Finite Group Databasebeta

Subgroups — #11713946

Order 768.

1079 conjugacy classes of subgroups; only the 67 normal subgroups are shown.

normal subgroups only

This group has 1079 conjugacy classes of subgroups — too many to draw. Only its 67 normal subgroups are shown.

Dotted edges: containments with no intermediate normal subgroup — omitted non-normal subgroups may lie between.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#994	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#5425	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
3	#73151	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
4	#32886	—	3	1	no	maximal, Sylow
5	C₂×#994	—	2	6	no	—
6	C₂²×#41⋊C₃	C₂²	1	3	yes	—
7	C₂²×#226	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
8	#5425	—	2	6	no	—
9	C₂×#859	C₂²	1	3	yes	complemented
10	#5230	—	4	1	no	maximal
11	C₂²×H(5,𝔽₂)	D₃	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#452	—	3	3	no	—
13	C₂×#450	—	3	3	no	—
14	#2616	—	3	1	no	—
15	#1788	—	3	3	no	—
16	#1786	—	3	3	no	—
17	#1780	—	3	1	no	—
18	C₂²×C₃×Q₈	—	4	1	no	—
19	#994	—	2	8	no	—
20	C₂×#41⋊C₃	—	2	6	no	—
21	C₂×#41⋊C₃	D₄	1	6	yes	—
22	C₂²×SL(2,𝔽₃)	C₂³	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#226	—	2	3	no	—
24	C₂×Dic₃⋊C₄	—	4	3	no	—
25	#859	—	2	3	no	—
26	C₃⋊#95	—	4	3	no	—
27	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	6	no	—
28	C₂×H(5,𝔽₂)	—	6	6	no	—
29	C₂²×#41	—	3	1	no	—
30	C₂²×#41	C₂×D₃	1	3	yes	—
31	C₂³×D₄	—	3	3	no	—
32	C₂²×Q₁₆	—	3	1	no	—
33	C₂²×SD₁₆	—	3	3	no	—
34	C₂×C₂²⋊Q₈	—	3	3	no	—
35	#452	—	6	6	no	—
36	#452	—	6	6	no	—
37	#450	—	6	12	no	—
38	C₂×#103	—	3	3	no	—
39	C₂×#102	—	3	6	no	—
40	C₂×#102	—	3	3	no	—
41	C₂×C₂²⋊C₈	—	3	3	no	—
42	C₂×C₂²⋊C₈	—	3	3	no	—
43	#395	—	6	1	no	—
44	#394	—	6	3	no	—
45	#380	—	3	3	no	—
46	C₂×C₃×Q₈	—	8	6	no	—
47	C₂²×C₃×C₄	—	4	3	no	—
48	C₂²×Dic₃	—	4	3	no	—
49	C₂²×Dic₃	—	4	1	no	—
50	#41⋊C₃	—	2	6	no	—
51	C₂×SL(2,𝔽₃)	C₂×D₄	1	3	yes	—
52	#226	—	4	1	no	—
53	Dic₃⋊C₄	—	8	6	no	—
54	C₂⁵	—	6	1	no	—
55	H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
56	H(5,𝔽₂)	—	6	24	no	—
57	H(5,𝔽₂)	—	6	16	no	—
58	C₂×#41	—	2	6	no	—
59	C₂×#41	—	3	6	no	—
60	C₂×#41	—	6	6	no	—
61	C₂×#41	—	6	6	no	—
62	C₂×#41	—	6	6	no	—
63	C₂×#41	#67	1	6	yes	—
64	C₂²×Q₈	—	3	1	no	—
65	C₂²×Q₈	S₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×Q₈	C₂²×D₃	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×D₄	—	3	3	no	—
68	C₂²×D₄	—	3	12	no	—
69	C₂²×D₄	—	3	3	no	—
70	C₂²×D₄	—	6	6	no	—
71	C₂²×D₄	—	6	12	no	—
72	C₂²×D₄	—	6	12	no	—
73	C₂³×C₄	—	3	3	no	—
74	C₂×Q₁₆	—	6	3	no	—
75	C₂×Q₁₆	—	6	3	no	—
76	C₂×SD₁₆	—	6	12	no	—
77	C₂×SD₁₆	—	6	6	no	—
78	C₂²×C₈	—	3	3	no	—
79	C₂²×C₈	—	3	1	no	—
80	C₂²⋊Q₈	—	6	6	no	—
81	C₂²⋊Q₈	—	6	6	no	—
82	C₂×C₄⋊C₄	—	3	3	no	—
83	C₂×C₄⋊C₄	—	6	3	no	—
84	C₂×C₂²⋊C₄	—	6	3	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₄	—	6	3	no	—
86	#103	—	6	3	no	—
87	#103	—	6	3	no	—
88	#102	—	6	12	no	—
89	#102	—	6	6	no	—
90	C₂²⋊C₈	—	6	6	no	—
91	C₂²⋊C₈	—	6	6	no	—
92	#95	—	6	3	no	—
93	C₂³×C₃	—	4	1	no	—
94	C₃×Q₈	—	8	8	no	—
95	C₂×C₃×C₄	—	4	6	no	—
96	C₂×C₃×C₄	—	8	6	no	—
97	C₂×Dic₃	—	4	6	no	—
98	C₂×Dic₃	—	8	3	no	—
99	C₂×Dic₃	—	8	3	no	—
100	C₂×Dic₃	—	8	3	no	—
101	SL(2,𝔽₃)	#120	1	1	yes	characteristic
102	C₂⁴	—	3	3	no	—
103	C₂⁴	—	6	12	no	—
104	C₂⁴	—	24	3	no	—
105	C₂⁴	—	24	1	no	—
106	#41	—	2	6	no	—
107	#41	—	6	12	no	—
108	#41	—	6	8	no	—
109	#41	—	6	24	no	—
110	#41	—	6	6	no	—
111	#41	—	6	12	no	—
112	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
113	C₂×Q₈	—	3	3	no	—
114	C₂×Q₈	—	6	3	no	—
115	C₂×Q₈	—	6	3	no	—
116	C₂×Q₈	C₂×#67	1	3	yes	—
117	C₂×D₄	—	3	6	no	—
118	C₂×D₄	—	3	12	no	—
119	C₂×D₄	—	6	12	no	—
120	C₂×D₄	—	6	3	no	—
121	C₂×D₄	—	6	6	no	—
122	C₂×D₄	—	6	48	no	—
123	C₂×D₄	—	6	24	no	—
124	C₂×D₄	—	6	24	no	—
125	C₂×D₄	—	6	6	no	—
126	C₂²×C₄	—	3	1	no	—
127	C₂²×C₄	—	3	6	no	—
128	C₂²×C₄	—	3	6	no	—
129	C₂²×C₄	—	6	6	no	—
130	C₂²×C₄	—	6	6	no	—
131	C₂²×C₄	—	6	3	no	—
132	C₂²×C₄	—	6	1	no	—
133	C₂²×C₄	C₂×S₄	1	3	yes	—
134	Q₁₆	—	12	3	no	—
135	Q₁₆	—	12	1	no	—
136	SD₁₆	—	12	12	no	—
137	C₂×C₈	—	6	6	no	—
138	C₂×C₈	—	6	3	no	—
139	C₂×C₈	—	6	3	no	—
140	C₄⋊C₄	—	6	3	no	—
141	C₄⋊C₄	—	6	3	no	—
142	C₄⋊C₄	—	12	6	no	—
143	C₂²⋊C₄	—	12	6	no	—
144	C₂²⋊C₄	—	24	3	no	—
145	C₂²×C₃	—	4	3	no	—
146	C₂²×C₃	—	4	1	no	—
147	C₂²×C₃	—	4	3	no	—
148	C₃×C₄	—	8	6	no	—
149	Dic₃	—	8	6	no	—
150	Dic₃	—	16	1	no	—
151	C₂³	—	3	6	no	—
152	C₂³	—	6	16	no	—
153	C₂³	—	6	6	no	—
154	C₂³	—	6	3	no	—
155	C₂³	—	6	3	no	—
156	C₂³	—	6	6	no	—
157	C₂³	—	24	12	no	—
158	C₂³	—	24	12	no	—
159	C₂³	C₂²×S₄	1	1	yes	characteristic
160	Q₈	—	2	8	no	—
161	Q₈	—	3	3	no	—
162	Q₈	—	6	1	no	—
163	Q₈	—	12	3	no	—
164	Q₈	—	12	1	no	—
165	Q₈	#953	1	1	yes	characteristic
166	D₄	—	3	12	no	—
167	D₄	—	6	24	no	—
168	D₄	—	6	6	no	—
169	D₄	—	6	12	no	—
170	C₂×C₄	—	2	6	no	—
171	C₂×C₄	—	3	3	no	—
172	C₂×C₄	—	3	3	no	—
173	C₂×C₄	—	6	6	no	—
174	C₂×C₄	—	6	12	no	—
175	C₂×C₄	—	6	6	no	—
176	C₂×C₄	—	12	3	no	—
177	C₂×C₄	—	12	3	no	—
178	C₂×C₄	—	12	3	no	—
179	C₂×C₄	—	12	3	no	—
180	C₂×C₄	GL(2,ℤ/4)	1	6	yes	—
181	C₈	—	12	3	no	—
182	C₈	—	12	1	no	—
183	C₂×C₃	—	4	3	no	—
184	C₂×C₃	—	4	3	no	—
185	C₂×C₃	—	4	1	no	—
186	C₂²	—	6	6	no	—
187	C₂²	—	6	6	no	—
188	C₂²	—	6	6	no	—
189	C₂²	—	12	6	no	—
190	C₂²	—	12	6	no	—
191	C₂²	—	24	16	no	—
192	C₂²	#5924	1	3	yes	—
193	C₂²	#5925	1	1	yes	characteristic
194	C₂²	C₂×GL(2,ℤ/4)	1	3	yes	—
195	C₄	—	2	6	no	—
196	C₄	—	3	3	no	—
197	C₄	—	3	1	no	—
198	C₄	—	24	3	no	—
199	C₄	—	24	1	no	—
200	C₃	—	4	1	no	Sylow
201	C₂	—	12	6	no	—
202	C₂	#85527	1	3	yes	—
203	C₂	#85529	1	3	yes	—
204	C₂	#85546	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini, socle	C₂³	C₂²×S₄
commutator, cosocle	C₂²×SL(2,𝔽₃)	C₂³
Fitting	C₂²×H(5,𝔽₂)	D₃
prime radical	C₂²×#994	C₂
hypercenter	C₂²×Q₈	S₄
hypocenter	SL(2,𝔽₃)	#120
LCS	G ▷ C₂²×SL(2,𝔽₃) ▷ SL(2,𝔽₃)
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×Q₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#5425	C₂	semidirect
3. #73151	C₂	semidirect
7. C₂²×#226	C₂²	semidirect
9. C₂×#859	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#994	2
C₂×#5425	2
#73151	2
#32886	3
#5230	4