Group #13020929 — subgroups

Subgroups — #13020929

Order 1280.

726 conjugacy classes of subgroups; only the 132 normal subgroups are shown.

normal subgroups only

This group has 726 conjugacy classes of subgroups — too many to draw. Only its 132 normal subgroups are shown.

Dotted edges: containments with no intermediate normal subgroup — omitted non-normal subgroups may lie between.

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	Dic₅×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×D₄⋊#170	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#10604187	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₄×#4002	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×C₅×#127	C₄	1	1	yes	characteristic
6	C₂×D₄×Dic₅	—	2	2	no	—
7	C₂×D₄×Dic₅	C₂²	1	2	yes	—
8	C₂×#4002	—	2	2	no	—
9	C₂×C₄⋊#170	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×C₄×#170	C₂²	1	2	yes	—
11	#65510	—	2	2	no	—
12	#65510	C₄	1	2	yes	—
13	#65224	C₄	1	1	yes	characteristic
14	C₄²×Dic₅	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	D₄⋊#170	—	2	8	no	—
16	#64918	—	2	2	no	—
17	#9648	—	5	1	no	maximal, Sylow
18	C₂²×C₅×D₄	—	2	2	no	—
19	C₂²×C₅×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
20	C₂³×Dic₅	—	2	2	no	—
21	C₂²×#170	—	2	2	no	—
22	C₂²×#170	—	2	2	no	—
23	C₅×#127	—	2	4	no	—
24	C₂×C₄²×C₅	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₂²⋊Dic₅	—	2	4	no	—
26	C₂×C₂²⋊Dic₅	—	2	2	no	—
27	D₄×Dic₅	—	2	4	no	—
28	D₄×Dic₅	—	2	4	no	—
29	D₄×Dic₅	—	4	8	no	—
30	C₂×C₄⋊Dic₅	—	2	2	no	—
31	C₂×C₄⋊Dic₅	C₂×C₄	1	2	yes	—
32	C₂×C₄×Dic₅	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
33	C₂×C₄×Dic₅	D₄	1	2	yes	—
34	C₂×C₄×Dic₅	D₄	1	2	yes	—
35	C₂×C₄×Dic₅	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	#4002	—	2	8	no	—
37	C₄⋊#170	—	2	4	no	—
38	C₄×#170	—	2	2	no	—
39	C₄×#170	D₄	1	4	yes	complemented
40	C₄×#127	—	5	1	no	—
41	#1831	—	5	1	no	—
42	C₄×#97	—	5	1	no	—
43	C₂×D₄⋊C₈	—	5	4	no	—
44	C₂⁴×C₅	—	2	2	no	—
45	C₂×C₅×D₄	—	2	8	no	—
46	C₂×C₅×D₄	—	2	4	no	—
47	C₂×C₅×D₄	—	2	2	no	—
48	C₂×C₅×D₄	—	2	4	no	—
49	C₂×C₅×D₄	—	4	4	no	—
50	C₂×C₅×D₄	—	4	4	no	—
51	C₂×C₅×D₄	M₁₆	1	4	yes	—
52	C₂²×C₄×C₅	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄×C₅	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×Dic₅	—	2	2	no	—
55	C₂²×Dic₅	—	4	2	no	—
56	C₂²×Dic₅	—	4	2	no	—
57	C₂²×Dic₅	—	4	8	no	—
58	C₂²×Dic₅	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
59	C₂²×Dic₅	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×Dic₅	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×#170	—	2	8	no	—
62	C₂×#170	—	2	4	no	—
63	C₂×#170	—	4	2	no	—
64	C₂×#170	—	4	4	no	—
65	C₄²×C₅	—	2	2	no	—
66	C₂²⋊Dic₅	—	4	8	no	—
67	C₂²⋊Dic₅	—	4	4	no	—
68	C₄⋊Dic₅	—	2	4	no	—
69	C₄⋊Dic₅	—	4	4	no	—
70	C₄×Dic₅	—	2	4	no	—
71	C₄×Dic₅	—	2	2	no	—
72	C₄×Dic₅	—	2	4	no	—
73	C₄×Dic₅	C₂×D₄	1	2	yes	—
74	C₄×Dic₅	#41	1	2	yes	—
75	C₂×#127	AGL(1,𝔽₅)	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄×D₄	—	5	2	no	—
77	C₂×C₄×D₄	—	10	2	no	—
78	C₂×C₄⋊C₈	—	5	2	no	—
79	C₂×#97	—	10	2	no	—
80	C₂×C₄×C₈	—	5	2	no	—
81	#390	—	5	2	no	—
82	#390	—	10	2	no	—
83	#384	—	5	1	no	—
84	C₄³	—	5	1	no	—
85	#336	—	10	2	no	—
86	D₄⋊C₈	—	10	8	no	—
87	C₂³×C₅	—	2	4	no	—
88	C₂³×C₅	—	4	2	no	—
89	C₂³×C₅	—	4	2	no	—
90	C₂³×C₅	—	4	4	no	—
91	C₂³×C₅	—	4	4	no	—
92	C₂³×C₅	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
93	C₅×D₄	—	2	8	no	—
94	C₅×D₄	—	4	16	no	—
95	C₅×D₄	—	4	4	no	—
96	C₂×C₄×C₅	—	2	2	no	—
97	C₂×C₄×C₅	—	2	2	no	—
98	C₂×C₄×C₅	#104	1	4	yes	—
99	C₂×C₄×C₅	C₄×D₄	1	2	yes	—
100	C₂×C₄×C₅	C₂×M₁₆	1	2	yes	—
101	C₂×C₄×C₅	#131	1	2	yes	—
102	C₂×Dic₅	—	2	2	no	—
103	C₂×Dic₅	—	2	2	no	—
104	C₂×Dic₅	—	2	2	no	—
105	C₂×Dic₅	—	2	2	no	—
106	C₂×Dic₅	—	4	2	no	—
107	C₂×Dic₅	—	4	4	no	—
108	C₂×Dic₅	—	8	4	no	—
109	C₂×Dic₅	—	8	4	no	—
110	C₂×Dic₅	#121	1	2	yes	—
111	C₂×Dic₅	#124	1	1	yes	characteristic
112	C₂×Dic₅	#127	1	1	yes	characteristic
113	C₂×Dic₅	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
114	#170	—	2	8	no	—
115	#170	—	8	2	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×D₄	C₂×AGL(1,𝔽₅)	1	2	yes	—
118	C₂³×C₄	—	10	2	no	—
119	C₂²×C₈	—	10	2	no	—
120	C₂²×C₈	—	10	2	no	—
121	#127	—	2	4	no	—
122	C₄×D₄	—	10	4	no	—
123	C₄×D₄	—	10	4	no	—
124	C₄×D₄	—	20	8	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	5	2	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	10	2	no	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	—	10	2	no	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	—	10	4	no	—
129	C₂×C₄²	—	5	1	no	—
130	C₂×C₄²	—	5	2	no	—
131	C₂×C₄²	—	5	2	no	—
132	C₂×C₄²	—	5	1	no	—
133	C₂×C₄²	C₂×AGL(1,𝔽₅)	1	1	yes	characteristic
134	C₄⋊C₈	—	10	4	no	—
135	#97	—	10	8	no	—
136	C₄×C₈	—	5	4	no	—
137	C₄×C₈	—	10	2	no	—
138	C₂²×C₅	—	4	4	no	—
139	C₂²×C₅	—	4	8	no	—
140	C₂²×C₅	—	8	2	no	—
141	C₂²×C₅	—	8	2	no	—
142	C₂²×C₅	—	8	4	no	—
143	C₂²×C₅	#390	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₅	#407	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₅	#408	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₅	#418	1	2	yes	—
147	C₂²×C₅	C₂×#104	1	2	yes	—
148	C₄×C₅	—	2	4	no	—
149	C₄×C₅	#435	1	4	yes	—
150	Dic₅	—	2	2	no	—
151	Dic₅	—	4	2	no	—
152	Dic₅	—	8	2	no	—
153	Dic₅	#490	1	2	yes	—
154	Dic₅	#496	1	2	yes	—
155	C₂⁴	—	2	2	no	—
156	C₂×D₄	—	2	8	no	—
157	C₂×D₄	—	2	4	no	—
158	C₂×D₄	—	2	4	no	—
159	C₂×D₄	—	2	2	no	—
160	C₂×D₄	—	4	4	no	—
161	C₂×D₄	—	4	4	no	—
162	C₂×D₄	#704	1	4	yes	—
163	C₂²×C₄	—	5	1	no	—
164	C₂²×C₄	—	5	1	no	—
165	C₂²×C₄	—	5	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	10	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	20	2	no	—
168	C₂²×C₄	—	20	2	no	—
169	C₂²×C₄	—	20	8	no	—
170	C₂²×C₄	C₂²⋊AGL(1,𝔽₅)	1	2	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂²×AGL(1,𝔽₅)	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₈	—	10	4	no	—
173	C₂×C₈	—	10	8	no	—
174	C₂×C₈	—	20	2	no	—
175	C₂×C₈	—	20	4	no	—
176	C₄⋊C₄	—	10	4	no	—
177	C₄⋊C₄	—	20	4	no	—
178	C₂²⋊C₄	—	20	4	no	—
179	C₂²⋊C₄	—	20	8	no	—
180	C₄²	—	2	2	no	—
181	C₄²	—	5	2	no	—
182	C₄²	—	5	2	no	—
183	C₄²	—	10	4	no	—
184	C₄²	—	10	2	no	—
185	C₄²	—	10	4	no	—
186	C₂×C₅	—	8	4	no	—
187	C₂×C₅	#1484	1	2	yes	—
188	C₂×C₅	#1490	1	2	yes	—
189	C₂×C₅	#1955	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₅	#1961	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₅	#1962	1	1	yes	characteristic
192	C₂³	—	2	4	no	—
193	C₂³	—	4	4	no	—
194	C₂³	—	4	4	no	—
195	C₂³	—	4	2	no	—
196	C₂³	—	4	2	no	—
197	C₂³	C₂×C₂²⋊AGL(1,𝔽₅)	1	1	yes	characteristic
198	D₄	—	2	8	no	—
199	D₄	—	4	16	no	—
200	D₄	—	4	4	no	—
201	C₂×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂×C₄	—	5	4	no	—
204	C₂×C₄	—	5	1	no	—
205	C₂×C₄	—	5	1	no	—
206	C₂×C₄	—	5	2	no	—
207	C₂×C₄	—	10	2	no	—
208	C₂×C₄	—	10	2	no	—
209	C₂×C₄	—	10	2	no	—
210	C₂×C₄	—	10	2	no	—
211	C₂×C₄	—	20	4	no	—
212	C₂×C₄	—	20	2	no	—
213	C₂×C₄	—	40	4	no	—
214	C₂×C₄	—	40	4	no	—
215	C₂×C₄	#4008	1	4	yes	—
216	C₂×C₄	#4131	1	2	yes	—
217	C₂×C₄	D₄×AGL(1,𝔽₅)	1	2	yes	—
218	C₂×C₄	C₂×#704	1	2	yes	—
219	C₈	—	10	8	no	—
220	C₈	—	40	2	no	—
221	C₅	#9648	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
222	C₂²	—	4	8	no	—
223	C₂²	—	4	4	no	—
224	C₂²	—	8	4	no	—
225	C₂²	—	8	2	no	—
226	C₂²	—	8	2	no	—
227	C₂²	#65767	1	2	yes	—
228	C₂²	C₂×#4008	1	2	yes	—
229	C₂²	#65776	1	1	yes	characteristic
230	C₂²	#65780	1	1	yes	characteristic
231	C₂²	#65798	1	1	yes	characteristic
232	C₄	—	2	4	no	—
233	C₄	—	5	2	no	—
234	C₄	—	5	2	no	—
235	C₄	—	10	2	no	—
236	C₄	—	20	2	no	—
237	C₄	—	40	2	no	—
238	C₄	#65773	1	4	yes	—
239	C₂	—	8	4	no	—
240	C₂	#10604605	1	2	yes	—
241	C₂	#10604611	1	1	yes	characteristic
242	C₂	#10604617	1	1	yes	characteristic
243	C₂	#10604924	1	2	yes	—
244	C₂	#10604949	1	1	yes	characteristic

subgroup

G/H

class size

multiplicity

normal?

properties

Dic₅×#127

C₂

yes

maximal, characteristic

C₂×D₄⋊#170

C₂

yes

maximal, complemented

#10604187

C₂

yes

maximal, characteristic, complemented

C₄×#4002

C₂

yes

maximal, characteristic, complemented

C₂×C₅×#127

C₄

yes

characteristic

C₂×D₄×Dic₅

—

C₂×D₄×Dic₅

C₂²

yes

—

C₂×#4002

—

C₂×C₄⋊#170

C₂²

yes

—

C₂×C₄×#170

C₂²

yes

—

#65510

—

#65510

C₄

yes

—

#65224

C₄

yes

characteristic

C₄²×Dic₅

C₂²

yes

—

—

—

C₂²×C₅×D₄

—

C₂²×C₅×D₄

C₂×C₄

yes

—

C₂³×Dic₅

—

C₂²×#170

—

C₂²×#170

—

C₅×#127

—

C₂×C₄²×C₅

C₂×C₄

yes

characteristic

C₂×C₂²⋊Dic₅

—

C₂×C₂²⋊Dic₅

—

D₄×Dic₅

—

D₄×Dic₅

—

D₄×Dic₅

—

C₂×C₄⋊Dic₅

—

C₂×C₄⋊Dic₅

C₂×C₄

yes

—

C₂×C₄×Dic₅

C₂×C₄

yes

characteristic

C₂×C₄×Dic₅

D₄

yes

—

C₂×C₄×Dic₅

D₄

yes

—

C₂×C₄×Dic₅

C₂³

yes

—

—

—

D₄

yes

complemented

C₄×#127

—

#1831

—

C₄×#97

—

C₂×D₄⋊C₈

—

C₂⁴×C₅

—

C₂×C₅×D₄

—

C₂×C₅×D₄

—

C₂×C₅×D₄

—

C₂×C₅×D₄

—

C₂×C₅×D₄

—

C₂×C₅×D₄

—

C₂×C₅×D₄

M₁₆

yes

—

C₂²×C₄×C₅

C₂²⋊C₄

yes

—

C₂²×C₄×C₅

C₂²×C₄

yes

characteristic

C₂²×Dic₅

—

C₂²×Dic₅

—

C₂²×Dic₅

—

C₂²×Dic₅

—

C₂²×Dic₅

C₂²⋊C₄

yes

—

C₂²×Dic₅

C₂×D₄

yes

characteristic

C₂²×Dic₅

C₂×D₄

yes

—

—

—

—

C₄²×C₅

—

C₂²⋊Dic₅

—

C₂²⋊Dic₅

—

C₄⋊Dic₅

—

C₄⋊Dic₅

—

C₄×Dic₅

—

C₄×Dic₅

—

C₄×Dic₅

—

C₄×Dic₅

C₂×D₄

yes

—

C₄×Dic₅

#41

yes

—

C₂×#127

AGL(1,𝔽₅)

yes

characteristic

C₂×C₄×D₄

—

C₂×C₄×D₄

—

C₂×C₄⋊C₈

—

C₂×#97

—

C₂×C₄×C₈

—

#390

—

#390

—

#384

—

C₄³

—

#336

—

D₄⋊C₈

—

C₂³×C₅

—

C₂³×C₅

—

C₂³×C₅

—

C₂³×C₅

—

C₂³×C₅

—

C₂³×C₅

C₂×C₂²⋊C₄

yes

characteristic

C₅×D₄

—

C₅×D₄

—

C₅×D₄

—

C₂×C₄×C₅

—

C₂×C₄×C₅

—

C₂×C₄×C₅

#104

yes

—

C₂×C₄×C₅

C₄×D₄

yes

—

100

C₂×C₄×C₅

C₂×M₁₆

yes

—

101

C₂×C₄×C₅

#131

yes

—

102

C₂×Dic₅

—

103

C₂×Dic₅

—

104

C₂×Dic₅

—

105

C₂×Dic₅

—

106

C₂×Dic₅

—

107

C₂×Dic₅

—

108

C₂×Dic₅

—

109

C₂×Dic₅

—

110

C₂×Dic₅

#121

yes

—

111

C₂×Dic₅

#124

yes

characteristic

112

C₂×Dic₅

#127

yes

characteristic

113

C₂×Dic₅

AGL(1,ℤ/8)

yes

—

114

#170

—

115

#170

—

116

C₂²×D₄

—

117

C₂²×D₄

C₂×AGL(1,𝔽₅)

yes

—

118

C₂³×C₄

—

119

C₂²×C₈

—

120

C₂²×C₈

—

121

#127

—

122

C₄×D₄

—

123

C₄×D₄

—

124

C₄×D₄

—

125

C₂×C₄⋊C₄

—

126

C₂×C₄⋊C₄

—

127

C₂×C₂²⋊C₄

—

128

C₂×C₂²⋊C₄

—

129

C₂×C₄²

—

130

C₂×C₄²

—

131

C₂×C₄²

—

132

C₂×C₄²

—

133

C₂×C₄²

C₂×AGL(1,𝔽₅)

yes

characteristic

134

C₄⋊C₈

—

135

#97

—

136

C₄×C₈

—

137

C₄×C₈

—

138

C₂²×C₅

—

139

C₂²×C₅

—

140

C₂²×C₅

—

141

C₂²×C₅

—

142

C₂²×C₅

—

143

C₂²×C₅

#390

yes

characteristic

144

C₂²×C₅

#407

yes

characteristic

145

C₂²×C₅

#408

yes

characteristic

146

C₂²×C₅

#418

yes

—

147

C₂²×C₅

C₂×#104

yes

—

148

C₄×C₅

—

149

C₄×C₅

#435

yes

—

150

Dic₅

—

151

Dic₅

—

152

Dic₅

—

153

Dic₅

#490

yes

—

154

Dic₅

#496

yes

—

155

C₂⁴

—

156

C₂×D₄

—

157

C₂×D₄

—

158

C₂×D₄

—

159

C₂×D₄

—

160

C₂×D₄

—

161

C₂×D₄

—

162

C₂×D₄

#704

yes

—

163

C₂²×C₄

—

164

C₂²×C₄

—

165

C₂²×C₄

—

166

C₂²×C₄

—

167

C₂²×C₄

—

168

C₂²×C₄

—

169

C₂²×C₄

—

170

C₂²×C₄

C₂²⋊AGL(1,𝔽₅)

yes

—

171

C₂²×C₄

C₂²×AGL(1,𝔽₅)

yes

characteristic

172

C₂×C₈

—

173

C₂×C₈

—

174

C₂×C₈

—

175

C₂×C₈

—

176

C₄⋊C₄

—

177

C₄⋊C₄

—

178

C₂²⋊C₄

—

179

C₂²⋊C₄

—

180

C₄²

—

181

C₄²

—

182

C₄²

—

183

C₄²

—

184

C₄²

—

185

C₄²

—

186

C₂×C₅

—

187

C₂×C₅

#1484

yes

—

188

C₂×C₅

#1490

yes

—

189

C₂×C₅

#1955

yes

characteristic

190

C₂×C₅

#1961

yes

characteristic

191

C₂×C₅

#1962

yes

characteristic

192

C₂³

—

193

C₂³

—

194

C₂³

—

195

C₂³

—

196

C₂³

—

197

C₂³

C₂×C₂²⋊AGL(1,𝔽₅)

yes

characteristic

198

D₄

—

199

D₄

—

200

D₄

—

201

C₂×C₄

—

202

C₂×C₄

—

203

C₂×C₄

—

204

C₂×C₄

—

205

C₂×C₄

—

206

C₂×C₄

—

207

C₂×C₄

—

208

C₂×C₄

—

209

C₂×C₄

—

210

C₂×C₄

—

211

C₂×C₄

—

212

C₂×C₄

—

213

C₂×C₄

—

214

C₂×C₄

—

215

C₂×C₄

#4008

yes

—

216

C₂×C₄

#4131

yes

—

217

C₂×C₄

D₄×AGL(1,𝔽₅)

yes

—

218

C₂×C₄

C₂×#704

yes

—

219

C₈

—

220

C₈

—

221

C₅

#9648

yes

characteristic, complemented, Sylow

222

C₂²

—

223

C₂²

—

224

C₂²

—

225

C₂²

—

226

C₂²

—

227

C₂²

#65767

yes

—

228

C₂²

C₂×#4008

yes

—

229

C₂²

#65776

yes

characteristic

230

C₂²

#65780

yes

characteristic

231

C₂²

#65798

yes

characteristic

232

C₄

—

233

C₄

—

234

C₄

—

235

C₄

—

236

C₄

—

237

C₄

—

238

C₄

#65773

yes

—

239

C₂

—

240

C₂

#10604605

yes

—

241

C₂

#10604611

yes

characteristic

242

C₂

#10604617

yes

characteristic

243

C₂

#10604924

yes

—

244

C₂

#10604949

yes

characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂×C₂²⋊AGL(1,𝔽₅)
commutator	C₂²×C₄×C₅	C₂²×C₄
Frattini	C₂²×C₄	C₂²×AGL(1,𝔽₅)
Fitting, prime radical	C₂×C₅×#127	C₄
socle	C₂³×C₅	C₂×C₂²⋊C₄
cosocle	C₂×C₄×Dic₅	C₂³
hypercenter	C₂×#127	AGL(1,𝔽₅)
hypocenter	C₅	#9648
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅ ▷ C₂×C₅ ▷ C₅
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ C₂×#127

subgroup

G/H

center

C₂³

C₂×C₂²⋊AGL(1,𝔽₅)

commutator

C₂²×C₄×C₅

C₂²×C₄

Frattini

C₂²×C₄

C₂²×AGL(1,𝔽₅)

Fitting, prime radical

C₂×C₅×#127

C₄

socle

C₂³×C₅

C₂×C₂²⋊C₄

cosocle

C₂×C₄×Dic₅

C₂³

C₅

G ▷ C₂²×C₄×C₅ ▷ C₂×C₅ ▷ C₅

UCS

C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ C₂×#127

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×D₄⋊#170	C₂	semidirect
3. #10604187	C₂	semidirect
4. C₄×#4002	C₂	semidirect
39. C₄×#170	D₄	semidirect
221. C₅	#9648	semidirect

H ≅ G/N

type

2. C₂×D₄⋊#170

C₂

semidirect

3. #10604187

C₂

semidirect

4. C₄×#4002

C₂

semidirect

39. C₄×#170

D₄

semidirect

221. C₅

#9648

semidirect

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
Dic₅×#127	2
C₂×D₄⋊#170	2
#10604187	2
C₄×#4002	2
#9648	5

subgroup

index

C₂×D₄⋊#170

Subgroups — #13020929

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups