Subgroups — #11740224

Order 896.

760 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 376 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₇×C₂²⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#6510	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#6509	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#6493	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×C₄×C₂²⋊D₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#6458	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#89764	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#89760	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₄⋊C₄×Dic₇	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#89732	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#89729	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂²×C₇×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×C₄×C₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₂²⋊D₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×C₂²⋊D₇	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×D₂₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×D₂₈	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×C₄×D₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₇×C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
20	C₂×C₇×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₇×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₇×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₂²⋊Dic₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#6510	—	2	4	no	—
25	#6509	—	2	4	no	—
26	#6493	—	2	4	no	—
27	C₄×C₂²⋊D₇	—	2	4	no	—
28	C₂×(C₂×D₇)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×(C₂×D₇)⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×(C₂×D₇)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×(C₂×D₇)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×(C₂×D₇)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×(C₂×D₇)⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×C₄⋊Dic₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×Dic₇⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×Dic₇⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×C₄×Dic₇	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×C₄×Dic₇	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#6458	—	2	4	no	—
40	C₇⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
41	#2540	—	7	1	no	maximal, Sylow
42	C₂⁴×C₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×D₇	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂³×D₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₇×Q₈	—	2	2	no	—
46	C₂×C₇×Q₈	—	2	2	no	—
47	C₂×C₇×Q₈	—	2	2	no	—
48	C₂²×C₄×C₇	—	2	2	no	—
49	C₂²×C₄×C₇	—	2	2	no	—
50	C₂²×C₄×C₇	—	2	2	no	—
51	C₂²×C₄×C₇	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄×C₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₄×C₇	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄×C₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₂²⋊D₇	—	2	2	no	—
56	C₂×C₂²⋊D₇	—	2	2	no	—
57	C₂×C₂²⋊D₇	—	2	4	no	—
58	C₂×C₂²⋊D₇	—	2	2	no	—
59	C₂×C₂²⋊D₇	—	2	4	no	—
60	C₂×C₂²⋊D₇	—	4	2	no	—
61	C₂²×Dic₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×Dic₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×Dic₇	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂²×Dic₇	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂×D₂₈	—	2	4	no	—
66	C₂×D₂₈	—	2	4	no	—
67	C₂×D₂₈	—	2	2	no	—
68	C₂×D₂₈	—	2	2	no	—
69	C₂×D₂₈	—	2	2	no	—
70	C₂×D₂₈	—	4	2	no	—
71	C₂×C₄×D₇	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄×D₇	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄×D₇	—	2	2	no	—
74	C₇×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
75	C₇×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	complemented
76	C₇×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
77	C₂²⋊Dic₇	—	2	2	no	—
78	(C₂×D₇)⋊C₄	—	2	4	no	—
79	(C₂×D₇)⋊C₄	—	2	2	no	—
80	(C₂×D₇)⋊C₄	—	2	4	no	—
81	(C₂×D₇)⋊C₄	—	2	4	no	—
82	(C₂×D₇)⋊C₄	—	2	4	no	—
83	(C₂×D₇)⋊C₄	—	2	4	no	—
84	C₄⋊Dic₇	D₄	1	4	yes	complemented
85	Dic₇⋊C₄	—	2	2	no	—
86	Dic₇⋊C₄	—	2	4	no	—
87	C₄×Dic₇	—	4	2	no	—
88	C₄×Dic₇	D₄	1	4	yes	complemented
89	C₂×#124	—	7	1	no	—
90	C₂×C₂²⋊Q₈	—	7	1	no	—
91	C₂×C₂²⋊Q₈	D₇	1	1	yes	characteristic, complemented
92	C₂×#121	—	7	1	no	—
93	C₂×#121	—	7	1	no	—
94	C₂×C₄×D₄	—	7	1	no	—
95	#399	—	7	2	no	—
96	#392	—	7	2	no	—
97	#390	—	7	2	no	—
98	#390	—	7	2	no	—
99	C₄×C₄⋊C₄	—	7	1	no	—
100	C₂³×C₇	—	2	1	no	—
101	C₂³×C₇	—	2	1	no	—
102	C₂³×C₇	—	2	1	no	—
103	C₂³×C₇	—	2	1	no	—
104	C₂³×C₇	—	2	1	no	—
105	C₂³×C₇	—	2	1	no	—
106	C₂³×C₇	#41	1	2	yes	—
107	C₂³×C₇	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
108	C₂²×D₇	—	2	1	no	—
109	C₂²×D₇	—	2	1	no	—
110	C₂²×D₇	—	2	1	no	—
111	C₂²×D₇	—	2	1	no	—
112	C₂²×D₇	—	2	1	no	—
113	C₂²×D₇	—	2	1	no	—
114	C₂²×D₇	—	2	2	no	—
115	C₂²×D₇	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₇	—	2	2	no	—
117	C₂²×D₇	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₇	—	2	2	no	—
119	C₂²×D₇	—	2	2	no	—
120	C₂²×D₇	—	2	2	no	—
121	C₂²×D₇	#41	1	2	yes	—
122	C₇×Q₈	—	4	4	no	—
123	C₂×C₄×C₇	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄×C₇	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄×C₇	—	2	1	no	—
126	C₂×C₄×C₇	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄×C₇	—	2	1	no	—
128	C₂×C₄×C₇	—	2	2	no	—
129	C₂×C₄×C₇	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄×C₇	—	2	1	no	—
131	C₂×C₄×C₇	—	4	4	no	—
132	C₂×C₄×C₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₄×C₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₄×C₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
135	C₂×C₄×C₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₂²⋊D₇	—	2	8	no	—
137	C₂²⋊D₇	—	4	8	no	—
138	C₂×Dic₇	—	2	1	no	—
139	C₂×Dic₇	—	2	2	no	—
140	C₂×Dic₇	—	2	1	no	—
141	C₂×Dic₇	—	2	1	no	—
142	C₂×Dic₇	—	2	2	no	—
143	C₂×Dic₇	—	2	1	no	—
144	C₂×Dic₇	—	2	1	no	—
145	C₂×Dic₇	—	2	1	no	—
146	C₂×Dic₇	—	2	1	no	—
147	C₂×Dic₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂×Dic₇	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂×Dic₇	C₂×D₄	1	4	yes	—
150	D₂₈	—	4	8	no	—
151	D₂₈	—	4	4	no	—
152	C₄×D₇	—	4	4	no	—
153	C₂²×Q₈	C₂×D₇	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×D₄	—	7	1	no	—
155	C₂²×D₄	—	7	2	no	—
156	C₂²×D₄	—	7	1	no	—
157	C₂²×D₄	—	7	2	no	—
158	C₂³×C₄	—	7	1	no	—
159	C₂³×C₄	C₂×D₇	1	1	yes	characteristic
160	#124	—	14	4	no	—
161	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
162	C₂²⋊Q₈	—	14	4	no	—
163	#121	—	14	4	no	—
164	#121	—	14	4	no	—
165	C₄×D₄	—	14	4	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	7	1	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	7	1	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	7	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₇	1	2	yes	—
170	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₇	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	7	1	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	7	1	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	7	2	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	7	2	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	7	2	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	7	2	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	7	2	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₇	1	2	yes	—
179	C₂×C₄²	—	7	1	no	—
180	C₂×C₄²	—	7	2	no	—
181	#95	—	7	2	no	—
182	C₂²×C₇	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₇	—	2	2	no	—
184	C₂²×C₇	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₇	—	4	1	no	—
186	C₂²×C₇	—	4	1	no	—
187	C₂²×C₇	—	4	1	no	—
188	C₂²×C₇	—	4	1	no	—
189	C₂²×C₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×C₇	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×C₇	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₇	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×C₇	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₇	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
196	C₂×D₇	—	2	2	no	—
197	C₂×D₇	—	2	2	no	—
198	C₂×D₇	—	2	2	no	—
199	C₂×D₇	—	4	1	no	—
200	C₂×D₇	—	4	1	no	—
201	C₂×D₇	—	4	1	no	—
202	C₂×D₇	—	4	1	no	—
203	C₂×D₇	—	4	2	no	—
204	C₂×D₇	—	4	2	no	—
205	C₂×D₇	—	4	2	no	—
206	C₂×D₇	—	4	2	no	—
207	C₂×D₇	—	4	2	no	—
208	C₂×D₇	—	4	2	no	—
209	C₂×D₇	—	4	2	no	—
210	C₄×C₇	—	2	4	no	—
211	C₄×C₇	—	4	1	no	—
212	C₄×C₇	—	4	2	no	—
213	C₄×C₇	#127	1	4	yes	—
214	Dic₇	—	2	2	no	—
215	Dic₇	—	2	2	no	—
216	Dic₇	—	2	4	no	—
217	Dic₇	—	4	1	no	—
218	C₂⁴	—	7	1	no	—
219	C₂⁴	—	7	2	no	—
220	C₂⁴	C₂²×D₇	1	1	yes	characteristic
221	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
224	C₂×D₄	—	14	4	no	—
225	C₂×D₄	—	14	2	no	—
226	C₂×D₄	—	14	4	no	—
227	C₂×D₄	—	14	2	no	—
228	C₂×D₄	—	14	2	no	—
229	C₂×D₄	—	14	4	no	—
230	C₂×D₄	—	14	2	no	—
231	C₂×D₄	—	14	2	no	—
232	C₂×D₄	—	14	4	no	—
233	C₂×D₄	—	14	2	no	—
234	C₂×D₄	—	28	2	no	—
235	C₂×D₄	—	28	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	7	1	no	—
240	C₂²×C₄	—	7	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	7	1	no	—
242	C₂²×C₄	—	7	1	no	—
243	C₂²×C₄	—	14	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	14	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	14	2	no	—
246	C₂²×C₄	C₂²×D₇	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂²×D₇	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂²×D₇	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂²×D₇	1	1	yes	characteristic
250	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
251	C₄⋊C₄	—	7	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	14	2	no	—
253	C₄⋊C₄	—	14	4	no	—
254	C₄⋊C₄	C₂²⋊D₇	1	4	yes	complemented
255	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	14	2	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	14	4	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	14	4	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	14	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	14	4	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	14	2	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	14	4	no	—
263	C₄²	—	7	4	no	—
264	C₄²	—	28	2	no	—
265	C₂×C₇	—	4	2	no	—
266	C₂×C₇	#525	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₇	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₇	#537	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₇	#546	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₇	#546	1	1	yes	characteristic
271	C₂×C₇	#548	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₇	#548	1	1	yes	characteristic
273	D₇	—	4	2	no	—
274	D₇	—	8	2	no	—
275	C₂³	—	2	1	no	—
276	C₂³	—	2	1	no	—
277	C₂³	—	2	1	no	—
278	C₂³	—	2	1	no	—
279	C₂³	—	2	1	no	—
280	C₂³	—	2	1	no	—
281	C₂³	—	7	2	no	—
282	C₂³	—	14	1	no	—
283	C₂³	—	14	1	no	—
284	C₂³	—	14	1	no	—
285	C₂³	—	14	1	no	—
286	C₂³	—	14	1	no	—
287	C₂³	—	14	1	no	—
288	C₂³	—	14	2	no	—
289	C₂³	—	14	2	no	—
290	C₂³	—	14	2	no	—
291	C₂³	—	14	2	no	—
292	C₂³	—	14	2	no	—
293	C₂³	—	14	2	no	—
294	C₂³	—	14	2	no	—
295	C₂³	#1161	1	2	yes	—
296	C₂³	C₂³×D₇	1	1	yes	characteristic
297	Q₈	—	4	4	no	—
298	D₄	—	14	8	no	—
299	D₄	—	28	8	no	—
300	D₄	—	28	8	no	—
301	D₄	—	28	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	1	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	1	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	1	no	—
310	C₂×C₄	—	4	4	no	—
311	C₂×C₄	—	7	2	no	—
312	C₂×C₄	—	7	2	no	—
313	C₂×C₄	—	7	4	no	—
314	C₂×C₄	—	14	1	no	—
315	C₂×C₄	—	14	2	no	—
316	C₂×C₄	—	14	1	no	—
317	C₂×C₄	—	14	1	no	—
318	C₂×C₄	—	14	1	no	—
319	C₂×C₄	—	14	2	no	—
320	C₂×C₄	—	14	1	no	—
321	C₂×C₄	—	14	1	no	—
322	C₂×C₄	—	14	1	no	—
323	C₂×C₄	—	28	4	no	—
324	C₂×C₄	D₄×D₇	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	D₄×D₇	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊D₇	1	4	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊D₇	1	2	yes	—
328	C₇	#2540	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
329	C₂²	—	2	2	no	—
330	C₂²	—	2	2	no	—
331	C₂²	—	2	2	no	—
332	C₂²	—	4	1	no	—
333	C₂²	—	4	1	no	—
334	C₂²	—	4	1	no	—
335	C₂²	—	4	1	no	—
336	C₂²	—	14	2	no	—
337	C₂²	—	14	2	no	—
338	C₂²	—	14	2	no	—
339	C₂²	—	28	1	no	—
340	C₂²	—	28	1	no	—
341	C₂²	—	28	1	no	—
342	C₂²	—	28	1	no	—
343	C₂²	—	28	2	no	—
344	C₂²	—	28	2	no	—
345	C₂²	—	28	2	no	—
346	C₂²	—	28	2	no	—
347	C₂²	—	28	2	no	—
348	C₂²	—	28	2	no	—
349	C₂²	—	28	2	no	—
350	C₂²	C₂×D₄×D₇	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	C₂×D₄×D₇	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	C₂×#1161	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	#6551	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	D₇×#41	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	#6553	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	C₂²×C₂²⋊D₇	1	1	yes	characteristic
357	C₄	—	2	4	no	—
358	C₄	—	4	1	no	—
359	C₄	—	4	2	no	—
360	C₄	—	14	2	no	—
361	C₄	—	14	2	no	—
362	C₄	—	14	4	no	—
363	C₄	—	28	1	no	—
364	C₄	#6503	1	4	yes	—
365	C₂	—	4	2	no	—
366	C₂	—	28	2	no	—
367	C₂	—	56	2	no	—
368	C₂	#90318	1	1	yes	characteristic
369	C₂	#90320	1	1	yes	characteristic
370	C₂	#90321	1	1	yes	characteristic
371	C₂	#90324	1	1	yes	characteristic
372	C₂	C₂×#6503	1	1	yes	characteristic
373	C₂	#90508	1	1	yes	characteristic
374	C₂	#90520	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂³	C₂³×D₇
commutator, socle, cosocle	C₂³×C₇	C₂⁴
Fitting	C₂×C₇×C₂²⋊Q₈	C₂
hypercenter	C₂×C₂²⋊Q₈	D₇
hypocenter	C₇	#2540
LCS	G ▷ C₂³×C₇ ▷ C₇
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₂²⋊Q₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×C₇×C₂²⋊Q₈	C₂	semidirect
2. C₂×#6510	C₂	semidirect
3. C₂×#6509	C₂	semidirect
4. C₂×#6493	C₂	semidirect
5. C₂×C₄×C₂²⋊D₇	C₂	semidirect
6. C₂×#6458	C₂	semidirect
7. #89764	C₂	semidirect
8. #89760	C₂	semidirect
9. C₄⋊C₄×Dic₇	C₂	semidirect
10. #89732	C₂	semidirect
11. #89729	C₂	semidirect
75. C₇×C₄⋊C₄	D₄	semidirect
84. C₄⋊Dic₇	D₄	semidirect
88. C₄×Dic₇	D₄	semidirect
91. C₂×C₂²⋊Q₈	D₇	semidirect
254. C₄⋊C₄	C₂²⋊D₇	semidirect
328. C₇	#2540	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₇×C₂²⋊Q₈	2
C₂×#6510	2
C₂×#6509	2
C₂×#6493	2
C₂×C₄×C₂²⋊D₇	2
C₂×#6458	2
#89764	2
#89760	2
C₄⋊C₄×Dic₇	2
#89732	2
#89729	2
#2540	7