
90	C₂²⋊C₈	—	6	6	no	—
91	C₂²⋊C₈	—	6	6	no	—
92	#95	—	6	3	no	—
93	C₂³×C₃	—	4	1	no	—
94	C₂²×D₃	—	4	2	no	—
95	C₂²×D₃	—	8	3	no	—
96	C₂²×D₃	—	8	3	no	—
97	C₃×Q₈	—	8	8	no	—
98	C₂×C₃×C₄	—	4	6	no	—
99	C₂×C₃×C₄	—	8	6	no	—
100	C₂×Dic₃	—	8	3	no	—
101	C₂×Dic₃	—	8	6	no	—
102	SL(2,𝔽₃)	#120	1	1	yes	characteristic
103	C₂⁴	—	3	3	no	—
104	C₂⁴	—	6	12	no	—
105	C₂⁴	—	6	1	no	—
106	C₂⁴	—	24	1	no	—
107	C₂⁴	—	24	3	no	—
108	#41	—	2	6	no	—
109	#41	—	6	12	no	—
110	#41	—	6	8	no	—
111	#41	—	6	24	no	—
112	#41	—	6	6	no	—
113	#41	—	6	12	no	—
114	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
115	C₂×Q₈	—	3	3	no	—
116	C₂×Q₈	C₂×#67	1	3	yes	—
117	C₂×D₄	—	3	6	no	—
118	C₂×D₄	—	3	12	no	—
119	C₂×D₄	—	6	12	no	—
120	C₂×D₄	—	6	3	no	—
121	C₂×D₄	—	6	6	no	—
122	C₂×D₄	—	6	3	no	—
123	C₂×D₄	—	6	3	no	—
124	C₂×D₄	—	6	48	no	—
125	C₂×D₄	—	6	24	no	—
126	C₂×D₄	—	6	24	no	—
127	C₂×D₄	—	6	6	no	—
128	C₂×D₄	—	12	6	no	—
129	C₂×D₄	—	24	6	no	—
130	C₂²×C₄	—	3	1	no	—
131	C₂²×C₄	—	3	6	no	—
132	C₂²×C₄	—	3	6	no	—
133	C₂²×C₄	—	6	6	no	—
134	C₂²×C₄	—	6	6	no	—
135	C₂²×C₄	—	6	3	no	—
136	C₂²×C₄	C₂×S₄	1	3	yes	—
137	SD₁₆	—	12	3	no	—
138	SD₁₆	—	12	1	no	—
139	D₈	—	12	12	no	—
140	C₂×C₈	—	6	6	no	—
141	C₂×C₈	—	6	3	no	—
142	C₂×C₈	—	6	3	no	—
143	C₄⋊C₄	—	6	3	no	—
144	C₄⋊C₄	—	6	3	no	—
145	C₂²⋊C₄	—	12	6	no	—
146	C₂²⋊C₄	—	24	3	no	—
147	C₂²×C₃	—	4	1	no	—
148	C₂²×C₃	—	4	3	no	—
149	C₂²×C₃	—	4	3	no	—
150	C₂×D₃	—	8	6	no	—
151	C₂×D₃	—	16	3	no	—
152	C₂×D₃	—	16	1	no	—
153	C₃×C₄	—	8	6	no	—
154	Dic₃	—	16	3	no	—
155	C₂³	—	3	6	no	—
156	C₂³	—	6	16	no	—
157	C₂³	—	6	3	no	—
158	C₂³	—	6	3	no	—
159	C₂³	—	6	6	no	—
160	C₂³	—	6	6	no	—
161	C₂³	—	12	1	no	—
162	C₂³	—	12	3	no	—
163	C₂³	—	12	3	no	—
164	C₂³	—	24	12	no	—
165	C₂³	—	24	12	no	—
166	C₂³	C₂²×S₄	1	1	yes	characteristic
167	Q₈	—	2	8	no	—
168	Q₈	—	3	3	no	—
169	Q₈	—	6	1	no	—
170	Q₈	#953	1	1	yes	characteristic
171	D₄	—	3	12	no	—
172	D₄	—	6	24	no	—
173	D₄	—	6	6	no	—
174	D₄	—	6	12	no	—
175	D₄	—	12	3	no	—
176	D₄	—	12	1	no	—
177	D₄	—	24	12	no	—
178	C₂×C₄	—	2	6	no	—
179	C₂×C₄	—	3	3	no	—
180	C₂×C₄	—	3	3	no	—
181	C₂×C₄	—	6	6	no	—
182	C₂×C₄	—	6	12	no	—
183	C₂×C₄	—	6	6	no	—
184	C₂×C₄	—	12	6	no	—
185	C₂×C₄	—	12	3	no	—
186	C₂×C₄	GL(2,ℤ/4)	1	6	yes	—
187	C₈	—	12	3	no	—
188	C₈	—	12	1	no	—
189	C₂×C₃	—	4	3	no	—
190	C₂×C₃	—	4	3	no	—
191	C₂×C₃	—	4	1	no	—
192	D₃	—	16	2	no	—
193	C₂²	—	6	6	no	—
194	C₂²	—	6	6	no	—
195	C₂²	—	6	6	no	—
196	C₂²	—	12	6	no	—
197	C₂²	—	12	6	no	—
198	C₂²	—	24	16	no	—
199	C₂²	—	24	3	no	—
200	C₂²	—	24	3	no	—
201	C₂²	—	24	1	no	—
202	C₂²	#5924	1	1	yes	characteristic
203	C₂²	#5925	1	3	yes	—
204	C₂²	C₂×GL(2,ℤ/4)	1	3	yes	—
205	C₄	—	2	6	no	—
206	C₄	—	3	3	no	—
207	C₄	—	3	1	no	—
208	C₄	—	24	3	no	—
209	C₃	—	4	1	no	Sylow
210	C₂	—	12	6	no	—
211	C₂	—	48	1	no	—
212	C₂	#85529	1	3	yes	—
213	C₂	#85530	1	3	yes	—
214	C₂	#85546	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle	C₂³	C₂²×S₄
commutator, cosocle	C₂²×SL(2,𝔽₃)	C₂³
Fitting	C₂²×H(5,𝔽₂)	D₃
hypercenter	C₂²×Q₈	S₄
hypocenter	SL(2,𝔽₃)	#120
LCS	G ▷ C₂²×SL(2,𝔽₃) ▷ SL(2,𝔽₃)
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×Q₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#994	C₂	semidirect
2. C₂×#5427	C₂	semidirect
3. #73151	C₂	semidirect
7. C₂²×GL(2,𝔽₃)	C₂²	semidirect
9. C₂×#859	C₂²	semidirect
11. C₂²×H(5,𝔽₂)	D₃	semidirect
21. C₂×#41⋊C₃	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#994	2
C₂×#5427	2
#73151	2
#32884	3
#5231	4