Subgroups — C₂²×#66172 #13013124

Order 1280.

10774 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 370 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×C₅×2₋¹⁺⁴	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂²×#4150	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#66172	C₂	1	48	yes	maximal, direct product factor
4	C₂²×#4097	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
5	C₂²×#4096	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
6	C₂²×#4094	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂³×#689	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	C₂²×#4088	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
9	C₂×C₅×2₋¹⁺⁴	—	2	12	no	—
10	C₂×C₅×2₋¹⁺⁴	C₂²	1	24	yes	complemented
11	C₂²×C₅×#41	—	2	3	no	—
12	C₂²×C₅×#41	C₂²	1	3	yes	—
13	C₂²×C₅×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂³×C₅×Q₈	—	2	1	no	—
15	C₂³×C₅×Q₈	C₂²	1	3	yes	—
16	C₂×#4150	—	2	12	no	—
17	C₂×#4150	C₂²	1	24	yes	complemented
18	C₂²×Q₈×D₅	—	2	1	no	—
19	C₂²×#711	—	2	3	no	—
20	C₂²×#709	C₂²	1	3	yes	—
21	C₂³×Dic₁₀	C₂²	1	3	yes	—
22	#66172	C₂²	1	256	yes	direct product factor
23	C₂×#4097	C₂²	1	72	yes	complemented
24	C₂×#4096	C₂²	1	72	yes	complemented
25	C₂×#4094	C₂²	1	24	yes	complemented
26	C₂²×#689	C₂²	1	6	yes	—
27	C₂²×#689	C₂²	1	3	yes	—
28	C₂²×#689	C₂²	1	72	yes	complemented
29	C₂×#4088	C₂²	1	72	yes	complemented
30	C₂²×#688	C₂²	1	3	yes	—
31	C₂²×#687	C₂²	1	3	yes	—
32	C₂²×#686	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×#681	C₂²	1	3	yes	—
34	C₂³×#168	C₂²	1	3	yes	—
35	C₂²×#578	—	5	1	no	maximal, Sylow
36	C₅×2₋¹⁺⁴	—	2	96	no	—
37	C₅×2₋¹⁺⁴	C₂³	1	64	yes	complemented
38	C₂×C₅×#41	—	2	72	no	—
39	C₂×C₅×#41	—	2	18	no	—
40	C₂×C₅×#41	D₄	1	12	yes	—
41	C₂×C₅×#41	C₂³	1	36	yes	—
42	C₂×C₅×#41	C₂³	1	12	yes	—
43	C₂²×C₅×Q₈	—	2	24	no	—
44	C₂²×C₅×Q₈	—	2	3	no	—
45	C₂²×C₅×Q₈	—	2	18	no	—
46	C₂²×C₅×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₅×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
48	C₂²×C₅×Q₈	C₂³	1	36	yes	—
49	C₂²×C₅×D₄	—	2	3	no	—
50	C₂²×C₅×D₄	D₄	1	3	yes	—
51	C₂²×C₅×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂³×C₄×C₅	—	2	3	no	—
53	C₂³×C₄×C₅	—	2	3	no	—
54	C₂³×C₄×C₅	C₂³	1	3	yes	—
55	C₂²×C₂²⋊D₅	—	2	3	no	—
56	C₂³×Dic₅	—	2	3	no	—
57	#4150	—	2	96	no	—
58	#4150	C₂³	1	64	yes	complemented
59	C₂×Q₈×D₅	—	2	24	no	—
60	C₂×#711	—	2	72	no	—
61	C₂×#709	—	2	18	no	—
62	C₂×#709	C₂³	1	36	yes	—
63	C₂²×D₂₀	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×C₄×D₅	—	2	3	no	—
65	C₂²×Dic₁₀	—	2	3	no	—
66	C₂²×Dic₁₀	—	2	18	no	—
67	C₂²×Dic₁₀	C₂³	1	3	yes	—
68	C₂²×Dic₁₀	C₂³	1	36	yes	—
69	#4097	C₂³	1	192	yes	complemented
70	#4096	C₂³	1	192	yes	complemented
71	#4094	C₂³	1	64	yes	complemented
72	C₂×#689	C₂³	1	72	yes	—
73	C₂×#689	C₂³	1	36	yes	—
74	C₂×#689	C₂³	1	192	yes	complemented
75	#4088	C₂³	1	192	yes	complemented
76	C₂×#688	C₂³	1	36	yes	—
77	C₂×#687	C₂³	1	36	yes	—
78	C₂×#686	C₂³	1	12	yes	—
79	C₂×#681	C₂³	1	36	yes	—
80	C₂²×#168	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×#168	C₂³	1	3	yes	—
82	C₂²×#168	C₂³	1	36	yes	—
83	C₂²×2₋¹⁺⁴	—	5	1	no	—
84	C₂²×2₋¹⁺⁴	D₅	1	1	yes	characteristic, complemented
85	C₂×#578	—	5	48	no	—
86	C₂²×#137	—	5	3	no	—
87	C₂²×#137	—	5	3	no	—
88	C₂²×#135	—	5	3	no	—
89	C₂³×Q₁₆	—	5	3	no	—
90	C₂²×#131	—	5	1	no	—
91	C₂⁴×C₅	—	2	1	no	—
92	C₂⁴×C₅	C₂×D₄	1	3	yes	—
93	C₂³×D₅	—	2	1	no	—
94	C₅×#41	—	2	192	no	—
95	C₅×#41	—	2	72	no	—
96	C₅×#41	C₂×D₄	1	48	yes	—
97	C₅×#41	C₂⁴	1	48	yes	—
98	C₅×#41	C₂⁴	1	16	yes	—
99	C₂×C₅×Q₈	—	2	64	no	—
100	C₂×C₅×Q₈	—	2	9	no	—
101	C₂×C₅×Q₈	—	2	36	no	—
102	C₂×C₅×Q₈	—	2	72	no	—
103	C₂×C₅×Q₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
104	C₂×C₅×Q₈	C₂⁴	1	18	yes	—
105	C₂×C₅×Q₈	C₂⁴	1	48	yes	—
106	C₂×C₅×D₄	—	2	36	no	—
107	C₂×C₅×D₄	—	2	3	no	—
108	C₂×C₅×D₄	C₂×D₄	1	36	yes	—
109	C₂×C₅×D₄	C₂⁴	1	6	yes	—
110	C₂²×C₄×C₅	—	2	3	no	—
111	C₂²×C₄×C₅	—	2	36	no	—
112	C₂²×C₄×C₅	—	2	36	no	—
113	C₂²×C₄×C₅	C₂×D₄	1	3	yes	—
114	C₂²×C₄×C₅	C₂×D₄	1	18	yes	—
115	C₂²×C₄×C₅	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×C₄×C₅	C₂⁴	1	18	yes	—
117	C₂×C₂²⋊D₅	—	2	36	no	—
118	C₂²×Dic₅	—	2	3	no	—
119	C₂²×Dic₅	—	2	36	no	—
120	Q₈×D₅	—	2	64	no	—
121	#711	—	2	192	no	—
122	#709	—	2	72	no	—
123	#709	C₂⁴	1	48	yes	—
124	C₂×D₂₀	—	2	3	no	—
125	C₂×D₂₀	C₂⁴	1	6	yes	—
126	C₂×C₄×D₅	—	2	36	no	—
127	C₂×Dic₁₀	—	2	9	no	—
128	C₂×Dic₁₀	—	2	36	no	—
129	C₂×Dic₁₀	—	2	72	no	—
130	C₂×Dic₁₀	C₂⁴	1	48	yes	—
131	C₂×Dic₁₀	C₂⁴	1	18	yes	—
132	#689	C₂⁴	1	48	yes	—
133	#689	C₂⁴	1	96	yes	—
134	#688	C₂⁴	1	48	yes	—
135	#687	C₂⁴	1	48	yes	—
136	#686	C₂⁴	1	16	yes	—
137	#681	C₂⁴	1	48	yes	—
138	C₂×#168	C₂⁴	1	48	yes	—
139	C₂×#168	C₂⁴	1	6	yes	—
140	C₂×#168	C₂⁴	1	18	yes	—
141	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	12	no	—
142	C₂×2₋¹⁺⁴	—	5	24	no	—
143	C₂×2₋¹⁺⁴	—	10	12	no	—
144	C₂×2₋¹⁺⁴	C₂×D₅	1	24	yes	complemented
145	C₂²×#41	—	2	3	no	—
146	C₂²×#41	—	5	3	no	—
147	C₂²×#41	—	10	3	no	—
148	C₂²×#41	C₂×D₅	1	3	yes	—
149	C₂²×#41	C₂×D₅	1	1	yes	characteristic
150	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
151	C₂³×Q₈	—	5	3	no	—
152	C₂³×Q₈	—	10	1	no	—
153	C₂³×Q₈	C₂×D₅	1	3	yes	—
154	#578	—	5	256	no	—
155	C₂×#137	—	5	72	no	—
156	C₂×#137	—	5	72	no	—
157	C₂×#135	—	5	72	no	—
158	C₂²×Q₁₆	—	5	3	no	—
159	C₂²×Q₁₆	—	5	6	no	—
160	C₂²×Q₁₆	—	5	72	no	—
161	C₂²×SD₁₆	—	5	3	no	—
162	C₂²×SD₁₆	—	5	3	no	—
163	C₂²×D₈	—	5	1	no	—
164	C₂×#131	—	5	24	no	—
165	C₂²×M₁₆	—	5	3	no	—
166	C₂³×C₈	—	5	3	no	—
167	C₂³×C₅	—	2	12	no	—
168	C₂³×C₅	—	2	6	no	—
169	C₂³×C₅	—	4	4	no	—
170	C₂³×C₅	C₂²×D₄	1	18	yes	—
171	C₂³×C₅	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
172	C₂²×D₅	—	2	6	no	—
173	C₂²×D₅	—	4	4	no	—
174	C₅×Q₈	—	2	18	no	—
175	C₅×Q₈	—	2	48	no	—
176	C₅×Q₈	C₂²×D₄	1	16	yes	—
177	C₅×Q₈	C₂⁵	1	12	yes	—
178	C₅×D₄	—	2	48	no	—
179	C₅×D₄	—	2	6	no	—
180	C₅×D₄	C₂²×D₄	1	48	yes	—
181	C₅×D₄	C₂⁵	1	4	yes	—
182	C₂×C₄×C₅	—	2	18	no	—
183	C₂×C₄×C₅	—	2	48	no	—
184	C₂×C₄×C₅	—	2	48	no	—
185	C₂×C₄×C₅	C₂²×D₄	1	3	yes	—
186	C₂×C₄×C₅	C₂²×D₄	1	18	yes	—
187	C₂×C₄×C₅	C₂²×D₄	1	36	yes	—
188	C₂×C₄×C₅	C₂⁵	1	3	yes	—
189	C₂×C₄×C₅	C₂⁵	1	12	yes	—
190	C₂²⋊D₅	—	2	48	no	—
191	C₂×Dic₅	—	2	18	no	—
192	C₂×Dic₅	—	2	48	no	—
193	D₂₀	—	2	6	no	—
194	D₂₀	C₂⁵	1	4	yes	—
195	C₄×D₅	—	2	48	no	—
196	Dic₁₀	—	2	18	no	—
197	Dic₁₀	—	2	48	no	—
198	Dic₁₀	C₂⁵	1	12	yes	—
199	#168	C₂⁵	1	4	yes	—
200	#168	C₂⁵	1	12	yes	—
201	2₋¹⁺⁴	—	2	96	no	—
202	2₋¹⁺⁴	—	5	64	no	—
203	2₋¹⁺⁴	—	10	96	no	—
204	2₋¹⁺⁴	C₂²×D₅	1	64	yes	complemented
205	C₂×#41	—	2	72	no	—
206	C₂×#41	—	2	18	no	—
207	C₂×#41	—	5	36	no	—
208	C₂×#41	—	10	72	no	—
209	C₂×#41	—	10	18	no	—
210	C₂×#41	C₂²⋊D₅	1	12	yes	—
211	C₂×#41	C₂²×D₅	1	36	yes	—
212	C₂×#41	C₂²×D₅	1	12	yes	—
213	C₂²×Q₈	—	2	24	no	—
214	C₂²×Q₈	—	2	3	no	—
215	C₂²×Q₈	—	2	18	no	—
216	C₂²×Q₈	—	5	3	no	—
217	C₂²×Q₈	—	5	36	no	—
218	C₂²×Q₈	—	10	24	no	—
219	C₂²×Q₈	—	10	3	no	—
220	C₂²×Q₈	—	10	18	no	—
221	C₂²×Q₈	C₂²⋊D₅	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×Q₈	C₂²×D₅	1	3	yes	—
223	C₂²×Q₈	C₂²×D₅	1	36	yes	—
224	C₂²×D₄	—	2	3	no	—
225	C₂²×D₄	—	5	1	no	—
226	C₂²×D₄	—	10	3	no	—
227	C₂²×D₄	C₂²⋊D₅	1	3	yes	—
228	C₂²×D₄	C₂²×D₅	1	1	yes	characteristic
229	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
230	C₂³×C₄	—	2	3	no	—
231	C₂³×C₄	—	10	3	no	—
232	C₂³×C₄	—	10	3	no	—
233	C₂³×C₄	C₂²×D₅	1	3	yes	—
234	#137	—	5	192	no	—
235	#137	—	5	192	no	—
236	#135	—	5	192	no	—
237	C₂×Q₁₆	—	5	36	no	—
238	C₂×Q₁₆	—	5	72	no	—
239	C₂×Q₁₆	—	5	192	no	—
240	C₂×SD₁₆	—	5	36	no	—
241	C₂×SD₁₆	—	5	36	no	—
242	C₂×D₈	—	5	12	no	—
243	#131	—	5	64	no	—
244	C₂×M₁₆	—	5	36	no	—
245	C₂²×C₈	—	5	1	no	—
246	C₂²×C₈	—	5	3	no	—
247	C₂²×C₈	—	5	36	no	—
248	C₂²×C₅	—	2	36	no	—
249	C₂²×C₅	—	2	4	no	—
250	C₂²×C₅	—	4	12	no	—
251	C₂²×C₅	#578	1	4	yes	complemented
252	C₂²×C₅	C₂³×D₄	1	12	yes	—
253	C₂²×C₅	C₂³×D₄	1	3	yes	—
254	C₂×D₅	—	2	4	no	—
255	C₂×D₅	—	4	12	no	—
256	C₄×C₅	—	2	12	no	—
257	C₄×C₅	C₂³×D₄	1	3	yes	—
258	C₄×C₅	C₂³×D₄	1	12	yes	—
259	C₄×C₅	C₂⁶	1	1	yes	characteristic
260	Dic₅	—	2	12	no	—
261	C₂⁴	—	2	1	no	—
262	C₂⁴	—	10	1	no	—
263	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅	1	3	yes	—
264	#41	—	2	192	no	—
265	#41	—	2	72	no	—
266	#41	—	5	48	no	—
267	#41	—	10	192	no	—
268	#41	—	10	72	no	—
269	#41	C₂×C₂²⋊D₅	1	48	yes	—
270	#41	C₂³×D₅	1	48	yes	—
271	#41	C₂³×D₅	1	16	yes	—
272	C₂×Q₈	—	2	64	no	—
273	C₂×Q₈	—	2	36	no	—
274	C₂×Q₈	—	2	9	no	—
275	C₂×Q₈	—	2	72	no	—
276	C₂×Q₈	—	5	18	no	—
277	C₂×Q₈	—	5	48	no	—
278	C₂×Q₈	—	10	64	no	—
279	C₂×Q₈	—	10	36	no	—
280	C₂×Q₈	—	10	9	no	—
281	C₂×Q₈	—	10	72	no	—
282	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊D₅	1	12	yes	—
283	C₂×Q₈	C₂³×D₅	1	18	yes	—
284	C₂×Q₈	C₂³×D₅	1	48	yes	—
285	C₂×D₄	—	2	36	no	—
286	C₂×D₄	—	2	3	no	—
287	C₂×D₄	—	5	6	no	—
288	C₂×D₄	—	10	36	no	—
289	C₂×D₄	—	10	3	no	—
290	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊D₅	1	36	yes	—
291	C₂×D₄	C₂³×D₅	1	6	yes	—
292	C₂²×C₄	—	2	36	no	—
293	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
294	C₂²×C₄	—	2	36	no	—
295	C₂²×C₄	—	10	36	no	—
296	C₂²×C₄	—	10	3	no	—
297	C₂²×C₄	—	10	36	no	—
298	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅	1	18	yes	—
299	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅	1	3	yes	—
300	C₂²×C₄	C₂³×D₅	1	18	yes	—
301	C₂²×C₄	C₂³×D₅	1	1	yes	characteristic
302	Q₁₆	—	5	48	no	—
303	Q₁₆	—	5	96	no	—
304	SD₁₆	—	5	48	no	—
305	SD₁₆	—	5	48	no	—
306	D₈	—	5	16	no	—
307	M₁₆	—	5	48	no	—
308	C₂×C₈	—	5	6	no	—
309	C₂×C₈	—	5	18	no	—
310	C₂×C₈	—	5	48	no	—
311	C₂×C₅	—	2	12	no	—
312	C₂×C₅	—	4	4	no	—
313	C₂×C₅	C₂×#578	1	6	yes	complemented
314	C₂×C₅	C₂⁴×D₄	1	1	yes	characteristic
315	D₅	—	4	4	no	—
316	C₂³	—	2	12	no	—
317	C₂³	—	2	6	no	—
318	C₂³	—	4	4	no	—
319	C₂³	—	10	6	no	—
320	C₂³	—	20	4	no	—
321	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅	1	18	yes	—
322	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅	1	1	yes	characteristic
323	Q₈	—	2	48	no	—
324	Q₈	—	2	18	no	—
325	Q₈	—	5	12	no	—
326	Q₈	—	10	48	no	—
327	Q₈	—	10	18	no	—
328	Q₈	C₂²×C₂²⋊D₅	1	16	yes	—
329	Q₈	C₂⁴×D₅	1	12	yes	—
330	D₄	—	2	48	no	—
331	D₄	—	2	6	no	—
332	D₄	—	5	4	no	—
333	D₄	—	10	48	no	—
334	D₄	—	10	6	no	—
335	D₄	C₂²×C₂²⋊D₅	1	48	yes	—
336	D₄	C₂⁴×D₅	1	4	yes	—
337	C₂×C₄	—	2	18	no	—
338	C₂×C₄	—	2	48	no	—
339	C₂×C₄	—	2	48	no	—
340	C₂×C₄	—	10	18	no	—
341	C₂×C₄	—	10	48	no	—
342	C₂×C₄	—	10	48	no	—
343	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅	1	18	yes	—
344	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅	1	3	yes	—
345	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅	1	36	yes	—
346	C₂×C₄	C₂⁴×D₅	1	3	yes	—
347	C₂×C₄	C₂⁴×D₅	1	12	yes	—
348	C₈	—	5	4	no	—
349	C₈	—	5	12	no	—
350	C₅	C₂²×#578	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
351	C₂²	—	2	36	no	—
352	C₂²	—	2	4	no	—
353	C₂²	—	4	12	no	—
354	C₂²	—	10	4	no	—
355	C₂²	—	20	12	no	—
356	C₂²	#66172	1	4	yes	direct product factor
357	C₂²	C₂³×C₂²⋊D₅	1	12	yes	—
358	C₂²	C₂³×C₂²⋊D₅	1	3	yes	—
359	C₄	—	2	12	no	—
360	C₄	—	10	12	no	—
361	C₄	C₂³×C₂²⋊D₅	1	12	yes	—
362	C₄	C₂³×C₂²⋊D₅	1	3	yes	—
363	C₄	C₂⁵×D₅	1	1	yes	characteristic
364	C₂	—	2	12	no	—
365	C₂	—	4	4	no	—
366	C₂	—	20	4	no	—
367	C₂	C₂×#66172	1	6	yes	direct product factor
368	C₂	C₂⁴×C₂²⋊D₅	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅
commutator, cosocle	C₄×C₅	C₂⁶
Frattini	C₄	C₂⁵×D₅
Fitting	C₂²×C₅×2₋¹⁺⁴	C₂
socle	C₂³×C₅	C₂²×D₄
hypercenter	C₂²×2₋¹⁺⁴	D₅
hypocenter	C₅	C₂²×#578
LCS	G ▷ C₄×C₅ ▷ C₂×C₅ ▷ C₅
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×#41 ◁ C₂²×2₋¹⁺⁴

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×C₅×2₋¹⁺⁴	C₂	semidirect
2. C₂²×#4150	C₂	semidirect
3. C₂×#66172	C₂	direct (N × H)
4. C₂²×#4097	C₂	semidirect
5. C₂²×#4096	C₂	semidirect
6. C₂²×#4094	C₂	semidirect
7. C₂³×#689	C₂	semidirect
8. C₂²×#4088	C₂	semidirect
10. C₂×C₅×2₋¹⁺⁴	C₂²	semidirect
17. C₂×#4150	C₂²	semidirect
22. #66172	C₂²	direct (N × H)
23. C₂×#4097	C₂²	semidirect
24. C₂×#4096	C₂²	semidirect
25. C₂×#4094	C₂²	semidirect
28. C₂²×#689	C₂²	semidirect
29. C₂×#4088	C₂²	semidirect
37. C₅×2₋¹⁺⁴	C₂³	semidirect
58. #4150	C₂³	semidirect
69. #4097	C₂³	semidirect
70. #4096	C₂³	semidirect
71. #4094	C₂³	semidirect
74. C₂×#689	C₂³	semidirect
75. #4088	C₂³	semidirect
84. C₂²×2₋¹⁺⁴	D₅	semidirect
144. C₂×2₋¹⁺⁴	C₂×D₅	semidirect
204. 2₋¹⁺⁴	C₂²×D₅	semidirect
251. C₂²×C₅	#578	semidirect
313. C₂×C₅	C₂×#578	semidirect
350. C₅	C₂²×#578	semidirect
356. C₂²	#66172	direct (N × H)
367. C₂	C₂×#66172	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×C₅×2₋¹⁺⁴	2
C₂²×#4150	2
C₂×#66172	2
C₂²×#4097	2
C₂²×#4096	2
C₂²×#4094	2
C₂³×#689	2
C₂²×#4088	2
C₂²×#578	5

Subgroups — C22×#66172 #13013124

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#66172 #13013124