Subgroups — #124×#168 #12107166

Order 1280.

974 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 368 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×C₅×#124	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×Q₈×#168	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×D₄×#168	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#10602427	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#10602407	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#10600244	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂²⋊C₄×#168	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10600185	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₄²×#168	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×C₅×#124	C₄	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄×C₅×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₄×C₅×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×#168	C₂²	1	2	yes	—
14	C₅×#391	C₄	1	1	yes	characteristic
15	C₅×#390	C₄	1	1	yes	characteristic
16	C₅×#388	C₄	1	4	yes	—
17	C₅×#382	C₄	1	1	yes	characteristic
18	C₄×C₅×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
19	C₄³×C₅	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₂²⋊#168	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₂²⋊#168	C₂²	1	4	yes	—
22	Q₈×#168	—	2	4	no	—
23	D₄×#168	—	2	4	no	—
24	C₂×C₄⋊#168	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₄⋊#168	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×C₄⋊#168	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×C₄×#168	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄×#168	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄×#168	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄×#168	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×C₄×#168	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#64744	C₂²	1	4	yes	—
33	#64744	C₂²	1	4	yes	—
34	C₈×#124	—	5	1	no	maximal, Sylow
35	C₂²×C₅×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×C₅×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×C₄×C₅	C₂³	1	2	yes	—
38	C₅×#124	C₈	1	8	yes	complemented
39	C₄×C₅×Q₈	—	2	2	no	—
40	C₄×C₅×Q₈	—	2	2	no	—
41	C₄×C₅×D₄	—	2	2	no	—
42	C₄×C₅×D₄	—	2	2	no	—
43	C₂×C₅×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₅×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₅×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂×C₅×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂×C₅×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂×C₅×C₂²⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
49	C₂×C₄²×C₅	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×C₄²×C₅	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₄²×C₅	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄²×C₅	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×C₄²×C₅	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×C₄²×C₅	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×#168	—	2	4	no	—
56	C₂²×#168	—	2	8	no	—
57	C₂²×#168	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×#168	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂²×#168	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×#168	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×#168	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₅×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	C₅×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₂²⋊#168	—	2	4	no	—
65	C₂²⋊#168	—	2	8	no	—
66	C₄⋊#168	—	2	2	no	—
67	C₄⋊#168	—	2	2	no	—
68	C₄⋊#168	—	2	4	no	—
69	C₄×#168	—	2	2	no	—
70	C₄×#168	—	2	4	no	—
71	C₄×#168	—	2	4	no	—
72	C₄×#168	—	2	4	no	—
73	C₄×#168	D₄	1	4	yes	—
74	C₂×C₈×Q₈	—	5	1	no	—
75	C₂×C₈×D₄	—	5	1	no	—
76	C₄×#124	D₅	1	1	yes	characteristic
77	#1984	—	5	1	no	—
78	#1954	—	5	1	no	—
79	#1923	—	5	4	no	—
80	#1831	—	5	1	no	—
81	C₈×C₂²⋊C₄	—	5	4	no	—
82	C₄²×C₈	—	5	1	no	—
83	C₂⁴×C₅	C₂²×C₄	1	2	yes	—
84	C₂×C₅×Q₈	—	2	2	no	—
85	C₂×C₅×Q₈	—	2	2	no	—
86	C₂×C₅×Q₈	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
87	C₂×C₅×D₄	—	2	2	no	—
88	C₂×C₅×D₄	—	2	2	no	—
89	C₂×C₅×D₄	C₂×C₈	1	4	yes	—
90	C₂²×C₄×C₅	—	2	2	no	—
91	C₂²×C₄×C₅	—	2	2	no	—
92	C₂²×C₄×C₅	—	2	4	no	—
93	C₂²×C₄×C₅	—	2	4	no	—
94	C₂²×C₄×C₅	C₂²×C₄	1	2	yes	—
95	C₂²×C₄×C₅	C₂²×C₄	1	2	yes	—
96	C₂²×C₄×C₅	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×C₄×C₅	C₂²×C₄	1	2	yes	—
98	C₂²×C₄×C₅	C₂²×C₄	1	2	yes	—
99	C₂²×C₄×C₅	C₂²×C₄	1	2	yes	—
100	C₂²×C₄×C₅	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×C₄×C₅	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
102	C₅×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
103	C₅×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
104	C₅×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
105	C₅×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
106	C₅×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
107	C₅×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	1	16	yes	complemented
108	C₄²×C₅	—	2	4	no	—
109	C₄²×C₅	—	2	2	no	—
110	C₄²×C₅	—	2	2	no	—
111	C₄²×C₅	—	2	2	no	—
112	C₄²×C₅	—	2	2	no	—
113	C₄²×C₅	—	2	2	no	—
114	C₄²×C₅	C₂×C₈	1	4	yes	complemented
115	C₄²×C₅	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	C₄²×C₅	#41	1	2	yes	—
117	C₂×#168	—	2	2	no	—
118	C₂×#168	—	2	2	no	—
119	C₂×#168	—	2	2	no	—
120	C₂×#168	—	2	2	no	—
121	C₂×#168	—	2	2	no	—
122	C₂×#168	—	2	4	no	—
123	C₂×#168	—	2	4	no	—
124	C₂×#168	—	4	8	no	—
125	C₂×#168	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂×#168	C₂×D₄	1	2	yes	—
127	C₂×#168	#41	1	4	yes	—
128	C₂×#168	#41	1	4	yes	—
129	C₂³×C₈	—	5	2	no	—
130	C₂×#124	Dic₅	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄×Q₈	C₂×D₅	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄×D₄	C₂×D₅	1	1	yes	characteristic
133	C₈×Q₈	—	10	4	no	—
134	C₈×D₄	—	10	4	no	—
135	C₂×C₄⋊C₈	—	5	1	no	—
136	C₂×C₄⋊C₈	—	5	1	no	—
137	C₂×C₄⋊C₈	—	5	2	no	—
138	C₂×C₂²⋊C₈	—	5	2	no	—
139	C₂×C₂²⋊C₈	—	5	4	no	—
140	C₂×C₄×C₈	—	5	1	no	—
141	C₂×C₄×C₈	—	5	2	no	—
142	C₂×C₄×C₈	—	5	2	no	—
143	C₂×C₄×C₈	—	5	1	no	—
144	C₂×C₄×C₈	—	5	2	no	—
145	#391	Dic₅	1	1	yes	characteristic
146	#390	Dic₅	1	1	yes	characteristic
147	#388	Dic₅	1	4	yes	—
148	#382	Dic₅	1	1	yes	characteristic
149	C₄×C₂²⋊C₄	C₂×D₅	1	4	yes	—
150	C₄³	C₂×D₅	1	1	yes	characteristic
151	#336	—	5	4	no	—
152	#336	—	5	4	no	—
153	C₂³×C₅	—	2	2	no	—
154	C₂³×C₅	—	2	4	no	—
155	C₂³×C₅	—	2	4	no	—
156	C₂³×C₅	—	2	2	no	—
157	C₂³×C₅	C₂²×C₈	1	4	yes	—
158	C₂³×C₅	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
159	C₅×Q₈	—	2	8	no	—
160	C₅×D₄	—	2	8	no	—
161	C₂×C₄×C₅	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄×C₅	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄×C₅	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄×C₅	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄×C₅	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄×C₅	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄×C₅	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄×C₅	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄×C₅	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄×C₅	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄×C₅	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄×C₅	—	4	2	no	—
173	C₂×C₄×C₅	—	4	4	no	—
174	C₂×C₄×C₅	—	4	2	no	—
175	C₂×C₄×C₅	C₄×D₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄×C₅	C₄×D₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄×C₅	C₂²×C₈	1	4	yes	—
178	C₂×C₄×C₅	C₂²×C₈	1	4	yes	—
179	C₂×C₄×C₅	C₂²×C₈	1	2	yes	—
180	C₂×C₄×C₅	#131	1	4	yes	—
181	C₂×C₄×C₅	#131	1	2	yes	—
182	C₂×C₄×C₅	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄×C₅	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₄×C₅	C₂×#41	1	2	yes	—
185	C₂×C₄×C₅	C₂×#41	1	2	yes	—
186	#168	—	2	4	no	—
187	#168	—	2	2	no	—
188	#168	—	4	2	no	—
189	#168	—	4	2	no	—
190	#168	#124	1	4	yes	direct product factor
191	C₂²×Q₈	C₂×Dic₅	1	1	yes	characteristic
192	C₂²×D₄	C₂×Dic₅	1	1	yes	characteristic
193	C₂³×C₄	C₂²×D₅	1	2	yes	—
194	C₂²×C₈	—	5	1	no	—
195	C₂²×C₈	—	5	2	no	—
196	C₂²×C₈	—	5	1	no	—
197	C₂²×C₈	—	5	2	no	—
198	C₂²×C₈	—	5	2	no	—
199	C₂²×C₈	—	10	4	no	—
200	C₂²×C₈	—	10	8	no	—
201	#124	#168	1	8	yes	direct product factor
202	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
203	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
204	C₄×D₄	—	2	2	no	—
205	C₄×D₄	—	2	2	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₅	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₅	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Dic₅	1	2	yes	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₅	1	2	yes	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₅	1	4	yes	—
211	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Dic₅	1	4	yes	—
212	C₂×C₄²	C₂×Dic₅	1	2	yes	—
213	C₂×C₄²	C₂×Dic₅	1	1	yes	characteristic
214	C₂×C₄²	C₂×Dic₅	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₄²	C₂²×D₅	1	2	yes	—
216	C₂×C₄²	C₂²×D₅	1	2	yes	—
217	C₂×C₄²	C₂²×D₅	1	1	yes	characteristic
218	C₄⋊C₈	—	10	4	no	—
219	C₄⋊C₈	—	10	2	no	—
220	C₄⋊C₈	—	10	2	no	—
221	C₂²⋊C₈	—	10	8	no	—
222	C₂²⋊C₈	—	10	4	no	—
223	C₄×C₈	—	5	4	no	—
224	C₄×C₈	—	10	4	no	—
225	C₄×C₈	—	10	4	no	—
226	C₄×C₈	—	10	4	no	—
227	C₄×C₈	—	10	2	no	—
228	#95	C₂×Dic₅	1	4	yes	—
229	#95	C₂×Dic₅	1	4	yes	—
230	C₂²×C₅	—	2	4	no	—
231	C₂²×C₅	—	2	8	no	—
232	C₂²×C₅	—	4	2	no	—
233	C₂²×C₅	—	4	4	no	—
234	C₂²×C₅	—	4	2	no	—
235	C₂²×C₅	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₅	C₄×#41	1	2	yes	—
237	C₂²×C₅	C₂³×C₈	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₅	C₂×#131	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₅	C₂×#131	1	2	yes	—
240	C₄×C₅	—	2	4	no	—
241	C₄×C₅	—	2	2	no	—
242	C₄×C₅	—	2	4	no	—
243	C₄×C₅	—	2	4	no	—
244	C₄×C₅	—	4	2	no	—
245	C₄×C₅	—	4	2	no	—
246	C₄×C₅	C₈×D₄	1	4	yes	—
247	C₄×C₅	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
248	C₄×C₅	#529	1	2	yes	—
249	C₄×C₅	#532	1	1	yes	characteristic
250	C₂⁴	C₂²×Dic₅	1	2	yes	—
251	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
252	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
253	C₂×Q₈	C₂×#168	1	4	yes	complemented
254	C₂×D₄	—	2	2	no	—
255	C₂×D₄	—	2	2	no	—
256	C₂×D₄	C₂×#168	1	4	yes	—
257	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂²×Dic₅	1	1	yes	characteristic
268	C₂²×C₄	C₂³×D₅	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₈	—	5	2	no	—
270	C₂×C₈	—	5	4	no	—
271	C₂×C₈	—	5	2	no	—
272	C₂×C₈	—	5	4	no	—
273	C₂×C₈	—	10	2	no	—
274	C₂×C₈	—	10	2	no	—
275	C₂×C₈	—	10	2	no	—
276	C₂×C₈	—	10	2	no	—
277	C₂×C₈	—	10	2	no	—
278	C₂×C₈	—	10	4	no	—
279	C₂×C₈	—	10	4	no	—
280	C₂×C₈	—	20	8	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
286	C₂²⋊C₄	C₂×#168	1	16	yes	complemented
287	C₄²	—	2	2	no	—
288	C₄²	—	2	2	no	—
289	C₄²	—	2	2	no	—
290	C₄²	—	2	2	no	—
291	C₄²	—	2	4	no	—
292	C₄²	—	2	2	no	—
293	C₄²	C₂×#168	1	4	yes	complemented
294	C₄²	D₄×D₅	1	2	yes	—
295	C₄²	#711	1	2	yes	—
296	C₂×C₅	—	4	4	no	—
297	C₂×C₅	C₄×#124	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₅	C₂×C₈×D₄	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₅	#2931	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₅	C₈×#41	1	2	yes	—
301	C₂×C₅	#2966	1	2	yes	—
302	C₂³	—	2	2	no	—
303	C₂³	—	2	4	no	—
304	C₂³	—	2	2	no	—
305	C₂³	—	2	4	no	—
306	C₂³	C₂²×#168	1	4	yes	—
307	C₂³	C₂³×Dic₅	1	1	yes	characteristic
308	Q₈	—	2	8	no	—
309	D₄	—	2	8	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	4	2	no	—
322	C₂×C₄	—	4	2	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	C₂²×#168	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	C₂²×#168	1	4	yes	—
326	C₂×C₄	C₂²×#168	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	D₄×Dic₅	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	D₄×Dic₅	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	#4094	1	4	yes	—
330	C₂×C₄	#4094	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂×#711	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	D₅×#41	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	D₅×#41	1	2	yes	—
335	C₈	—	5	4	no	—
336	C₈	—	10	2	no	—
337	C₈	—	10	4	no	—
338	C₈	—	20	2	no	—
339	C₈	—	20	2	no	—
340	C₅	C₈×#124	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
341	C₂²	—	2	4	no	—
342	C₂²	—	2	8	no	—
343	C₂²	—	4	4	no	—
344	C₂²	—	4	2	no	—
345	C₂²	—	4	2	no	—
346	C₂²	C₂³×#168	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	C₂×D₄×Dic₅	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	C₂×#4094	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	C₂×#4094	1	2	yes	—
350	C₂²	#41×Dic₅	1	2	yes	—
351	C₄	—	2	4	no	—
352	C₄	—	2	4	no	—
353	C₄	—	2	2	no	—
354	C₄	—	2	4	no	—
355	C₄	—	4	2	no	—
356	C₄	—	4	2	no	—
357	C₄	D₄×#168	1	4	yes	—
358	C₄	#66002	1	1	yes	characteristic
359	C₄	D₅×#124	1	1	yes	characteristic
360	C₄	#66014	1	2	yes	—
361	C₂	—	4	4	no	—
362	C₂	C₂×D₄×#168	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#41×#168	1	2	yes	—
364	C₂	Dic₅×#124	1	1	yes	characteristic
365	C₂	#10614857	1	2	yes	—
366	C₂	#10615006	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅
commutator	C₂²×C₅	C₂³×C₈
Fitting	C₄×C₅×#124	C₂
socle	C₂³×C₅	C₂³×C₄
prime radical	C₂²×C₅×D₄	C₂×C₄
cosocle	C₂²×C₄×C₅	C₂⁴
hypercenter	C₄×#124	D₅
hypocenter	C₅	C₈×#124
LCS	G ▷ C₂²×C₅ ▷ C₅
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₄×#124

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×Q₈×#168	C₂	semidirect
4. #10602427	C₂	semidirect
6. #10600244	C₂	semidirect
7. C₂²⋊C₄×#168	C₂	semidirect
8. #10600185	C₂	semidirect
9. C₄²×#168	C₂	semidirect
38. C₅×#124	C₈	semidirect
86. C₂×C₅×Q₈	C₂×C₈	semidirect
107. C₅×C₂²⋊C₄	C₂×C₈	semidirect
114. C₄²×C₅	C₂×C₈	semidirect
190. #168	#124	direct (N × H)
201. #124	#168	direct (N × H)
253. C₂×Q₈	C₂×#168	semidirect
286. C₂²⋊C₄	C₂×#168	semidirect
293. C₄²	C₂×#168	semidirect
340. C₅	C₈×#124	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×C₅×#124	2
C₂×Q₈×#168	2
C₂×D₄×#168	2
#10602427	2
#10602407	2
#10600244	2
C₂²⋊C₄×#168	2
#10600185	2
C₄²×#168	2
C₈×#124	5