Finite Group Databasebeta

← #11715176

Subgroups — #11715176

Order 768.

991 conjugacy classes of subgroups; only the 117 normal subgroups are shown.

normal subgroups only

This group has 991 conjugacy classes of subgroups — too many to draw. Only its 117 normal subgroups are shown.

Dotted edges: containments with no intermediate normal subgroup — omitted non-normal subgroups may lie between.

Conjugacy classes of subgroups

#subgroupG/Hclass sizemultiplicitynormal?properties
1#41×SL(2,𝔽3)C211yesmaximal, characteristic, complemented
2#85432C211yesmaximal, characteristic, complemented
3#85426C211yesmaximal, characteristic, complemented
4#85397C211yesmaximal, characteristic, complemented
5#85394C212yesmaximal, complemented
6#85391C212yesmaximal, complemented
7D4×#226C211yesmaximal, characteristic, complemented
8#85330C212yesmaximal, complemented
9C4×#983C211yesmaximal, characteristic, complemented
10#85319C211yesmaximal, characteristic, complemented
11C2×#5388C212yesmaximal, complemented
12#61457—31nomaximal, Sylow
13C2×#983C2211yescharacteristic
14C22×#226C2212yes—
15#5824—41nomaximal
16Q8×SL(2,𝔽3)C2211yescharacteristic
17D4×SL(2,𝔽3)C2211yescharacteristic
18D4×SL(2,𝔽3)C2212yes—
19C2×C4×SL(2,𝔽3)C2212yes—
20C2×C4×SL(2,𝔽3)C2211yescharacteristic
21#5421C2212yes—
22#5420C2211yescharacteristic
23#5419C2212yes—
24#5419C2212yes—
25C2×#859C2212yes—
26#5395C2212yes—
27#5394C2211yescharacteristic
28C4×GL(2,𝔽3)C2211yescharacteristic
29C4⋊#226C2211yescharacteristic
30#5389C2212yes—
31#5388C2211yescharacteristic
32#5388C2212yes—
33#5388C2212yes—
34#5388C2212yes—
35C4×#226C2211yescharacteristic
36#5386C2211yescharacteristic
37#3482—31no—
38Q8×#41D311yescharacteristic, complemented
39#3398—31no—
40#3387—31no—
41#3374—31no—
42#3369—31no—
43#3344—32no—
44#3335—31no—
45#3316—32no—
46#3312—32no—
47#3299—31no—
48#3298—31no—
49D4×Q16—31no—
50#3270—32no—
51#3185—31no—
52#3181—32no—
53#3117—32no—
54#3116—31no—
55#3113—32no—
56#3113—31no—
57#2970—31no—
58C4×#137—31no—
59C2×#441—32no—
60C2×C3×#41—41no—
61C2×#237—41no—
62C22×SL(2,𝔽3)C2312yes—
63C22×SL(2,𝔽3)C2311yescharacteristic
64#983—22no—
65C2×GL(2,𝔽3)C2311yescharacteristic
66C2×#226—24no—
67C2×#226C2312yes—
68C2×#226C2311yescharacteristic
69#946—41no—
70#944—41no—
71#939—42no—
72#935—42no—
73D4×Dic3—41no—
74#929—42no—
75C4×#67—41no—
76#924—41no—
77C2×Dic3⋊C4—42no—
78C4×SL(2,𝔽3)C2311yescharacteristic
79C4×SL(2,𝔽3)C2311yescharacteristic
80C4×SL(2,𝔽3)C2312yes—
81#859C2312yes—
82#859C2311yescharacteristic
83#859C2311yescharacteristic
84C2×#137—31no—
85C22×Q16—32no—
86Q82C2×D311yescharacteristic
87#557—31no—
88#557—31no—
89#556—31no—
90#556—61no—
91#554—31no—
92#554—32no—
93#552—32no—
94#552—62no—
95D4×Q8—31no—
96D4×Q8C2×D312yes—
97D4×Q8C2×D311yescharacteristic
98#548—32no—
99#547—31no—
100#547—61no—
101#533—32no—
102#533—31no—
103#533—31no—
104#533—61no—
105#529—32no—
106#529—62no—
107C4×#41—31no—
108C4×#41—31no—
109C4×#41—61no—
110C2×C4×Q8—32no—
111C2×C4×Q8C2×D311yescharacteristic
112C2×C4×Q8C2×D312yes—
113#501—32no—
114#498—31no—
115#497—32no—
116#494—31no—
117#491—32no—
118#489—32no—
119#487—31no—
120#487—31no—
121#485—32no—
122#484—32no—
123#483—32no—
124#483—32no—
125#483—32no—
126#481—32no—
127#479—32no—
128#479—32no—
129#477—31no—
130#476—31no—
131#475—31no—
132#475—32no—
133#475—32no—
134#475—31no—
135#470—32no—
136#470—32no—
137#467—32no—
138#467—32no—
139#465—32no—
140#465—32no—
141#464—32no—
142#464—32no—
143#462—32no—
144#462—31no—
145#462—32no—
146#462—31no—
147#462—31no—
148#461—31no—
149#452—32no—
150#451—32no—
151#451—32no—
152#451—32no—
153#451—32no—
154#448—32no—
155#446—31no—
156#446—31no—
157#441—32no—
158#441—32no—
159#441—31no—
160#441—32no—
161#441—32no—
162#441—32no—
163#441—32no—
164#441—32no—
165#441—32no—
166#441—32no—
167#441—31no—
168#440—32no—
169#440—31no—
170#440—31no—
171C4×Q16—31no—
172C4×Q16—31no—
173C4×SD16—31no—
174C4×SD16—31no—
175#435—32no—
176#435—32no—
177C8×D4—31no—
178C8×D4—31no—
179#432—31no—
180#432—32no—
181#428—31no—
182C2×#106—32no—
183#419—31no—
184#417—31no—
185C2×#103—32no—
186C2×#103—32no—
187C4×M16—31no—
188C2×#97—32no—
189C3×#41—84no—
190C2×C3×Q8—41no—
191C2×C3×D4—41no—
192C2×C3×D4—42no—
193C22×C3×C4—42no—
194C22×C3×C4—41no—
195C2×#67—41no—
196C2×#67—42no—
197C22×Dic3—42no—
198C22×Dic3—42no—
199#237—84no—
200C2×C4×D3—41no—
201C2×Dic6—41no—
202C2×SL(2,𝔽3)—22no—
203C2×SL(2,𝔽3)—21no—
204C2×SL(2,𝔽3)C2411yescharacteristic
205GL(2,𝔽3)—21no—
206#226—22no—
207#226#4112yescomplemented
208#217—42no—
209#217—42no—
210#217—41no—
211(C2×D3)⋊C4—41no—
212(C2×D3)⋊C4—42no—
213C4⋊Dic3—41no—
214Dic3⋊C4—41no—
215Dic3⋊C4—42no—
216Dic3⋊C4—42no—
217Dic3⋊C4—42no—
218Dic3⋊C4—42no—
219C4×Dic3—41no—
220C2×#41—31no—
221C2×#41—61no—
222C2×#41S411yescharacteristic
223C22×Q8—32no—
224C22×Q8C22×D312yes—
225C22×Q8C22×D311yescharacteristic
226#137—62no—
227#137—62no—
228C2×Q16—31no—
229C2×Q16—32no—
230C2×Q16—32no—
231C2×Q16—31no—
232C2×Q16—32no—
233C2×Q16—32no—
234C2×Q16—32no—
235C2×Q16—64no—
236C2×Q16—64no—
237C2×SD16—31no—
238C2×SD16—31no—
239C2×SD16—32no—
240C2×M16—31no—
241C2×M16—31no—
242C22×C8—32no—
243C22×C8—32no—
244C4⋊Q8—32no—
245C4⋊Q8—31no—
246C4⋊Q8—31no—
247C4⋊Q8—31no—
248C4⋊Q8—32no—
249C4⋊Q8—31no—
250C4⋊Q8—61no—
251C4⋊Q8—61no—
252#126—62no—
253#126—62no—
254#126—62no—
255#125—32no—
256#125—61no—
257#125—62no—
258#125—61no—
259#125—62no—
260#125—62no—
261#124—32no—
262#124—62no—
263#123—62no—
264#123—62no—
265#123—62no—
266C22⋊Q8—32no—
267C22⋊Q8—32no—
268C22⋊Q8—32no—
269C22⋊Q8—32no—
270C22⋊Q8—32no—
271C22⋊Q8—62no—
272C22⋊Q8—61no—
273C22⋊Q8—62no—
274C22⋊Q8—61no—
275C22⋊Q8—62no—
276C22⋊Q8—61no—
277C22⋊Q8—61no—
278#121—32no—
279#121—62no—
280C4×Q8—31no—
281C4×Q8—31no—
282C4×Q8—31no—
283C4×Q8—32no—
284C4×Q8—31no—
285C4×Q8—32no—
286C4×Q8—31no—
287C4×Q8—32no—
288C4×Q8—32no—
289C4×Q8—32no—
290C4×Q8—31no—
291C4×Q8—61no—
292C4×Q8—62no—
293C4×Q8—62no—
294C4×Q8—61no—
295C4×Q8—61no—
296C4×Q8C22×D311yescharacteristic
297C4×Q8C22×D311yescharacteristic
298C4×Q8C22×D312yes—
299C4×D4—31no—
300C4×D4—32no—
301C4×D4—31no—
302C4×D4—32no—
303C4×D4—31no—
304C4×D4—31no—
305C4×D4—62no—
306C4×D4—61no—
307C4×D4—62no—
308C4×D4—61no—
309C4×D4—61no—
310#117—32no—
311#117—31no—
312#117—31no—
313#117—61no—
314#117—62no—
315#117—62no—
316#117—61no—
317#117—61no—
318C2×C4⋊C4—32no—
319C2×C4⋊C4—31no—
320C2×C4⋊C4—32no—
321C2×C4⋊C4—62no—
322C2×C42—32no—
323C2×C42—31no—
324C2×C42—61no—
325C2×C42—62no—
326#107—31no—
327#107—31no—
328#107—32no—
329#106—31no—
330#106—32no—
331#106—32no—
332#106—32no—
333#106—31no—
334#106—32no—
335#106—32no—
336C4⋊C8—31no—
337C4⋊C8—31no—
338C4⋊C8—32no—
339C4⋊C8—32no—
340#103—31no—
341#103—32no—
342#103—32no—
343#103—32no—
344#103—32no—
345#103—32no—
346#103—31no—
347#103—31no—
348#103—31no—
349#103—32no—
350#103—32no—
351#103—32no—
352#103—32no—
353#103—32no—
354#103—31no—
355#103—32no—
356#103—31no—
357#102—31no—
358#102—31no—
359#102—32no—
360C22⋊C8—32no—
361C22⋊C8—32no—
362C22⋊C8—32no—
363#97—31no—
364#97—32no—
365#97—32no—
366#97—32no—
367#97—31no—
368C4×C8—31no—
369C4×C8—31no—
370C23×C3—42no—
371C23×C3—41no—
372C22×D3—41no—
373C3×Q8—82no—
374C3×D4—44no—
375C3×D4—84no—
376C2×C3×C4—41no—
377C2×C3×C4—41no—
378C2×C3×C4—42no—
379C2×C3×C4—82no—
380C2×C3×C4—84no—
381#67—82no—
382#67—84no—
383C2×Dic3—41no—
384C2×Dic3—41no—
385C2×Dic3—42no—
386C2×Dic3—41no—
387C2×Dic3—42no—
388C2×Dic3—84no—
389C2×Dic3—84no—
390C4×D3—82no—
391Dic6—82no—
392SL(2,𝔽3)C2×#4111yescharacteristic
393#41—24no—
394#41—62no—
395#41—121no—
396#41—124no—
397C2×Q8—22no—
398C2×Q8—21no—
399C2×Q8—31no—
400C2×Q8—32no—
401C2×Q8—31no—
402C2×Q8—32no—
403C2×Q8—61no—
404C2×Q8—62no—
405C2×Q8—61no—
406C2×Q8—62no—
407C2×Q8—61no—
408C2×Q8—64no—
409C2×Q8—122no—
410C2×Q8C2×S411yescharacteristic
411C2×Q8C23×D311yescharacteristic
412C2×D4—31no—
413C2×D4—62no—
414C2×D4—61no—
415C2×D4C2×S412yes—
416C2×D4C2×S411yescharacteristic
417C22×C4—32no—
418C22×C4—31no—
419C22×C4—32no—
420C22×C4—31no—
421C22×C4—61no—
422C22×C4—61no—
423C22×C4—62no—
424C22×C4—62no—
425C22×C4—61no—
426C22×C4C2×S412yes—
427C22×C4C2×S411yescharacteristic
428Q16—32no—
429Q16—32no—
430Q16—64no—
431Q16—62no—
432Q16—64no—
433Q16—62no—
434Q16—62no—
435Q16—122no—
436Q16—122no—
437SD16—62no—
438SD16—61no—
439SD16—61no—
440SD16—122no—
441M16—62no—
442M16—121no—
443C2×C8—31no—
444C2×C8—31no—
445C2×C8—31no—
446C2×C8—31no—
447C2×C8—32no—
448C2×C8—32no—
449C2×C8—64no—
450C2×C8—122no—
451C4⋊C4—31no—
452C4⋊C4—32no—
453C4⋊C4—31no—
454C4⋊C4—31no—
455C4⋊C4—32no—
456C4⋊C4—31no—
457C4⋊C4—32no—
458C4⋊C4—31no—
459C4⋊C4—32no—
460C4⋊C4—31no—
461C4⋊C4—62no—
462C4⋊C4—61no—
463C4⋊C4—62no—
464C4⋊C4—61no—
465C4⋊C4—62no—
466C4⋊C4—61no—
467C4⋊C4—62no—
468C4⋊C4—62no—
469C4⋊C4—62no—
470C4⋊C4—61no—
471C4⋊C4—61no—
472C4⋊C4—61no—
473C4⋊C4—62no—
474C4⋊C4—62no—
475C4⋊C4—62no—
476C4⋊C4—61no—
477C4⋊C4—62no—
478C22⋊C4—32no—
479C22⋊C4—32no—
480C22⋊C4—32no—
481C22⋊C4—61no—
482C22⋊C4—62no—
483C22⋊C4—62no—
484C22⋊C4—61no—
485C22⋊C4—62no—
486C22⋊C4—62no—
487C22⋊C4—61no—
488C22⋊C4—62no—
489C42—31no—
490C42—31no—
491C42—32no—
492C42—31no—
493C42—31no—
494C42—32no—
495C42—32no—
496C42—61no—
497C42—61no—
498C42—62no—
499C42—62no—
500C42—62no—
501C42—61no—
502C22×C3—44no—
503C22×C3—41no—
504C22×C3—82no—
505C22×C3—82no—
506C22×C3—81no—
507C22×C3—81no—
508C22×C3—81no—
509C2×D3—81no—
510C2×D3—81no—
511C2×D3—81no—
512C3×C4—42no—
513C3×C4—81no—
514C3×C4—82no—
515Dic3—42no—
516Dic3—82no—
517Dic3—81no—
518Dic3—81no—
519Dic3—82no—
520C23—61no—
521C23C22×S411yescharacteristic
522C23C22×S412yes—
523Q8—22no—
524Q8—31no—
525Q8—32no—
526Q8—61no—
527Q8—62no—
528Q8—62no—
529Q8—61no—
530Q8—61no—
531Q8—62no—
532Q8—62no—
533Q8—124no—
534Q8—122no—
535Q8—241no—
536Q8D3×#4111yescharacteristic
537D4—24no—
538D4—61no—
539D4—61no—
540D4—122no—
541D4—124no—
542D4#98314yescomplemented
543C2×C4—24no—
544C2×C4—22no—
545C2×C4—31no—
546C2×C4—31no—
547C2×C4—32no—
548C2×C4—31no—
549C2×C4—31no—
550C2×C4—32no—
551C2×C4—62no—
552C2×C4—62no—
553C2×C4—61no—
554C2×C4—61no—
555C2×C4—61no—
556C2×C4—61no—
557C2×C4—61no—
558C2×C4—62no—
559C2×C4—62no—
560C2×C4—122no—
561C2×C4—121no—
562C2×C4—122no—
563C2×C4—124no—
564C2×C4—122no—
565C2×C4—124no—
566C2×C4—122no—
567C2×C4C22×S411yescharacteristic
568C2×C4C22×S412yes—
569C2×C4C22×S411yescharacteristic
570C8—32no—
571C8—62no—
572C8—61no—
573C8—62no—
574C8—61no—
575C8—61no—
576C2×C3—41no—
577C2×C3—41no—
578C2×C3—41no—
579C2×C3—84no—
580C2×C3—161no—
581D3—161no—
582C22—22no—
583C22—22no—
584C22—21no—
585C22—21no—
586C22—21no—
587C22—121no—
588C22—121no—
589C22—121no—
590C22C2×#98314yes—
591C22C23×S411yescharacteristic
592C4—21no—
593C4—22no—
594C4—31no—
595C4—31no—
596C4—61no—
597C4—62no—
598C4—62no—
599C4—61no—
600C4—62no—
601C4—61no—
602C4—121no—
603C4—122no—
604C4—122no—
605C4—121no—
606C4C2×#98312yes—
607C3—41noSylow
608C2—24no—
609C2—41no—
610C2—241no—
611C2C22×#98311yescharacteristic
612C2#41×S411yescharacteristic
613C2#8749911yescharacteristic
subgroupG/H
center, Frattini, socleC22C23×S4
commutator, cosocleC2×SL(2,𝔽3)C24
FittingQ8×#41D3
hypercenterC2×#41S4
hypocenterSL(2,𝔽3)C2×#41
LCSG ▷ C2×SL(2,𝔽3) ▷ SL(2,𝔽3)
UCSC1 ◁ C22 ◁ C2×#41

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

NH ≅ G/Ntype
1. #41×SL(2,𝔽3)C2semidirect
2. #85432C2semidirect
3. #85426C2semidirect
4. #85397C2semidirect
5. #85394C2semidirect
6. #85391C2semidirect
7. D4×#226C2semidirect
8. #85330C2semidirect
9. C4×#983C2semidirect
10. #85319C2semidirect
11. C2×#5388C2semidirect
38. Q8×#41D3semidirect
207. #226#41semidirect
542. D4#983semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroupindex
#41×SL(2,𝔽3)2
#854322
#854262
#853972
#853942
#853912
D4×#2262
#853302
C4×#9832
#853192
C2×#53882
#614573
#58244